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Gronwall Lemma: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:24 Sa 11.06.2011
Autor: snoopy89

Hallo,
ich habe eine Frage zu einem Beweis aus der Vorlesung.

Lemma (Gronwall Lemma).
Seien f,g [mm] \in C^{0}([a,b]), [/mm] f(x), g(x) [mm] \ge [/mm] 0 für alle x [mm] \in [/mm] [a,b]. Falls c [mm] \ge [/mm] 0 existiert mit f(x) [mm] \le [/mm] c + [mm] \integral_{a}^{x}{g(t)f(t) dt} [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [a,b], so gilt f(x) [mm] \le ce^{\integral_{a}^{x}{g(t)dt}} [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [a,b].

Beweis:
1. Sei c > 0: Definiere h(x)=c + [mm] \integral_{a}^{x}{g(t)f(t)dt} [/mm] > 0.
=> h'(x)=g(x)f(x),
da f(x) [mm] \le [/mm] h(x) leiten wir für alle x [mm] \in [/mm] [a,b] mit der Monotonie des Integrals die folgende Abschätzung her
[mm] \bruch{d}{dx} [/mm] log h(x) = [mm] \bruch{h'(x)}{h(x)} \le [/mm] g(x)
=> log h(x) - log h(0) = log h(x) -c [mm] \le \integral_{a}^{x} [/mm] {g(t)dt}.
Aus der Monotonie der Exponentialfunktion folgt die Behauptung.
2. Sei c=0: Für alle [mm] c^{*} [/mm] > 0 folgt mit 1. 0 [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le c^{*}e^{\integral_{a}^{x}{g(t)dt}} [/mm]
=> f(x)=0 für alle x [mm] \in [/mm] [a,b].

Nun zu meinen Fragen: Warum ist log h(0)=c und warum folgt die Aussage mittels der Monotonie der Exponentialfunktion?

Vielen Dank schonmal für jede Antwort!

        
Bezug
Gronwall Lemma: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:09 So 12.06.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> Hallo,
>  ich habe eine Frage zu einem Beweis aus der Vorlesung.
>
> Lemma (Gronwall Lemma).
> Seien f,g [mm]\in C^{0}([a,b]),[/mm] f(x), g(x) [mm]\ge[/mm] 0 für alle x
> [mm]\in[/mm] [a,b]. Falls c [mm]\ge[/mm] 0 existiert mit f(x) [mm]\le[/mm] c +
> [mm]\integral_{a}^{x}{g(t)f(t) dt}[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] [a,b], so
> gilt f(x) [mm]\le ce^{\integral_{a}^{x}{g(t)dt}}[/mm] für alle x
> [mm]\in[/mm] [a,b].
>  
> Beweis:
>  1. Sei c > 0: Definiere h(x)=c +

> [mm]\integral_{a}^{x}{g(t)f(t)dt}[/mm] > 0.
> => h'(x)=g(x)f(x),
>  da f(x) [mm]\le[/mm] h(x) leiten wir für alle x [mm]\in[/mm] [a,b] mit der
> Monotonie des Integrals die folgende Abschätzung her
>  [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] log h(x) = [mm]\bruch{h'(x)}{h(x)} \le[/mm] g(x)
>  => log h(x) - log h(0) = log h(x) -c [mm]\le \integral_{a}^{x}[/mm]

> {g(t)dt}.

Das ist nicht ganz richtig: es wird von a bis x integriert, also muss da stehen:

[mm] \log h(x) -\log h(a) = log h(x) -c \le\integral_{a}^{x}{ g(t) dt} [/mm]

>  Aus der Monotonie der Exponentialfunktion folgt die
> Behauptung.
>  2. Sei c=0: Für alle [mm]c^{*}[/mm] > 0 folgt mit 1. 0 [mm]\le[/mm] f(x)

> [mm]\le c^{*}e^{\integral_{a}^{x}{g(t)dt}}[/mm]
>  => f(x)=0 für alle

> x [mm]\in[/mm] [a,b].
>  
> Nun zu meinen Fragen: Warum ist log h(0)=c und warum folgt
> die Aussage mittels der Monotonie der Exponentialfunktion?

Monotonie der Exponentialfunktion heisst: [mm] $x\le [/mm] y [mm] \implies e^x \le e^y$ [/mm] , also

[mm] f(x) \le h(x) \le \exp\left(c+\integral_{a}^{x}{ g(t) dt}\right) [/mm] .

  Viele Grüße
    Rainer


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