Große Zahlen, letzte Ziffern < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 So 27.07.2014 | | Autor: | Morgyr |
| Aufgabe | Wie lauten die letzten zwei Ziffern von 9080706050403^2013, wie die letzte
Zier von 23^(23^23), jeweils in Dezimaldarstellung? |
Habe mich bisher nur mit dem 1. Fall beschäftigt, und irgendwie glaube ich, gibts da einen einfachen Weg.
Entsprechend n wirklichen Ansatz hab ich nicht.
Evtl. erstmal in Primzahlen zerlegen..
Für 2013 ist das ganze noch überschaubar (3 * 11 * 61), für die andere Zahl, naja. Zumindest steckt da die 3 drin, bzw. 3026902016801 * 3
Was ja reichen könnte. Am Ende steht eine 1, und daran ändert sich nichts.
Also ist nur noch wichtig, was 3^2013 ergibt, bzw. die letzten zwei Ziffern dieser Zahl. Aber wie machen nun hier weiter?
Für den zweiten Fall steh ich am genau gleichen Punkt, mit Primzahlzerlegung ist da ja nichts mehr.
Wo auch immer der Hinweis hin ist, ich habe diese Frage nur in diesem Forum gestellt.
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Hallo Morgyr,
> Wie lauten die letzten zwei Ziffern von 9080706050403^2013,
> wie die letzte
> Zier von 23^(23^23), jeweils in Dezimaldarstellung?
> Habe mich bisher nur mit dem 1. Fall beschäftigt, und
> irgendwie glaube ich, gibts da einen einfachen Weg.
> Entsprechend n wirklichen Ansatz hab ich nicht.
>
> Evtl. erstmal in Primzahlen zerlegen..
> Für 2013 ist das ganze noch überschaubar (3 * 11 * 61),
> für die andere Zahl, naja. Zumindest steckt da die 3 drin,
> bzw. 3026902016801 * 3
> Was ja reichen könnte. Am Ende steht eine 1, und daran
> ändert sich nichts.
> Also ist nur noch wichtig, was 3^2013 ergibt, bzw. die
> letzten zwei Ziffern dieser Zahl. Aber wie machen nun hier
> weiter?
>
Da die letzten zwei Ziffern von 9080706050403^2013 zu bestimmen
sind, ist auch nur [mm]3^{2013}[/mm] zu betrachten.
Dies muss, da die letzten zwei Ziffern zu berechnen sind,
modulo 100 geschehen.
Dabei hilft Dir die ![[]](/images/popup.gif) Eulersche Phi-Funktion.
> Für den zweiten Fall steh ich am genau gleichen Punkt, mit
> Primzahlzerlegung ist da ja nichts mehr.
>
> Wo auch immer der Hinweis hin ist, ich habe diese Frage nur
> in diesem Forum gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 So 27.07.2014 | | Autor: | Morgyr |
Hi,
vielen Dank soweit.
Auf dem richtigen Pfad bin ich nur leider noch immer nicht.
Gesucht ist also x mit
3^2013 [mm] \equiv [/mm] x mod 100
Das ist soweit ja alles ganz logisch.
Der Satz von Fermat-Euler, Euler, wie auch immer, besagt:
[mm] a^{\alpha(n)} \equiv [/mm] 1 (mod n)
[mm] \alpha(n) [/mm] ist Phi(n)
Demnach ist x also dann 1, wenn n=100, a=3 und die Menge der teilerfremden Zahlen von n 2013
Macht ja kein Sinn.
Eine Folgerung aus dem Satz ist, dass man im Exponenten durch mod Phi(n) rechnen darf.
also 3^(2013 mod 40) [mm] \equiv [/mm] 3^13 [mm] \equiv [/mm] x mod 100
Also:
3^13 mod 100 = x
Die 3^13 werden nun in 2er Potenzen mod 100 aufgeteilt.
[mm] 3^1 [/mm] mod 100 = 3
[mm] 3^2 [/mm] mod 100 = 9
[mm] 3^4 [/mm] mod 100 = ... = 81
[mm] 3^8 [/mm] mod 100 = ... = 61
3^13 wird verknüpft über 1,4,8
Sprich 3*81*61 mod 100 = 23
Wolfram-Alpha sagt ja. Was meinst Du, Ihr dazu?
Gut, dass das keine schwere Geburt war. Ich brauch ne Pause, den zweiten Aufgaben Teil gucke ich mir später noch an. Wenn ich keine Frage mehr hab, poste ich den dann als Mitteilung, der Vollständigkeit wegen.
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Hallo Morgyr,
bis auf die Art zu formulieren ist alles korrekt. Man kann Dir schwer folgen.
In der Sache ist Deine Argumentation aber vollkommen richtig - und das Ergebnis auch!
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 So 27.07.2014 | | Autor: | Morgyr |
Ja, das mit den Formulierungen hatten wir hier ja leider schon an anderer Stelle.
Danke schön.
Der zweite Aufgabenteil läuft analog.
23^23^23 [mm] \equiv [/mm] x mod 10
Phi(10) = 4, aus dem Euler Satz folgt wieder:
23^(23^23)^(mod 4) [mm] \equiv [/mm] x mod 10
Somit 23^23 [mm] \equiv [/mm] y mod 4
Es werden die zweier Potenzen von 23 durch mod 4 berechnet.
23 mod 4 = 3
[mm] 23^2 [/mm] mod 4 = (23 mod [mm] 4)^2 [/mm] mod 4 = 1
[mm] 23^4 [/mm] mod 4 = [mm] (23^2 [/mm] mod [mm] 4)^2 [/mm] mod 4 = 1
Die letzten Zeile zeigen, dass alle [mm] 23^n [/mm] mit n > 1 immer 1 sind.
Also ist y = (3 * 1 * 1 * 1) mod 4
[mm] 23^3 \equiv [/mm] x mod 10
Über die zweier Potenzen geht das ja auch wieder flott
23 mod 10 = 3, [mm] 23^2 [/mm] mod 10 = 9
Also x = 3 * 9 mod 10 = 7
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