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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Di 26.03.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Auf einer abzählbaren Menge [mm] \Omega [/mm] ist jede Abbildung P: [mm] \mathcal{A} [/mm] -> [0,1], die [mm] P(\Omega)=1 [/mm] und die Sigma-Additivität (für disjunkte Ereignisse) erfüllt von der Form P(A)= [mm] \sum_{\omega \in A} p(\omega), [/mm] A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] |
Hallo
ich kann mit der Bemerkung im Skriptum nicht viel anfangen. Habt ihr eine Isee?
[mm] \Omega [/mm] .. Grundraum (Hier abzählbar)
[mm] \mathcal{A}.. [/mm] beobachtbaren Ereignisse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Di 26.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Auf einer abzählbaren Menge [mm]\Omega[/mm] ist jede Abbildung P:
> [mm]\mathcal{A}[/mm] -> [0,1], die [mm]P(\Omega)=1[/mm] und die
> Sigma-Additivität (für disjunkte Ereignisse) erfüllt von
> der Form P(A)= [mm]\sum_{\omega \in A} p(\omega),[/mm] A [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
Sollt da nicht stehen: [mm]P(A)= \sum_{\omega \in A} P(\{\omega\})[/mm] ?
Oder wurde irgendwo definiert [mm] p(\omega):=P(\{\omega\}) [/mm] ?
Wenn nicht, dann definiere ich das jetzt so.
> Hallo
> ich kann mit der Bemerkung im Skriptum nicht viel
> anfangen. Habt ihr eine Isee?
Isee ? Ne, sowas habe ich nicht. Aber eine Idee:
Sei $A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] $. Dann ist A eine Teilmenge von [mm] \Omega, [/mm] also ist A höchstens abzählbar.
Fall 1: A= [mm] \emptyset. [/mm] Dann ist P(A)=0. Ihr hattet sicher vereinbart: [mm] $\sum_{\omega \in \emptyset} p(\omega):=0 [/mm] $
Fall 2. A ist nicht leer, aber endlich, also [mm] A=\{\omega_1,...,\omega_n\} [/mm] mit [mm] \omega_i \ne \omega_j [/mm] für i [mm] \ne [/mm] j.
Dann ist
[mm] A=\bigcup_{i=1}^{n}\{\omega_i\} [/mm] (disjunkte Vereinigung !)
Wegen der Sigma-Additivität von P folgt:
[mm] P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(\{\omega_i\})=\sum_{i=1}^{n}p(\omega_i)=\sum_{\omega \in A} p(\omega).
[/mm]
Fall 3. A ist abzählbarunendlich, also [mm] A=\{\omega_1,\omega_2, ...\} [/mm] mit [mm] \omega_i \ne \omega_j [/mm] für i [mm] \ne [/mm] j.
Dann ist
[mm] A=\bigcup_{i=1}^{\infty}\{\omega_i\} [/mm] (disjunkte Vereinigung !)
Wegen der Sigma-Additivität von P folgt:
[mm] P(A)=\sum_{i=1}^{\infty}P(\{\omega_i\})=\sum_{i=1}^{\infty}p(\omega_i)=\sum_{\omega \in A} p(\omega).
[/mm]
FRED
>
> [mm]\Omega[/mm] .. Grundraum (Hier abzählbar)
> [mm]\mathcal{A}..[/mm] beobachtbaren Ereignisse
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Di 26.03.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo ;))
> Sollt da nicht stehen: [mm]P(A)= \sum_{\omega \in A} P(\{\omega\})[/mm]
> ?
>
> Oder wurde irgendwo definiert [mm]p(\omega):=P(\{\omega\})[/mm] ?
Doch haben wir auch so defeniert.
>
> Sei [mm]A \in \mathcal{A} [/mm]. Dann ist A eine Teilmenge von
> [mm]\Omega,[/mm] also ist A höchstens abzählbar.
>
> Fall 1: A= [mm]\emptyset.[/mm] Dann ist P(A)=0. Ihr hattet sicher
> vereinbart: [mm]\sum_{\omega \in \emptyset} p(\omega):=0[/mm]
P(A)=0 gilt doch weil:
[mm] P(\emptyset [/mm] )= [mm] \sum_{i=1}^\infty P(\emptyset)
[/mm]
->Gleichung nur für [mm] P(\emptyset)=0 [/mm] erfüllt
Es folgt aber genauso aus der Gleichung [mm] P(A^c)= [/mm] 1 - P(A) , wenn ich für A den gesamten grundraum [mm] \Omega [/mm] einsetze.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:54 Mi 27.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> > Fall 1: A= [mm]\emptyset.[/mm] Dann ist P(A)=0. Ihr hattet sicher
> > vereinbart: [mm]\sum_{\omega \in \emptyset} p(\omega):=0[/mm]
>
> P(A)=0 gilt doch weil:
> [mm]P(\emptyset[/mm] )= [mm]\sum_{i=1}^\infty P(\emptyset)[/mm]
> ->Gleichung
> nur für [mm]P(\emptyset)=0[/mm] erfüllt
> Es folgt aber genauso aus der Gleichung [mm]P(A^c)=[/mm] 1 - P(A) ,
> wenn ich für A den gesamten grundraum [mm]\Omega[/mm] einsetze.
Alles korrekt! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Mi 27.03.2013 | | Autor: | sissile |
Vielen vielen dank an euch.
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