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Grundbegriffe in derMathematik: Definitionsmenge vs. Urbild
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 Di 19.12.2017
Autor: asg

Aufgabe
Zitate aus Wikipedia:

[]1. Definitionsmenge:
In der Mathematik versteht man unter Definitionsmenge oder Definitionsbereich jene Teilmenge einer Grundmenge [...]


[]2. Urbild:
[...]Das Urbild einer Menge $M$ unter einer Funktion $f$ ist die Menge der Elemente, die durch $f$ auf ein Element in $M$ abgebildet werden. Ein Element $x$ aus der Definitionsmenge von $f$ liegt also genau dann im Urbild von $M$, wenn $f(x)$ in $M$ liegt. Damit ist das Urbild einer Teilmenge der Zielmenge $B$ einer Funktion $f : A [mm] \to [/mm] B$ eine Teilmenge ihrer Definitionsmenge $A$[...]



Hallo zusammen,

mir ist nicht klar, ob Definitionsmenge/Definitionsbereich dasselbe wie Grundmenge oder wie das Urbild ist.

In Wikipedia sind die Begriffe unterschiedlich definiert, soweit ich es verstanden habe:

Aus 1. Definitionsmenge verstehe ich, dass die/der Definitionsmenge/Definitionsbereich eine Teilmenge der Grundmenge ist.

Aus 2. Urbild entnehme ich aber, dass das Urbild eine Teilmenge der/des Definitionsmenge/Definitionsbereichs ist und somit wäre die/der Definitionsmenge/Definitionsbereich gleich zu setzen mit der Grundmenge.


Zwei zusätzliche Fragen:

a) Die Zielmenge nennt man ja auch "Wertevorrat". Gibt es auch einen ähnlichen oder andere Sysnonym(e) für die Grundmenge?

b) Ist Bildbereich ein Sysnonym für die Zielmenge oder für die Bildmenge? Oder wird es von Autor zu Autor unterschiedlich verwendet?


Danke vorab

Viele Grüße

Asg

        
Bezug
Grundbegriffe in derMathematik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:28 Di 19.12.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Guten Abend !

> Zitate aus Wikipedia:
>  
> []1. Definitionsmenge:
>
> In der Mathematik versteht man unter Definitionsmenge oder
> Definitionsbereich jene Teilmenge einer Grundmenge [...]
>  
> []2. Urbild:
>
> [...]Das Urbild einer Menge [mm]M[/mm] unter einer Funktion [mm]f[/mm] ist
> die Menge der Elemente, die durch [mm]f[/mm] auf ein Element in [mm]M[/mm]
> abgebildet werden. Ein Element [mm]x[/mm] aus der Definitionsmenge
> von [mm]f[/mm] liegt also genau dann im Urbild von [mm]M[/mm], wenn [mm]f(x)[/mm] in [mm]M[/mm]
> liegt. Damit ist das Urbild einer Teilmenge der Zielmenge [mm]B[/mm]
> einer Funktion [mm]f : A \to B[/mm] eine Teilmenge ihrer
> Definitionsmenge [mm]A[/mm][...]
>  
>
> Hallo zusammen,
>  
> mir ist nicht klar, ob Definitionsmenge/Definitionsbereich
> dasselbe wie Grundmenge oder wie das Urbild ist.
>  
> In Wikipedia sind die Begriffe unterschiedlich definiert,
> soweit ich es verstanden habe:
>  
> Aus 1. Definitionsmenge verstehe ich, dass die/der
> Definitionsmenge/Definitionsbereich eine Teilmenge der
> Grundmenge ist.

----------------------------------------------------------
Den einführenden Satz im Wikipedia-Text zu diesem Begriff
"Definitionsmenge" halte ich nicht für sehr glücklich verfasst.
Gleich im folgenden Satz wird aber der Begriff der Definitions-
menge einer Funktion klar definiert:

Eine Funktion  f: A [mm] \to [/mm] B   ist eine spezielle Relation, die
jedem Element der Definitionsmenge A genau ein Element
der Zielmenge B zuweist.


Die Definitionsmenge ist dabei eine gewisse Teilmenge einer
im Voraus festgelegten "Grundmenge", kann aber durchaus
auch mit ihr identisch sein. In diesem Fall ist die Definitions-
menge dann halt eine "unechte" Teilmenge der Grundmenge.
----------------------------------------------------------  

> Aus 2. Urbild entnehme ich aber, dass das Urbild eine
> Teilmenge der/des Definitionsmenge/Definitionsbereichs ist
> und somit wäre die/der Definitionsmenge/Definitionsbereich
> gleich zu setzen mit der Grundmenge.

----------------------------------------------------------  

Die Erklärung zum Begriff "Urbild einer Menge" in Bezug auf
eine Funktion f  ist absolut in Ordnung. Beachte dabei, dass
die betrachtete Menge M  (für deren Urbild man sich interessiert)
eine ganz beliebige Teilmenge des Wertebereichs
der Zielmenge von f sein kann.
(meine Korrektur nach den Beiträgen von Helbig und fred97)

----------------------------------------------------------  

> Zwei zusätzliche Fragen:
>  
> a) Die Zielmenge nennt man ja auch "Wertevorrat". Gibt es
> auch einen ähnlichen oder andere Sysnonym(e) für die
> Grundmenge?

Der Begriff "Wertevorrat" wird wohl nicht ganz einheitlich
verwendet. Siehe dazu https://de.wikipedia.org/wiki/Zielmenge
  

> b) Ist Bildbereich ein Sysnonym für die Zielmenge oder
> für die Bildmenge? Oder wird es von Autor zu Autor
> unterschiedlich verwendet?

Da bin ich ein bisschen überfragt.

(Bemerkung:  Es hei8t nicht "Sysnonym", sondern "Synonym".)

LG ,    Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Grundbegriffe in derMathematik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:12 So 31.12.2017
Autor: Helbig

Hallo,

>
> Die Erklärung zum Begriff "Urbild einer Menge" in Bezug
> auf
> eine Funktion f  ist absolut in Ordnung. Beachte dabei,
> dass
>  die betrachtete Menge M  (für deren Urbild man sich
> interessiert)
>  eine ganz beliebige Teilmenge des Wertebereichs von f sein
> kann.  

Auch das Urbild einer Menge, die nicht Teilmenge des Wertevorrats ist, ist definiert.

Guten Rutsch,
Wolfgang

Bezug
                        
Bezug
Grundbegriffe in derMathematik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:06 So 31.12.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> > Beachte dabei, dass die betrachtete Menge M  
> > (für deren Urbild man sich interessiert)
> > eine ganz beliebige Teilmenge des Wertebereichs
> > von f sein kann.  

.................................................................

> Auch das Urbild einer Menge, die nicht Teilmenge des
> Wertevorrats ist, ist definiert.

.................................................................

OK, aber es muss dabei doch mindestens feststehen, ob ein
Element y der Menge M, nach deren Urbild bei f man fragt,
zur Wertemenge von f gehört oder nicht.
Ich kann mir vorstellen, dass es Situationen geben kann,
in welchen diese Entscheidung nicht offensichtlich ist.


> Guten Rutsch,
>  Wolfgang

Ebenfalls !

Al-Chw.

Bezug
                                
Bezug
Grundbegriffe in derMathematik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:07 Mo 01.01.2018
Autor: fred97


> > > Beachte dabei, dass die betrachtete Menge M  
> > > (für deren Urbild man sich interessiert)
>  > > eine ganz beliebige Teilmenge des Wertebereichs

> > > von f sein kann.  
> .................................................................
>  
> > Auch das Urbild einer Menge, die nicht Teilmenge des
> > Wertevorrats ist, ist definiert.
>  
> .................................................................

>


Hallo Al,

  

> OK, aber es muss dabei doch mindestens feststehen, ob ein
>  Element y der Menge M, nach deren Urbild bei f man fragt,
>  zur Wertemenge von f gehört oder nicht.
>  Ich kann mir vorstellen, dass es Situationen geben kann,
>  in welchen diese Entscheidung nicht offensichtlich ist.

So ganz verstehe ich Deinen Einwand nicht. Sei $f:A [mm] \to [/mm] B$ eine Abbildung.

Ich gehe davon aus, dass Du mit Wertemenge die Menge $f(A)$ meinst.

Ist nun M eine Teilmenge von B, so ist das Urbild von M gegeben durch

   [mm] $f^{-1}(M)=\{a \in A: f(a) \in M\}$. [/mm]

Die Situation $y [mm] \in [/mm] M$, aber $y [mm] \notin [/mm] f(A)$ ist fast "alltäglich ".

Eine lieben Gruß und ein gutes neues Jahr wünscht

FRED

>
>
> > Guten Rutsch,
>  >  Wolfgang
>  
> Ebenfalls !
>  
> Al-Chw.  


Bezug
                                        
Bezug
Grundbegriffe in derMathematik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:55 Mo 01.01.2018
Autor: Al-Chwarizmi


> Ist nun M eine Teilmenge von B, so ist das Urbild von M
> gegeben durch
>  
> [mm]f^{-1}(M)=\{a \in A: f(a) \in M\}[/mm].


Klar.

Es wird aber eben vorausgesetzt, dass M eine Teilmenge
von B ist. M darf also nicht irgendeine "beliebige" Menge
sein, die man mit B vielleicht gar nicht in praktikabler
Weise vergleichen kann.

Vielleicht liegt da das verbliebene Missverständnis:

Was versteht nun jeder unter dem "Wertevorrat" der
Funktion f: A [mm] \to [/mm] B  ?  Ist es die Menge B oder die
Menge  f(A), welche oft als "Wertemenge" oder
"Wertebereich" von f bezeichnet wird ?

LG ,   Al-Chw.







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