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Grundintegrale?: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:48 Mi 20.04.2005
Autor: Maiko

Hallo!

Ich habe ein paar Fragen zu folgenden 3 Integralen. Unser Übungsleiter sagte, dass wir diese Aufgaben nicht rechnen brauchen, da man hier nicht allzuviel lernt.
Natürlich würde mich deren Lösung trotzdem interessieren.

Zu beachten ist, dass wir diese Aufgaben lösen sollten, als wir noch keine Substitution, partielle Integration und Partialbruchzerlegung zur Lösung von Integralen kannten. Scheinbar sind diese Aufgaben elementar zu lösen. Sind es Grundintegrale?

a) [mm] y=e^{x+1}+2^{-x}-\pi [/mm]

j) [mm] y=\bruch{sin^2(x)}{1+cos(x)}-2*cos^2{x} [/mm]

g) [mm] y=\bruch{3}{\wurzel{x}+\wurzel{x+1}}+\bruch{x^{2}}{x^{2}+1} [/mm]

Bei a interessiert mich eigentlich nur der zweite Summand. Leider konnte ich ihn nicht als Grundintegral mit meiner Formelsammlung identifizieren.

Bitte um Hilfe

        
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Grundintegrale?: Aufgabe a.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:56 Mi 20.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Maiko!


> a) [mm]y=e^{x+1}+2^{-x}-\pi[/mm]
>  
> Bei a interessiert mich eigentlich nur der zweite Summand.
> Leider konnte ich ihn nicht als Grundintegral mit meiner
> Formelsammlung identifizieren.

Die Funktion $f(x) \ = \ [mm] a^x$ [/mm] kann man umschreiben zu:

$f(x) \ = \ [mm] a^x [/mm] \ = \ [mm] \left[e^{\ln(a)}\right]^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln(a)}$ [/mm]


Nun ist es wirklich ein Grundintegral. Kommst Du nun alleine weiter?


Gruß
Loddar


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Bezug
Grundintegrale?: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 Mi 20.04.2005
Autor: Maiko

Kann man sich die Beziehung

[mm] a^{x} [/mm] = [mm] e^{x*ln(a)} [/mm]

irgendwie einfach herleiten oder muss man das einfach auswendig lernen?

Dann ist also

[mm] 2^{-x} [/mm] = [mm] e^{-x*ln(2)} [/mm]

richtig?

Die Ableitung davon lautet

[mm] \bruch{e^{-x*ln(2)}}{ln(2)} [/mm]

Ist das korrekt?

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Grundintegrale?: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:48 Mi 20.04.2005
Autor: Loddar

Hallo ...


> Kann man sich die Beziehung [mm]a^{x}[/mm] = [mm]e^{x*ln(a)}[/mm]
> irgendwie einfach herleiten oder muss man das einfach
> auswendig lernen?

Das habe ich doch hergeleitet (siehe oben).

Da e-Funktion und ln-Funktion zueinander Umkehrfunktionen sind, gilt:

$x \ = \ [mm] e^{\ln(x)}$
[/mm]


> Dann ist also [mm]2^{-x}[/mm] = [mm]e^{-x*ln(2)}[/mm], richtig?

[daumenhoch]


> Die Ableitung davon lautet

Du meinst die Stammfunktion, oder?



> [mm]\bruch{e^{-x*ln(2)}}{ln(2)}[/mm]

[notok] Was ist mit dem Minuszeichen?


Gruß
Loddar


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Grundintegrale?: Aufgabe g.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:01 Mi 20.04.2005
Autor: Loddar

Hallo ...


> g) [mm]y=\bruch{3}{\wurzel{x}+\wurzel{x+1}}+\bruch{x^{2}}{x^{2}+1}[/mm]

Denn 1. Bruch einfach mal mit [mm] $\wurzel{x}\red{-}\wurzel{x+1}$ [/mm] erweitern und zusammenfassen ...


Den 2. Bruch formen wir etwas um ("eine sinnvolle 0 addieren") und erhalten wiederum ein Grundintegral:

[mm] $\bruch{x^2}{x^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2+1-1}{x^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2+1}{x^2+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] \ = \ 1 - [mm] \bruch{1}{x^2+1}$ [/mm]


Gruß
Loddar


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Grundintegrale?: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:34 Mi 20.04.2005
Autor: Maiko

Beim zweiten Bruch war ich auch schon auf die Idee der Polynomdivision gekommen. Du machst hier ja eigentlich auch nichts anderes.

Nur leider kenne ich das Grundintegral von [mm] \bruch{1}{x^{2}+1} [/mm] nicht.
Ich habe es auch nicht im Tafelwerk gefunden.

Kannst du mir helfen?

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Bezug
Grundintegrale?: arctan(x)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:44 Mi 20.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Maiko!


> Nur leider kenne ich das Grundintegral von [mm]\bruch{1}{x^{2}+1}[/mm] nicht.
> Ich habe es auch nicht im Tafelwerk gefunden.

Das sollte aber drinstehen ...

Es gilt: [mm] $\left[\arctan(x)\right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x^{2}+1}$ [/mm]


Klar(er) nun?

Gruß
Loddar


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Grundintegrale?: Anfang von j)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:51 Mi 20.04.2005
Autor: Bastiane

Hallo!
> j) [mm]y=\bruch{sin^2(x)}{1+cos(x)}-2*cos^2{x}[/mm]

Ich würde hier den ersten Teil mal folgendermaßen umschreiben:
[mm] \bruch{\sin^2(x)}{1+\cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1-\cos^2(x)}{1+\cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{(1-\cos(x))(1+\cos(x))}{1+\cos(x)} [/mm] = [mm] 1-\cos(x) [/mm]

Ich hab' mich doch hoffentlich nicht verrechnet, oder?
Allerdings müsste man den zweiten Teil dann alleine integrieren...

Was mir sonst noch einfiel, ist, den zweiten Teil erweitern, so dass man alles auf einen Bruchstrich schreiben kann, aber dann erhält man u.a. [mm] \cos^3(x) [/mm] und ich weiß nicht, ob man das so einfach integrieren kann...

Viele Grüße und viel Erfolg beim weiteren Integrieren... :-)

Bastiane
[sunny]


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Bezug
Grundintegrale?: Und dann part. Integration
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:32 Mi 20.04.2005
Autor: Loddar

Hallöchen ...


> j) [mm]y=\bruch{sin^2(x)}{1+cos(x)}-2*cos^2{x}[/mm]
>  
> Ich würde hier den ersten Teil mal folgendermaßen
> umschreiben:
> [mm]\bruch{\sin^2(x)}{1+\cos(x)}[/mm] = [mm]\bruch{1-\cos^2(x)}{1+\cos(x)}[/mm] = [mm]\bruch{(1-\cos(x))(1+\cos(x))}{1+\cos(x)}[/mm] = [mm]1-\cos(x)[/mm]
>  
> Ich hab' mich doch hoffentlich nicht verrechnet, oder?

[daumenhoch] Das hätte ich ja auch sehen können ... [kopfschuettel]


> Allerdings müsste man den zweiten Teil dann alleine
> integrieren...

Und hier verwenden wir nun "endlich" das Verfahren der partiellen Integration mit $u' \ = \ v \ = \ [mm] \cos(x)$ [/mm] !


Gruß
Loddar


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Bezug
Grundintegrale?: OK
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:16 Mi 20.04.2005
Autor: Maiko

Danke für eure Hilfe. Diese Aufgaben habe ich nun verstanden.
:-)

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Bezug
Grundintegrale?: noch zwei Integrale
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Mi 20.04.2005
Autor: Maiko

Ich bräuchte nochmal eure Hilfe bei zwei weiteren Integralen.
Wie gesagt darf ich hier nicht Substitution, partielle Integration oder Partialbruchzerlegung verwenden.

Ich darf diese Aufgaben also nur durch sogenannte "Kunstgriffe" lösen :-)

i) [mm] y=e^{x}*cosh(x)+\bruch{1}{x^{2}-6x+9} [/mm]

h) [mm] y=\bruch{\wurzel{1+x^{2}}+\wurzel{1-x^{2}}}{\wurzel{1-x^{4}}} [/mm]

Für ein paar Tipps wäre ich dankbar.

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Bezug
Grundintegrale?: Aufgabe i.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Mi 20.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Maiko!


> i) [mm]y=e^{x}*cosh(x)+\bruch{1}{x^{2}-6x+9}[/mm]


Tipp 1:   [mm] $\cosh(x) [/mm] \ := \ [mm] \bruch{e^x - e^{-x}}{2}$ [/mm]  . . .  einsetzen und ausmultiplizieren!


Tipp 2:   [mm] $\bruch{1}{x^2-6x+9} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(x-3)^2} [/mm] \ = \ [mm] (x-3)^{-2}$ [/mm]



Gruß
Loddar


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Bezug
Grundintegrale?: OK...
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 Sa 23.04.2005
Autor: Maiko

Hey Loddar.

Habs nachgerechnet. War ja eigentlich ganz einfach :-)
Hat geklappt.

Ich denk mal, dass man bei diesen Beispielen doch was lernen kann.
Schon alleine die Kunstgriffe kann man sich ja mehr oder weniger merken.
Zumindest weiß man, was möglich ist. Was denkst du?

Vielen Dank!

Grüße,
Maik

Bezug
                                
Bezug
Grundintegrale?: Übung macht den Meister ;-)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:14 Sa 23.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Maik!


> Habs nachgerechnet. War ja eigentlich ganz einfach :-)
> Hat geklappt.

[ok] Prima!


> Schon alleine die Kunstgriffe kann man sich ja mehr oder
> weniger merken.
> Zumindest weiß man, was möglich ist. Was denkst du?

Also, solche Definitionen für die Hyperbolicus-Funktionen sollte man schon immer im Hinterstübchen bereit haben.

Die binomische Formel im 2. Bruch zu erkennen, benötigt halt etwas Übung.
Notfalls einfach versuchen, die Nullstellen eines derartigen Nenners zu berechnen, z.B. mit MBp/q-Formel, und anschließend Partialbruchzerlegenung (was hier ja nicht erfoderlich war).


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Grundintegrale?: Aufgabe h.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Mi 20.04.2005
Autor: Loddar

Hi!


$y \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{1+x^2}+\wurzel{1-x^2}}{\wurzel{1-x^4}}$ [/mm]


$= \ [mm] \bruch{\wurzel{1+x^2}+\wurzel{1-x^2}}{\wurzel{\left(1-x^2\right)*\left(1+x^2\right)}}$ [/mm]


$= \ [mm] \bruch{\wurzel{1+x^2}+\wurzel{1-x^2}}{\wurzel{1-x^2}*\wurzel{1+x^2}}$ [/mm]


$= \ [mm] \bruch{\wurzel{1+x^2}}{\wurzel{1-x^2}*\wurzel{1+x^2}} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{1-x^2}}{\wurzel{1-x^2}*\wurzel{1+x^2}}$ [/mm]


$= \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+x^2}} [/mm] \ = \ ...$


Gruß
Loddar


Bezug
                        
Bezug
Grundintegrale?: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:55 Sa 23.04.2005
Autor: Maiko

Klasse Trick!
Danke Loddar.

Hat wie immer geklappt :-)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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