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Grundlagen Kombinatorik: Reisen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Mo 01.08.2005
Autor: AndreHarrweg

Hi
Ich habe gesehen die frage wurde schon mal ähnlich gestellt aber irgendwie hat es bei mir noch nicht klick gemacht wie man mit solch einem Problem genau umgeht. Also bitte versucht mir mal zu erklären wie man ich sowas angehe, damit ich das endlich mal lerne.

Ein Reiseunternhemen bietet Touren mit möglichen Besuchen in 6 unterschiedlichen Städten an. An einem Tag kann nur eine Stadt besucht werden.
a) Wie viele 4 Tagesresien sind möglich?
b) Wie viele 4 Tagesreisen sind möglich, wenn keine Stadt zwei Tage oder länger besucht wird?
c) Wieviele 6 Tagesreisen ohne Wiederholung sind möglich?
d) Wieviele 8 Tagesreisen sind möglich, wenn jede Stadt besucht wird.
e) Wieviele 8 Tagesreisen sind möglich wenn jede Stadt besucht wird, aber keine in bereits verlassene Stadt  zurückgekehrt wird.

Meine Antworten dazu wären:
a) [mm] 6^4 [/mm] (4 verschiede Tage auf 6 Städte wobei die verweildauer beliebig ist)
b) 6! / (4-2)! ( 4 verschiedene Tage auf 6 Städte verteilt, so das jede Stadt nur 1 Tag besucht wird)
c) 6! (ähnlich b)
d) [mm] 6^8 [/mm] (8 Verschiedene Tage auf 6 Städte, verweildauer beliebig)
e) keine ahnung


        
Bezug
Grundlagen Kombinatorik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:34 Do 15.05.2008
Autor: Kueken

Aufgabe
Ein Touristik Büro bietes Touren mit möglichem Besuch folgender Städte an: Moskau, Leningrad, Kiew, Minsk, Jalta, Wolgograd (also 6 Städte). An einem Tag kann nur eine Stadt besucht werden.

Wieviele 8-Tages-Reisen sind möglich, wenn jede Stadt besucht wird?
Wieviele 8-Tages-Reisen sind möglich, wenn jede Stadt besucht wird, aber in keine bereits verlassene Stadt zurückgekehrt werden kann?

Hi!
Ich habe Problemchen bei dieser Aufgabe. Über die Suchfunktion findet man schonmal einen Beitrag dazu. (das sind die teilaufgaben d und e)

Ich hätte bei der ersten Frage gedacht: 6! * 6 * 6= 25920 Möglichkeiten.
Aber bei der e hab ich keine Ahnung. Nach dem Lesen des anderen Beitrags im Forum war ich aber nur noch verwirrter, deshalb stell ich sie nochmal.

Vielen Dank und liebe Grüße
Kerstin

Bezug
                
Bezug
Grundlagen Kombinatorik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:30 Do 15.05.2008
Autor: Bastiane

Hallo Kueken!

> Ein Touristik Büro bietes Touren mit möglichem Besuch
> folgender Städte an: Moskau, Leningrad, Kiew, Minsk, Jalta,
> Wolgograd (also 6 Städte). An einem Tag kann nur eine Stadt
> besucht werden.
>  
> Wieviele 8-Tages-Reisen sind möglich, wenn jede Stadt
> besucht wird?
>  Wieviele 8-Tages-Reisen sind möglich, wenn jede Stadt
> besucht wird, aber in keine bereits verlassene Stadt
> zurückgekehrt werden kann?
>  Hi!
>  Ich habe Problemchen bei dieser Aufgabe. Über die
> Suchfunktion findet man schonmal einen Beitrag dazu. (das
> sind die teilaufgaben d und e)
>  
> Ich hätte bei der ersten Frage gedacht: 6! * 6 * 6= 25920
> Möglichkeiten.

Also ich würde sagen: 6! Möglichkeiten. Wieso willst du das nochmal mit 36 multiplizieren?

>  Aber bei der e hab ich keine Ahnung. Nach dem Lesen des

Ich verstehe diese Frage ehrlich gesagt, gar nicht. Bei der ersten wird doch gar nicht gesagt, dass man alte Städte nochmal besuchen darf, und da nichts über die Lage dieser Städte gesagt ist, also z. B. wie bei kürzeste Wege Problemen, wo man dann auf möglichst kurzem Weg von einer in die nächste Stadt reisen soll, weiß ich nicht, was hier gemeint ist. Ist das so die exakte Aufgabenstellung?

> anderen Beitrags im Forum war ich aber nur noch verwirrter,
> deshalb stell ich sie nochmal.

Du hättest auch dort nachfragen können. Auf jeden Fall wäre es aber nicht schlecht, wenn du hier einen Link dorthin angibst, dann können wir uns das auch angucken und evtl. verstehen wir, was dir so unklar ist (oder aber wenigstens die Aufgabenstellung :-)).

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
                        
Bezug
Grundlagen Kombinatorik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:40 Do 15.05.2008
Autor: Kueken

Link

hier ist der Link =)

Bezug
                        
Bezug
Grundlagen Kombinatorik: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:31 Do 15.05.2008
Autor: Kueken

Hi Bastiane!

Ja die Aufgabenstellung ist so korrekt.
Meine Lösung zur ersten Frage kommt so zustande: es gibt 8 Tage. Und 6 Städte. Also 6 Städte müssen erstmal auf die 8 Tage verteilt werden also 6! Dann bleiben ja noch 2 Tage übrig. Und hier kann ich ja wieder zwischen den 6 Städten wählen also hab ich für den 7.ten Tag wieder 6 Möglichkeiten und für den 8.Tag wieder 6 Möglichkeiten. Also 6! *6*6

Bei dieser Aufgabe geht es wohl darum wie die Städte auf die Tage verteilt sind. Bei der ersten Frage kann ich ja auch wieder in eine der Städte zurück gehen. Was in meiner Lösung ja dann enthalten wäre. Aber bei der zweiten, wo ich eben nicht zurück darf, sondern in einer Stadt 3 Tage am Stück bleiben muss, oder in einer zwei Tage und in einer anderen auch zwei Tage, weiß ich nicht wie ich das in einer Rechnung unterbringen kann...

Liebe Grüße
Kerstin

Bezug
                                
Bezug
Grundlagen Kombinatorik: kleine Bitte
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:47 Do 15.05.2008
Autor: Herby

Hallo Kerstin,

wenn ich ehrlich bin, dann weiß ich nicht, wie eine andere Lösung als die von Hanno vorgeschlagene aussehen sollte.

Geh' nochmal Satz für Satz den Lösungsvorschlag durch und frage bitte an den dir unverständlichen Stellen konkret nach.

Der Einfachheit halber hänge ich diesen Thread an den anderen dran, dann braucht man nicht so oft hin und her klicken.


Liebe Grüße
Herby

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Grundlagen Kombinatorik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:19 Fr 16.05.2008
Autor: koepper

Hallo Kerstin,

verteile zuerst die 6 Städte auf die 8 Positionen. Dafür gibt es 8*7*6*5*4*3 Möglichkeiten. Die restlichen 2 Positionen können dann mit beliebigen Städten gefüllt werden, also das Ergebnis oben noch * 6 * 6.
Wenn nicht mehr in eine verlassene Stadt zurückgekehrt werden darf, dann müssen die nach Verteilung der 6 Städte auf 8 Positionen verbelibenden 2 Lücken zwingend mit den Städten, die jeweils davor stehen gefüllt werden. Damit entfällt hier das *6*6 am Ende. OK?

LG
Will

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Grundlagen Kombinatorik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:50 Fr 16.05.2008
Autor: Kueken

Danke dir Will! Das geht schon eher in meinen Kopf rein =)

Mit ist jetzt aufgefallen, dass beide Antworten eine Zustimmung bekommen haben, aber es kommt ein unterschiedliches Ergebnis raus...

Ich glaub ich nehme die zweite Variante.. die versteh ich =)

Liebe Grüße
Kerstin


P.S.: Hab das ausversehen als Frage deklariert... weiß nicht wie ich den Artikel jetzt zur Mitteilung machen kann...

Bezug
        
Bezug
Grundlagen Kombinatorik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Mo 01.08.2005
Autor: Hanno

Hallo Andre!

> Ein Reiseunternhemen bietet Touren mit möglichen Besuchen in 6 unterschiedlichen Städten an. An einem Tag kann nur eine Stadt besucht werden.
> a) Wie viele 4 Tagesresien sind möglich?
> a) $ [mm] 6^4 [/mm] $ (4 verschiede Tage auf 6 Städte wobei die verweildauer beliebig ist)

[ok]

> b) Wie viele 4 Tagesreisen sind möglich, wenn keine Stadt zwei Tage oder länger besucht wird?
> b) 6! / (4-2)! ( 4 verschiedene Tage auf 6 Städte verteilt, so das jede Stadt nur 1 Tag besucht wird)

[ok]

> c) Wieviele 6 Tagesreisen ohne Wiederholung sind möglich?
> c) 6! (ähnlich b)

[ok]

>  d) Wieviele 8 Tagesreisen sind möglich, wenn jede Stadt besucht wird.
> d) $ [mm] 6^8 [/mm] $ (8 Verschiedene Tage auf 6 Städte, verweildauer beliebig)

Das ist nicht richtig. Du berechnest mit [mm] $6^8$ [/mm] die Anzahl aller 8-Tagesreisen ohne Berücksichtigung der Forderung, dass jede Stadt wenigstens ein Mal besucht werden soll. Mein Vorschlag: nehmen wir an, zwei Städte kommen je zwei Mal in der Reise vor. Wählen wir diese zuerst aus den 6 Städten aus; dafür gibt es [mm] $\vektor{6\\ 2}$ [/mm] Möglichkeiten. Nun wählen wir die Tage, an denen diese beiden Städte besucht werden sollen. Dafür gibt es [mm] $\vektor{8\\ 2}\cdot\vektor{8-2\\ 2}$ [/mm] Möglichkeiten [will ich zwei Tage für die erste Stadt auswählen, die zwei Mal vorkommt, habe ich dafür [mm] $\vektor{8\\ 2}$ [/mm] Auswahlmöglichkeiten; für die Auswahl der nächsten zwei Tage, in der die zweite Stadt, die insgesamt zwei mal besucht wird, angefahren wird, bleiben noch [mm] $\vektor{8-2\\ 2}$ [/mm] Möglichkeiten]. Nun sind noch 4 Städte übrig, die auf 4 verbleibende Tage verteilt werden müssen. Dafür gibt es $4!$ Möglichkeiten. Die Zahl der 8-Tage Reisen, in denen jede Stadt wenigstens ein Mal, zwei Städte jedoch zwei Mal besucht werden, beträgt also [mm] $\vektor{6\\ 2}\vektor{8\\ 2}\vektor{6\\ 2} [/mm] 4!$. Es bleiben noch die Reisen zu zählen, in denen alle bis auf eine Stadt genau ein Mal vorkommen, letztgenannte hingegen genau drei Mal. Für die Auswahl der letztgenannten Stadt haben wir [mm] $\vektor{6\\ 1}=6$ [/mm] Möglichkeiten. Für die Auswahl der drei Tage, an denen sie angereist wird, gibt es [mm] $\vektor{8\\ 3}$ [/mm] Möglichkeiten. Für die Verteilung der übrigen 5 Städte auf die verbleibenden 5 Tage bleiben $5!$ Möglichkeiten. Insgesamt gibt es in diesem Fall demnach [mm] $6\vektor{8\\ 3} [/mm] 5!$ Möglichkeiten. Addieren wir die Reisen für beide Fälle, so ergeben sich insgesamt [mm] $\vektor{6\\ 2}\vektor{8\\ 2}\vektor{6\\ 2} 4!+6\vektor{8\\ 3} [/mm] 5!$ mögliche 8-Tage-Reisen, die der gegebenen Bedingung genügen.


> e) Wieviele 8 Tagesreisen sind möglich wenn jede Stadt besucht wird, aber keine in bereits verlassene Stadt  zurückgekehrt wird.

Auch in diesem Fall unterscheiden wir folgende Fälle: (1) Vier der sechs Städte werden 1 Mal, zweie von ihnen zwei mal besucht; für die Wahl der zwei Städte, die zwei mal besucht werden, haben wir abermals [mm] $\vektor{6\\ 2}$ [/mm] Möglichkeiten. Da zwischen dem Besuch zweier gleicher Städtev kein Besuch einer anderen liegen darf, müssen die Tage, in denen man sich in einer Stadt befindet, die zwei Tage lang besucht wird, aufeinander folgen. Wir brauchen also nur die Reihenfolge festrzulegen, in der die 6 Städte besucht werden; durch sie ist schon festgelegt, wann die zweitägigen Aufenthalte stattfinden. Für diese Anordnung haben wir $6!$ Möglichkeiten. Insgesamt ergeben sich für Fall (1) genau [mm] $\vektor{6\\ 2} [/mm] 6!$ Reisen. (2) 5 der sechs Städte werden genau 1 Mal besucht, eine von ihnen 3 mal. Auf analogem Wege erhalten wir die Anzahl [mm] $\vektor{6\\ 1} [/mm] 6!$ an gewünschten Reisen. -- Fasst man Fall (1) und (2) zusammen, so ergeben sich insgesamt [mm] $\vektor{6\\ 2} 6!+\vektor{6\\1} 6!=\vektor{6\\ 3} [/mm] 6!$ Rundreisen.


Liebe Grüße,
Hanno

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