Grundoperationen mit Polynomen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Mi 13.09.2006 | | Autor: | gugus |
| Aufgabe | | Erläuterungen zu Addition, Subtraktion, Division und Multiplikation von Polynomen |
Hallo zusammen
Kann mir jemand helfen was damit wohl gemeint sein könnte?
Ich schreibe an einem mathematischen Essay (Facharbeit) und soll als "Vorbemerkung" zu Polynomen und eben diesen Grundoperationen mit Polynomen Stellung nehmen.
Gibt es dazu spezielle Regeln, Axiome etc. welche ich nennen sollte ...
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Hallo und guten Tag,
wenn zB K ein Körper ist, so ist die Menge aller Polynome in einer Variablen mit Koeffizienten aus K ein Ring, notiert als K[X].
Solche Polynomringe werden allgemein in der Algebra studiert, und ein entsprechendes Lehrbuch (zB Serge Lang: Algebra) gibt Auskunft darüber.
Wenn zB [mm] p(X)=\sum_{i=0}^na_iX^i [/mm] und [mm] q(X)=\sum_{i=0}^mb_iX^i [/mm] zwei Polynome sind, so sei oBdA [mm] m\leq [/mm] n, dann ist zB
p+q das Polynom [mm] \sum_{i=0}^m(a_i+b_i)X^i\:\: +\sum_{i=m+1}^n a_iX^i,
[/mm]
und ähnlich kann man das Polynom [mm] p\cdot [/mm] q (vom Grad [mm] m\cdot [/mm] n, wenn [mm] a_n\neq 0\neq b_m) [/mm] definieren.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Mi 13.09.2006 | | Autor: | gugus |
Ich versuche gerade deine Formel in Worte zu fassen (Danke übrigens für die Hilfe!) ...
Gegeben seien p(x) und q(x) zwei Polynome mit der Ordnung m und n und m ? n. Um die Summe dieser Polynome zu bilden, addiert man die Koeffizienten der ersten m Glieder und multipliziert diese mit [mm] x_i [/mm] (gibts für die x-en auch ein Wort ?) dazu addiert man die restlichen m+1 bis n mit [mm] x_1 [/mm] multiplizierten Glieder und erhält so das Polynom p(x) + q(x).
ist das "mathematisch"-korrekt ?
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Hallo nochmal,
das x ist die Variable. Polynome werden addiert, indem man die Koeffizienten passend addiert: Der Koeffizient zum Term [mm] x^i [/mm] des neuen Polynoms p(x)+q(x) ist die Summe der Koeffizienten zum Term [mm] x^i [/mm] der beiden Polynome p, q. Wenn eines der beiden kleineren Grad als das andere hat, sind halt
bei dem mit kleinerem Grad die Koeffizienten zu den [mm] x^i, [/mm] i> Grad dieses Polynoms, gleich 0.
Zwei Polynome [mm] p(x)=\sum_{i=0}a_ix^i [/mm] und [mm] q(x)=\sum_{j=0}^mb_j\cdot x^j [/mm] werden sozusagen formal so multipliziert:
[mm] (p\cdot [/mm] q)(x)= [mm] (\sum_{i=0}a_ix^i )\:\cdot \: (\sum_{j=0}^mb_j\cdot x^j)
[/mm]
Klar soweit ?
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Do 21.09.2006 | | Autor: | gugus |
Ich stehe nach wie vor noch etwas am Berg ...
Vielleicht kann mir ja jemand mal weiterhelfen ...
Was lässt sich zu den Grundopperationen + - : * mit Polynomen sagen, welche Rechengesetze gelten dabei ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Do 21.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo gugus
Wie willst du Lehrer werden wenn du nicht mal rumexperimentierst.
addier doch 2 und 3 Polynome, sieh nach ob das kommutativ und assoziativ ist. dasselbe mit Multiplikation und der Kombination von * und +
die"Beweise" ergeben sich praktisch aus den Beispielen, weil man ja nur die Gesetze der reellen Zahlen verwendet.
Dann dividier mal. schon einfache Polynome wie x und x+1!
Das soll doch DEINE Facharbeit werden
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Fr 22.09.2006 | | Autor: | gugus |
Hab ich gemacht, komme zu folgendem Resultat immeer auf Polynome bezogen :
Assoziativgesetz gilt für alle 4 Grundrechenarten, Kommutativ für + und * Distributiv für (+,-), (+,*), (+,:) (-, *) (-,:), (*,:) eigentlich für alle ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Fr 22.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo gugus
Welches Polynom erhältst du denn wenn du x durch x+1 dividierst? oder [mm] $x^7+3x^2+6$ [/mm] durch [mm] $x^2-1$ [/mm] usw?
Gruss leduart
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