Grundwissen für Polynomringe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Sa 26.04.2014 | | Autor: | Tinitus |
Hallo,
ich hätte ein paar Fragen bzw. Bestätigungen zum Lernmaterial, da ich wahrscheinlich einfach gerade ein wenig überfordert bin, mir klare Gedanken/Beispiele zu gestalten...
Wird wohl ein wenig längerer Text...
Also fangen wir Vorne an:
Was ist eine Gruppe?
Sie besteht aus einer Menge G , einer Verknüpfung [mm] \circ [/mm] von G x G [mm] \to [/mm] G und es müssen 3 Axiome erfüllt sein:
1. a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] c) = (a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] c
2. [mm] \exists [/mm] (eindeutig betimmtes) e [mm] \in [/mm] G mit e [mm] \circ [/mm] a = a [mm] \circ [/mm] e = a
3. [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G [mm] \exists a^{-1} [/mm] mit [mm] a^{-1} \circ [/mm] a = a [mm] \circ a^{-1} [/mm] = e
(4. abelsche Gruppe wenn a [mm] \circ [/mm] b = b [mm] \circ [/mm] a)
wobei a, b, c, e, [mm] a^{-1} \in [/mm] G
Mir leuchtet ein das z.B. G = [mm] \IZ [/mm] mit der Addition als Verknüpfung eine Gruppe ist. Die Menge besteht aus den natürlichen Zahlen...
Aber die Definition gibt vor, das die Gruppe aus einer Menge besteht, wie die aussieht, ist unbekannt, muss nur die Axiome erfüllen!?
D.h. es könnte auch eine Menge bestehend aus Funktionen sein?
Liegt dann der Gruppe eine Menge aus Funkionen vor, welche wiederrum einen Defintionsbereich und einen Wertebereich benötigen...
Hat jede Funktion aus dieser Menge dann automatisch den selben Defintionsbereich?
Gefundenes Beispiel: Die Menge [mm] \operatorname{Sym}(X) [/mm] aller bijektiven Abbildungen einer Menge [mm] X\, [/mm] in sich bildet mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen eine Gruppe, die symmetrische Gruppe [mm] (\operatorname{Sym}(X), \circ).
[/mm]
Die Definitionmenge und Wertemenge ist wohl bei jeder Funktion gleich, ist das immer der Fall?
Wenn ich nun die Axiome durchgehe, heißt des wohl das für jede Funktion in der Menge aller Funktionen diese stimmen müssen... Egal für welches Element aus dem Definitionbereich?
z.B. Axiom 4 würd wie folgt aussehen: f(g(x)) =f(x) [mm] \circ [/mm] g(x) = g(x) [mm] \circ [/mm] f(x) = g(f(x)) .. falsche Behauptung also keine abelsche Gruppe, aber was mir wichtiger ist, warum nicht f(x) [mm] \circ [/mm] f(y) = f(y) [mm] \circ [/mm] f(x) oder f(x) [mm] \circ [/mm] g(y) = g(y) [mm] \circ [/mm] f(x) zeigen ? in der Definition steht ja nur a [mm] \circ [/mm] b = b [mm] \circ [/mm] a *grml*
Okay von Gruppe führt der Weg zum Ring..
Wir haben wieder eine Menge R (bezeichnen wird hier praktischerweise als R ) , zwei Verknüfungen (Addition und Multiplitkation genannt) + und [mm] \* [/mm] und es müssen 2 Axiome erfüllt sein:
1. Mit der Verknüfpfung + muss R eine abelsche Gruppe sein.
Dabei steht "mit dem neutralen Element 0" ? Muss es ab hier wirklich die Zahl 0 sein (Die 0 ist nicht fett gedruckt...) oder steht sie nur als Symbol?
Kann die Menge nun nicht mehr eine Menge von Funktionen sein oder anderen Elementen (Keine Zahlen wie z.B. [mm] \IN [/mm] )?
2. Assoziativität mit der Verknüpfung [mm] \*
[/mm]
3. Es gelten die Distributivgesetze
a [mm] \* [/mm] (b + c) = a [mm] \* [/mm] b + a [mm] \* [/mm] c
(a + b) [mm] \* [/mm] c = a [mm] \* [/mm] c + b [mm] \* [/mm] c
(4. [mm] \exists [/mm] ein neutrales Element 1 [mm] \in [/mm] R bezüglich der Multiplikation, so ist es ein Ring mit Einselement.)
(5. Ist die Multiplikation kommutativ so ist es ein kommutativer Ring)
Die Verknüpfungen (hier Multiplikation und Addition genannt) sind aber hier nicht wirklich die "Multiplikation" und "Addition" wie man es bei aus der Grundschule kennt, sondern wie auch bei den Gruppen nur Rechenvorschriften die man wieder selbst definieren kann oder?
Begreife nicht wieso man sie "Multiplikation" und "Addition" nennt und es nicht bei dem Wort "Verknüfungen" belässt, mit z.B [mm] \circ_{1} [/mm] und [mm] \circ_{2} [/mm] veranschaulicht.. Nein man muss sie "+" und " [mm] \* [/mm] " schreiben :D
Ich bin auf Antworten gespannt, vllt klärt sich für mich dann auch der Rest..
Danke =)
MfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Tinitus,
> Hallo,
>
> ich hätte ein paar Fragen bzw. Bestätigungen zum
> Lernmaterial, da ich wahrscheinlich einfach gerade ein
> wenig überfordert bin, mir klare Gedanken/Beispiele zu
> gestalten...
> Wird wohl ein wenig längerer Text...
>
> Also fangen wir Vorne an:
>
> Was ist eine Gruppe?
> Sie besteht aus einer Menge G , einer Verknüpfung [mm]\circ[/mm]
> von G x G [mm]\to[/mm] G und es müssen 3 Axiome erfüllt sein:
> 1. a [mm]\circ[/mm] (b [mm]\circ[/mm] c) = (a [mm]\circ[/mm] b) [mm]\circ[/mm] c
> 2. [mm]\exists[/mm] (eindeutig betimmtes) e [mm]\in[/mm] G mit e [mm]\circ[/mm] a = a
> [mm]\circ[/mm] e = a
> 3. [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] G [mm]\exists a^{-1}[/mm] mit [mm]a^{-1} \circ[/mm] a = a
> [mm]\circ a^{-1}[/mm] = e
> (4. abelsche Gruppe wenn a [mm]\circ[/mm] b = b [mm]\circ[/mm] a)
> wobei a, b, c, e, [mm]a^{-1} \in[/mm] G
>
> Mir leuchtet ein das z.B. G = [mm]\IZ[/mm] mit der Addition als
> Verknüpfung eine Gruppe ist. Die Menge besteht aus den
> natürlichen Zahlen...
Ganzen Zahlen! Sonst fehlen Inverse.
> Aber die Definition gibt vor, das die Gruppe aus einer
> Menge besteht, wie die aussieht, ist unbekannt, muss nur
> die Axiome erfüllen!?
> D.h. es könnte auch eine Menge bestehend aus Funktionen
> sein?
Ja.
> Liegt dann der Gruppe eine Menge aus Funkionen vor, welche
> wiederrum einen Defintionsbereich und einen Wertebereich
> benötigen...
> Hat jede Funktion aus dieser Menge dann automatisch den
> selben Defintionsbereich?
Nein. Die Elemente dieser Menge sind Wirklich Völlig Irrelevant. Du kannst natürlich auch für Funktion mit verschiedenen Wertebereichen passende Verknüpfungen definieren.
> Gefundenes Beispiel: Die Menge [mm]\operatorname{Sym}(X)[/mm] aller
> bijektiven Abbildungen einer Menge [mm]X\,[/mm] in sich bildet mit
> der Hintereinanderausführung von Abbildungen eine Gruppe,
> die symmetrische Gruppe [mm](\operatorname{Sym}(X), \circ).[/mm]
>
> Die Definitionmenge und Wertemenge ist wohl bei jeder
> Funktion gleich, ist das immer der Fall?
Nein. Das ist sozusagen Zufall.
> Wenn ich nun die Axiome durchgehe, heißt des wohl das
> für jede Funktion in der Menge aller Funktionen diese
> stimmen müssen... Egal für welches Element aus dem
> Definitionbereich?
> z.B. Axiom 4 würd wie folgt aussehen: f(g(x)) =f(x) [mm]\circ[/mm]
> g(x) = g(x) [mm]\circ[/mm] f(x) = g(f(x)) .. falsche Behauptung also
> keine abelsche Gruppe,
Jedenfalls wenn X mehr als zwei Elemente besitzt. Sonst ist die Gruppe doch abelsch.
aber was mir wichtiger ist, warum
> nicht f(x) [mm]\circ[/mm] f(y) = f(y) [mm]\circ[/mm] f(x) oder f(x) [mm]\circ[/mm]
> g(y) = g(y) [mm]\circ[/mm] f(x) zeigen ? in der Definition steht ja
> nur a [mm]\circ[/mm] b = b [mm]\circ[/mm] a *grml*
>
> Okay von Gruppe führt der Weg zum Ring..
> Wir haben wieder eine Menge R (bezeichnen wird hier
> praktischerweise als R ) , zwei Verknüfungen (Addition und
> Multiplitkation genannt) + und [mm]\*[/mm] und es müssen 2 Axiome
> erfüllt sein:
> 1. Mit der Verknüfpfung + muss R eine abelsche Gruppe
> sein.
> Dabei steht "mit dem neutralen Element 0" ? Muss es ab
> hier wirklich die Zahl 0 sein (Die 0 ist nicht fett
> gedruckt...) oder steht sie nur als Symbol?
Letzteres.
> Kann die Menge nun nicht mehr eine Menge von Funktionen
> sein oder anderen Elementen (Keine Zahlen wie z.B. [mm]\IN[/mm] )?
Die Menge kann aus allen möglichen Elementen bestehen (auf jeder Menge lassen sich Ringstrukturen definieren).
> 2. Assoziativität mit der Verknüpfung [mm]\*[/mm]
> 3. Es gelten die Distributivgesetze
> a [mm]\*[/mm] (b + c) = a [mm]\*[/mm] b + a [mm]\*[/mm] c
> (a + b) [mm]\*[/mm] c = a [mm]\*[/mm] c + b [mm]\*[/mm] c
> (4. [mm]\exists[/mm] ein neutrales Element 1 [mm]\in[/mm] R bezüglich der
> Multiplikation, so ist es ein Ring mit Einselement.)
> (5. Ist die Multiplikation kommutativ so ist es ein
> kommutativer Ring)
>
> Die Verknüpfungen (hier Multiplikation und Addition
> genannt) sind aber hier nicht wirklich die "Multiplikation"
> und "Addition" wie man es bei aus der Grundschule kennt,
> sondern wie auch bei den Gruppen nur Rechenvorschriften die
> man wieder selbst definieren kann oder?
Ja. Das ist immer so in Mathe.
> Begreife nicht wieso man sie "Multiplikation" und
> "Addition" nennt und es nicht bei dem Wort "Verknüfungen"
> belässt, mit z.B [mm]\circ_{1}[/mm] und [mm]\circ_{2}[/mm] veranschaulicht..
> Nein man muss sie "+" und " [mm]\*[/mm] " schreiben :D
Damit die Intuition passt. Man ist an Tausende Beispiele gewohnt, wo das Distributivgesetz gilt.
>
> Ich bin auf Antworten gespannt, vllt klärt sich für mich
> dann auch der Rest..
>
> Danke =)
>
> MfG
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 So 27.04.2014 | | Autor: | Tinitus |
Super, Danke für die Antwort =)
Wieso die Definition- bzw. Wertemenge der Funktionen irrelevant sind versteh ich aber noch nicht ganz..
Wenn ich nochmal das 4. Axiom aufgreife und zeigen will f(g(x)) =f(x) [mm] \circ [/mm] g(x) = g(x) [mm] \circ [/mm] f(x) = g(f(x))
Müsste dann das x nicht in beiden Def-mengen liegen um es "brechnen" zu können?
Bzw sollten dann nicht die Werte die g(x) hat in der Def.-Menge von f (und umgekehrt) liegen ? Sonst kann die Verkettung doch garnicht durchgeführt werden ?
Sonst habe ich alles verstanden bzw bestätigt bekommen wie ich es mir schon dachte... eine bestätigende Reaktion ist einfach manchmal besser als sich noch viel mehr Gedanken zu machen bzw sich im Kreis zu drehen..
Weiter geht es..
Ein kommutativer Ring mit Einselement, und in dem es zu jedem Element [mm] \not= [/mm] 0 ein multiplikatives Element gibt, heißt Körper.
Ich denke das ist nun klar... kann auch hier wie immer eine Menge sein z.B. von Funktionen oder sonstigem!?
Jetzt möchte ich von Körper und K-Vektorraus zur K-Algebra...
Körper ist klar..
Die Definition von einem K-Vektorraum aus Wiki:
Es seien V eine Menge, (K, +, [mm] \cdot) [/mm] ein Körper, [mm] \oplus\colon [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V eine innere zweistellige Verknüpfung, genannt Vektoraddition, und [mm] \odot\colon [/mm] K [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V eine äußere zweistellige Verknüpfung, genannt Skalarmultiplikation. Man nennt dann (V, [mm] \oplus, \odot) [/mm] einen Vektorraum über dem Körper K oder kurz K-Vektorraum, wenn für die Vektoraddition die Eigenschaften
V1: u [mm] \oplus [/mm] (v [mm] \oplus [/mm] w) = (u [mm] \oplus [/mm] v) [mm] \oplus [/mm] w (Assoziativgesetz)
V2: Existenz eines neutralen Elements [mm] 0_V \in [/mm] V mit v [mm] \oplus 0_V [/mm] = [mm] 0_V \oplus [/mm] v = v
V3: Existenz eines zu v [mm] \in [/mm] V inversen Elements -v [mm] \in [/mm] V mit v [mm] \oplus [/mm] (-v) = (-v) [mm] \oplus [/mm] v = [mm] 0_V
[/mm]
V4: v [mm] \oplus [/mm] u = u [mm] \oplus [/mm] v (Kommutativgesetz)
und weiter für die Skalarmultiplikation die Eigenschaften
S1: [mm] \alpha \odot [/mm] (u [mm] \oplus [/mm] v) = [mm] (\alpha \odot [/mm] u) [mm] \oplus (\alpha \odot [/mm] v)
S2: [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta) \odot [/mm] v = [mm] (\alpha \odot [/mm] v) [mm] \oplus (\beta \odot [/mm] v)
S3: [mm] (\alpha \cdot \beta) \odot [/mm] v = [mm] \alpha \odot (\beta \odot [/mm] v)
S4: Neutralität des Einselements 1 [mm] \in [/mm] K, also 1 [mm] \odot [/mm] v = v
für alle u, v, w [mm] \in [/mm] V und [mm] \alpha, \beta \in [/mm] K erfüllt sind.
Eigentlich klar aber: der Körper kann auch hier eine Menge von Funktionen beinhalten!? V ist eine Menge... auch hier alles möglich ?
Müssen die Mengen die gleichen Bestandteile haben also z.B. hat der Körper eine Menge von Funktionen, so muss auch V eine Menge von Funktionen sein?
Jedoch steht auch in Wiki, dass die Elemente eines Vektorraums Vektoren heißen..
Also müsste V eine Menge von Vektoren sein?
Und um die S-Axiome erfüllen zu können müssten dann die Elemente von dem Körper Skalare sein um die Skalarmultiplikation durchführen zu können? Also Eine Menge von Zahlen (Skalare) und es können keine Funktionen mehr sein?
Bin da durcheinander gekommen...
Wenn das geklärt ist, hat man also einen Körper K und eine K-Vektorraum KV. Wenn nun für dieses KV eine zusätzliche Verknüpfung [mm] \* [/mm] definiert ist und es gilt:
1. (KV, +, [mm] \*) [/mm] ist ein Ring mit Einselement
2. a,b [mm] \in [/mm] KV, [mm] \lambda \in [/mm] K: [mm] \lambda(a \* [/mm] b) = [mm] (\lambda [/mm] a) [mm] \* [/mm] b = a [mm] \* (\lambda [/mm] b)
heißt KV K-Algebra über dem Körper K.
Die Verknüpfung [mm] \* [/mm] ist eine neue Verknüpfung, hat weder mit der Verknüpfung aus dem Körper noch aus dem K-Vektorraum zu tun oder?
In 2. wird z.B. das [mm] \lambda [/mm] a nur durch Skalarmultiplikation berechnet, hat nichts mit der Verknüpfung zu tun.
Ich weiß sind manchmal dumme Fragen dabei aber ich will mir einer 100% sicher sein ...
Muss es so verstehen, dass ich es mir einfach einprägen kann und nicht mehr vergesse..
Es mir irgendwie bildlich vorstellen können (klar nicht im Sinne von Koord-system, wird schwer ^^ ).
Bis hierhin sollte erstmal reichen
Danke =)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Mo 28.04.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Super, Danke für die Antwort =)
>
> Wieso die Definition- bzw. Wertemenge der Funktionen
> irrelevant sind versteh ich aber noch nicht ganz..
> Wenn ich nochmal das 4. Axiom aufgreife und zeigen will
> f(g(x)) =f(x) [mm]\circ[/mm] g(x) = g(x) [mm]\circ[/mm] f(x) = g(f(x))
> Müsste dann das x nicht in beiden Def-mengen liegen um es
> "brechnen" zu können?
> Bzw sollten dann nicht die Werte die g(x) hat in der
> Def.-Menge von f (und umgekehrt) liegen ? Sonst kann die
> Verkettung doch garnicht durchgeführt werden ?
Ja.
Die Definitions- bzw. Wertemenge der Funktionen sind insoweit wichtig,
dass die Gruppenverknüpfung wohldefiniert ist und die Gruppenaxiome
erfüllt. Aber es gibt verschiedene Möglichkeiten.
>
> Sonst habe ich alles verstanden bzw bestätigt bekommen wie
> ich es mir schon dachte... eine bestätigende Reaktion ist
> einfach manchmal besser als sich noch viel mehr Gedanken zu
> machen bzw sich im Kreis zu drehen..
>
> Weiter geht es..
> Ein kommutativer Ring mit Einselement, und in dem es zu
> jedem Element [mm]\not=[/mm] 0 ein multiplikatives Element gibt,
> heißt Körper.
> Ich denke das ist nun klar... kann auch hier wie immer eine
> Menge sein z.B. von Funktionen oder sonstigem!?
Ja.
>
> Jetzt möchte ich von Körper und K-Vektorraus zur
> K-Algebra...
> Körper ist klar..
> Die Definition von einem K-Vektorraum aus Wiki:
>
> Es seien V eine Menge, (K, +, [mm]\cdot)[/mm] ein Körper,
> [mm]\oplus\colon[/mm] V [mm]\times[/mm] V [mm]\to[/mm] V eine innere zweistellige
> Verknüpfung, genannt Vektoraddition, und [mm]\odot\colon[/mm] K
> [mm]\times[/mm] V [mm]\to[/mm] V eine äußere zweistellige Verknüpfung,
> genannt Skalarmultiplikation. Man nennt dann (V, [mm]\oplus, \odot)[/mm]
> einen Vektorraum über dem Körper K oder kurz
> K-Vektorraum, wenn für die Vektoraddition die
> Eigenschaften
>
> V1: u [mm]\oplus[/mm] (v [mm]\oplus[/mm] w) = (u [mm]\oplus[/mm] v) [mm]\oplus[/mm] w
> (Assoziativgesetz)
> V2: Existenz eines neutralen Elements [mm]0_V \in[/mm] V mit v
> [mm]\oplus 0_V[/mm] = [mm]0_V \oplus[/mm] v = v
> V3: Existenz eines zu v [mm]\in[/mm] V inversen Elements -v [mm]\in[/mm]
> V mit v [mm]\oplus[/mm] (-v) = (-v) [mm]\oplus[/mm] v = [mm]0_V[/mm]
> V4: v [mm]\oplus[/mm] u = u [mm]\oplus[/mm] v (Kommutativgesetz)
>
> und weiter für die Skalarmultiplikation die Eigenschaften
>
> S1: [mm]\alpha \odot[/mm] (u [mm]\oplus[/mm] v) = [mm](\alpha \odot[/mm] u) [mm]\oplus (\alpha \odot[/mm]
> v)
> S2: [mm](\alpha[/mm] + [mm]\beta) \odot[/mm] v = [mm](\alpha \odot[/mm] v) [mm]\oplus (\beta \odot[/mm]
> v)
> S3: [mm](\alpha \cdot \beta) \odot[/mm] v = [mm]\alpha \odot (\beta \odot[/mm]
> v)
> S4: Neutralität des Einselements 1 [mm]\in[/mm] K, also 1
> [mm]\odot[/mm] v = v
>
> für alle u, v, w [mm]\in[/mm] V und [mm]\alpha, \beta \in[/mm] K erfüllt
> sind.
>
> Eigentlich klar aber: der Körper kann auch hier eine Menge
> von Funktionen beinhalten!? V ist eine Menge... auch hier
> alles möglich ?
Ja.
> Müssen die Mengen die gleichen Bestandteile haben also
> z.B. hat der Körper eine Menge von Funktionen, so muss
> auch V eine Menge von Funktionen sein?
Nein, Körper und Vektorraum können verschiedene Mengen sein,
auch von verschiedener "Art". Es müssen nur die Vektorraumaxiome
erfüllt sein.
> Jedoch steht auch in Wiki, dass die Elemente eines
> Vektorraums Vektoren heißen..
> Also müsste V eine Menge von Vektoren sein?
Wie oben steht, die Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren ---
egal was die Menge des Vekrorraums ist. Es ist mehr zur Unterscheidung
zu den Elementen des dazugehörigen Körpers K, die Skalare heißen,
egal aus was die Menge des Körpers besteht.
Die Begriffe "Vektoren" und "Skalare" haben ihre Geschichte, sind aber auf
diese weise für K-Vektorräume verallgmeinert worden.
> Und um die S-Axiome erfüllen zu können müssten dann die
> Elemente von dem Körper Skalare sein um die
> Skalarmultiplikation durchführen zu können? Also Eine
> Menge von Zahlen (Skalare) und es können keine Funktionen
> mehr sein?
> Bin da durcheinander gekommen...
>
> Wenn das geklärt ist, hat man also einen Körper K und
> eine K-Vektorraum KV. Wenn nun für dieses KV eine
> zusätzliche Verknüpfung [mm]\*[/mm] definiert ist und es gilt:
> 1. (KV, +, [mm]\*)[/mm] ist ein Ring mit Einselement
> 2. a,b [mm]\in[/mm] KV, [mm]\lambda \in[/mm] K: [mm]\lambda(a \*[/mm] b) = [mm](\lambda[/mm]
> a) [mm]\*[/mm] b = a [mm]\* (\lambda[/mm] b)
>
> heißt KV K-Algebra über dem Körper K.
> Die Verknüpfung [mm]\*[/mm] ist eine neue Verknüpfung, hat weder
> mit der Verknüpfung aus dem Körper noch aus dem
> K-Vektorraum zu tun oder?
Ja, * ist noch eine weitere Verknüpfung zwischen Elementen aus dem
Vektorraum. Da nach 1. (KV, + , *) ein Ring mit Einselement ist, muss
für + und * die Distributivgesetze für Ringe gelten.
> In 2. wird z.B. das [mm]\lambda[/mm] a nur durch
> Skalarmultiplikation berechnet, hat nichts mit der
> Verknüpfung zu tun.
Ja, 2. legt die Verträglichkeit der Skalarmultiplikation von Elementen aus
dem Körper und Vektoren, und der neuen Verknüpfung * zwischen zwei
Elementen aus dem Vektorraum fest.
>
> Ich weiß sind manchmal dumme Fragen dabei aber ich will
> mir einer 100% sicher sein ...
> Muss es so verstehen, dass ich es mir einfach einprägen
> kann und nicht mehr vergesse..
> Es mir irgendwie bildlich vorstellen können (klar nicht
> im Sinne von Koord-system, wird schwer ^^ ).
>
> Bis hierhin sollte erstmal reichen
>
> Danke =)
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Mo 28.04.2014 | | Autor: | Tinitus |
Vielen lieben Dank für die Antwort meili =)
Ich habe heute nicht wirklich Zeit um es mir in Ruhe anzuschauen, werde aber die Woche noch dazu kommen und mir meine Gedanken dazu machen bzw. meine Gedanken dann wohl endlich ordnen können =)
Wenn noch weitere Fragen beim durchgehen meine Ordners kommen, melde ich mich nochmal ;)
Danke!
Grüße
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