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Gruppe: Inverse
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 Sa 18.03.2017
Autor: Herzblatt

Aufgabe
Sei n [mm] \in \IZ [/mm] und [mm] {\IZ}/{n\IZ} [/mm] die additive Gruppe der Kongruenzklassen modulo n.
i) Zeige: Wenn [mm] 1\le [/mm] a < n und a und n sind nicht teilerfremd, dann existiert ein 1 [mm] \le [/mm] b < n so, dass a*b=0 mod n
Folgere, dass [mm] \bar{a} [/mm] kein multiplikativ Inverses in [mm] {\IZ}/{n\IZ} [/mm]  haben kann.

Ich dachte mir, dass wenn wir wissen, dass n und a nicht teilerfremd sind, so kann man schreiben n=v*d und a=f*d wobei d ein gemeinsamer Teiler der beiden ist und v,f,d [mm] \in \IZ. [/mm] Wenn wir zeigen wollen, dass ab=0 mod n ist das äquivalent zu
ab=q*n für ein q [mm] \in \IZ [/mm]
das Obere eingesetzt ergibt:
f*d*b=q*v*d
das d kann man auf beiden Seiten kürzen so erhalten wir
f*b=q*v. Nun könnte man das ganze nach b auflösen, und müsste zeigen, dass es so ein b gibt.
Bringt mir das was? Ich weiss leider nicht weiter....
über Anregungen würde ich mich sehr freuen :-)

        
Bezug
Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:42 Sa 18.03.2017
Autor: Ladon

Teil 1: $a $ und $n$ nicht teilerfremd folgt es existiert ein $d>1 $, s.d. $d|a$ und $d|n$, d.h. es gibt [mm] $1\le [/mm] x,y <n $, s.d. $a=dx$ und $n=dy$, was zu $ay=dxy$ und $nx=dxy$ äquivalent ist. Es folgt [mm] $ay=nx\gdw [/mm] ay-nx=0$. Das bedeutet aber: es gibt ein [mm] $1\le [/mm] y <n$ mit [mm] $(a+n\IZ)(y+\IZ)=0$. [/mm]

Wie kommt man darauf? Betrachte verschiedene Beispiele, z.B. [mm] $\IZ/9\IZ [/mm] $ und $a = 6$ mit gemeinsamen Teiler $3$. Dann schau, was das kgV ist.

Zu dem 2. Teil: Nutze Ring- und Idealtheorie. Zeige hat $a$ ein multiplicatives Inverses, d.h. [mm] $a+n\IZ\in (\IZ/n\IZ)^\times [/mm] $, so sind a und n teilerfremd, d.h. $ggT(a,n)=1$.
[mm] $a+n\IZ\in (\IZ/n\IZ)^\times [/mm] $, dann existiert ein [mm] $1\le [/mm] b <n$ mit [mm] $(a+n\IZ)(b+n\IZ)=ab+n\IZ=1+n\IZ [/mm] $, d.h. es existieren  [mm] $x,y\in\IZ$, [/mm] s.d. $ab+nx=1+ny [mm] \gdw [/mm] ab+n(x-y)=1$. Daraus folgt $(a,n)=(a)+(n)=(1)$, was $ggT(a,n)=1$ impliziert.

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Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:01 Sa 18.03.2017
Autor: Herzblatt


> Teil 1: [mm]a[/mm] und [mm]n[/mm] nicht teilerfremd folgt es existiert ein
> [mm]d>1 [/mm], s.d. [mm]d|a[/mm] und [mm]d|n[/mm], d.h. es gibt [mm]1\le x,y
> [mm]a=dx[/mm] und [mm]n=dy[/mm], was zu [mm]ay=dxy[/mm] und [mm]nx=dxy[/mm] äquivalent ist. Es
> folgt [mm]ay=nx\gdw ay-nx=0[/mm]. Das bedeutet aber: es gibt ein
> [mm]1\le y
>  

Meinst du [mm](a+n\IZ)(y+n\IZ)=0[/mm]?
Dann würde ich es verstehen.

> Wie kommt man darauf? Betrachte verschiedene Beispiele,
> z.B. [mm]\IZ/9\IZ[/mm] und [mm]a = 6[/mm] mit gemeinsamen Teiler [mm]3[/mm]. Dann
> schau, was das kgV ist.
>  
> Zu dem 2. Teil: Nutze Ring- und Idealtheorie. Zeige hat [mm]a[/mm]
> ein multiplicatives Inverses, d.h. [mm]a+n\IZ\in (\IZ/n\IZ)^\times [/mm],
> so sind a und n teilerfremd, d.h. [mm]ggT(a,n)=1[/mm].
>  [mm]a+n\IZ\in (\IZ/n\IZ)^\times [/mm], dann existiert ein [mm]1\le b
> mit [mm](a+n\IZ)(b+n\IZ)=ab+n\IZ=1+n\IZ [/mm], d.h. es existieren  
> [mm]x,y\in\IZ[/mm], s.d. [mm]ab+nx=1+ny \gdw ab+n(x-y)=1[/mm]. Daraus folgt
> [mm](a,n)=(a)+(n)=(1)[/mm], was [mm]ggT(a,n)=1[/mm] impliziert.

Ah super. Das heißt meine Aussage ist ja die Negation von dem was du gerade bewiesen hast. Nicht teilerfremd--> kein multiplikativ Inverses.
Super, vielen Dank dir!


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Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:18 Sa 18.03.2017
Autor: Herzblatt


> > Teil 1: [mm]a[/mm] und [mm]n[/mm] nicht teilerfremd folgt es existiert ein
> > [mm]d>1 [/mm], s.d. [mm]d|a[/mm] und [mm]d|n[/mm], d.h. es gibt [mm]1\le x,y
> > [mm]a=dx[/mm] und [mm]n=dy[/mm], was zu [mm]ay=dxy[/mm] und [mm]nx=dxy[/mm] äquivalent ist. Es
> > folgt [mm]ay=nx\gdw ay-nx=0[/mm]. Das bedeutet aber: es gibt ein
> > [mm]1\le y
>  >  
> Meinst du [mm](a+n\IZ)(y+n\IZ)=0[/mm]?
>  Dann würde ich es verstehen.

Beziehungsweise könnte man nicht schon auf [mm] ay=nx [/mm] modulo n anwenden, dann steht da ja gleich ay=0 was zu zeigen war?

>  > Wie kommt man darauf? Betrachte verschiedene Beispiele,

> > z.B. [mm]\IZ/9\IZ[/mm] und [mm]a = 6[/mm] mit gemeinsamen Teiler [mm]3[/mm]. Dann
> > schau, was das kgV ist.
>  >  
> > Zu dem 2. Teil: Nutze Ring- und Idealtheorie. Zeige hat [mm]a[/mm]
> > ein multiplicatives Inverses, d.h. [mm]a+n\IZ\in (\IZ/n\IZ)^\times [/mm],
> > so sind a und n teilerfremd, d.h. [mm]ggT(a,n)=1[/mm].
>  >  [mm]a+n\IZ\in (\IZ/n\IZ)^\times [/mm], dann existiert ein [mm]1\le b
> > mit [mm](a+n\IZ)(b+n\IZ)=ab+n\IZ=1+n\IZ [/mm], d.h. es existieren  
> > [mm]x,y\in\IZ[/mm], s.d. [mm]ab+nx=1+ny \gdw ab+n(x-y)=1[/mm]. Daraus folgt
> > [mm](a,n)=(a)+(n)=(1)[/mm], was [mm]ggT(a,n)=1[/mm] impliziert.
> Ah super. Das heißt meine Aussage ist ja die Negation von
> dem was du gerade bewiesen hast. Nicht teilerfremd--> kein
> multiplikativ Inverses.
>  Super, vielen Dank dir!
>  


Bezug
                                
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Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:51 Sa 18.03.2017
Autor: Ladon


> > > Teil 1: [mm]a[/mm] und [mm]n[/mm] nicht teilerfremd folgt es existiert ein
> > > [mm]d>1 [/mm], s.d. [mm]d|a[/mm] und [mm]d|n[/mm], d.h. es gibt [mm]1\le x,y
> > > [mm]a=dx[/mm] und [mm]n=dy[/mm], was zu [mm]ay=dxy[/mm] und [mm]nx=dxy[/mm] äquivalent ist. Es
> > > folgt [mm]ay=nx\gdw ay-nx=0[/mm]. Das bedeutet aber: es gibt ein
> > > [mm]1\le y
>  >  >  
> > Meinst du [mm](a+n\IZ)(y+n\IZ)=0[/mm]?
>  >  Dann würde ich es verstehen.
>  Beziehungsweise könnte man nicht schon auf [mm]ay=nx[/mm] modulo n
> anwenden, dann steht da ja gleich ay=0 was zu zeigen war?

Klar. Warum nicht? ;-)

>  >  > Wie kommt man darauf? Betrachte verschiedene

> Beispiele,
> > > z.B. [mm]\IZ/9\IZ[/mm] und [mm]a = 6[/mm] mit gemeinsamen Teiler [mm]3[/mm]. Dann
> > > schau, was das kgV ist.
>  >  >  
> > > Zu dem 2. Teil: Nutze Ring- und Idealtheorie. Zeige hat [mm]a[/mm]
> > > ein multiplicatives Inverses, d.h. [mm]a+n\IZ\in (\IZ/n\IZ)^\times [/mm],
> > > so sind a und n teilerfremd, d.h. [mm]ggT(a,n)=1[/mm].
>  >  >  [mm]a+n\IZ\in (\IZ/n\IZ)^\times [/mm], dann existiert ein
> [mm]1\le b
> > > mit [mm](a+n\IZ)(b+n\IZ)=ab+n\IZ=1+n\IZ [/mm], d.h. es existieren  
> > > [mm]x,y\in\IZ[/mm], s.d. [mm]ab+nx=1+ny \gdw ab+n(x-y)=1[/mm]. Daraus folgt
> > > [mm](a,n)=(a)+(n)=(1)[/mm], was [mm]ggT(a,n)=1[/mm] impliziert.
> > Ah super. Das heißt meine Aussage ist ja die Negation von
> > dem was du gerade bewiesen hast. Nicht teilerfremd--> kein
> > multiplikativ Inverses.
>  >  Super, vielen Dank dir!
>  >  
>  


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Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 Sa 18.03.2017
Autor: Ladon


> > Teil 1: [mm]a[/mm] und [mm]n[/mm] nicht teilerfremd folgt es existiert ein
> > [mm]d>1 [/mm], s.d. [mm]d|a[/mm] und [mm]d|n[/mm], d.h. es gibt [mm]1\le x,y
> > [mm]a=dx[/mm] und [mm]n=dy[/mm], was zu [mm]ay=dxy[/mm] und [mm]nx=dxy[/mm] äquivalent ist. Es
> > folgt [mm]ay=nx\gdw ay-nx=0[/mm]. Das bedeutet aber: es gibt ein
> > [mm]1\le y
>  >  
> Meinst du [mm](a+n\IZ)(y+n\IZ)=0[/mm]?
>  Dann würde ich es verstehen.

Ich meine [mm](a+n\IZ)(y+n\IZ)=0+n\IZ[/mm]


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