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Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:56 Fr 12.05.2017
Autor: Herzblatt

Aufgabe
Sei [mm] G=<-1,\frac{i}{2}> \le \IC*. [/mm] Beschreibe diese Gruppe explizit als direktes Produkt von zwei zyklischen Gruppen.

Die Elemente in G múessten ja von der Form [mm] n*(-1,\frac{i}{2}) [/mm] sein, wobei n [mm] \in \IZ. [/mm] Waere die eine zyklische Gruppe damit schon mal [mm] \IZ? [/mm] Damit koennte man zumindest die Vielfachen von -1 [mm] darstellen...(\IZ [/mm] wird ja gerade von -1 bzw. 1 erzeugt). Aber wie stelle ich Elemente der Form [mm] \frac{i}{2} [/mm] als zkyklische Gruppe dar?

Lieben Dank im Voraus,

Herzblatt

        
Bezug
Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:44 Fr 12.05.2017
Autor: hippias


> Sei [mm]G=<-1,\frac{i}{2}> \le \IC*.[/mm] Beschreibe diese Gruppe
> explizit als direktes Produkt von zwei zyklischen Gruppen.
>  Die Elemente in G múessten ja von der Form
> [mm]n*(-1,\frac{i}{2})[/mm] sein,

Ein Ding wie [mm] $n*(-1,\frac{i}{2})$ [/mm] ist nicht in $G$ enthalten, einfach weil es keine komplexe Zahl darstellt.

> wobei n [mm]\in \IZ.[/mm] Waere die eine
> zyklische Gruppe damit schon mal [mm]\IZ?[/mm] Damit koennte man
> zumindest die Vielfachen von -1 [mm]darstellen...(\IZ[/mm] wird ja
> gerade von -1 bzw. 1 erzeugt). Aber wie stelle ich Elemente
> der Form [mm]\frac{i}{2}[/mm] als zkyklische Gruppe dar?

1. Eine Gruppe ohne Verknüpfung ist Unsinn: daher frage Dich zuerst, welche Verknüpfung für $G$ gemeint ist.
2. Du hast gelernt, dass man die erzeugte Untergruppe als Durchschnitt darstellen kann; das ist hier nicht so nützlich. Du weisst aber auch, durch welche Terme in den Erzeugenden die Elemente von $G$ dargestellt werden; diese Darstellung kannst Du nutzen, um eine Vermutung darüber anzustellen, als direktes Produkt welcher zyklischen Untergruppen $G$ dargestellt werden könnte.  

>  
> Lieben Dank im Voraus,
>
> Herzblatt


Bezug
                
Bezug
Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:06 Fr 12.05.2017
Autor: Herzblatt


> > Sei [mm]G=<-1,\frac{i}{2}> \le \IC*.[/mm] Beschreibe diese Gruppe
> > explizit als direktes Produkt von zwei zyklischen Gruppen.
>  >  Die Elemente in G múessten ja von der Form
> > [mm]n*(-1,\frac{i}{2})[/mm] sein,
> Ein Ding wie [mm]n*(-1,\frac{i}{2})[/mm] ist nicht in [mm]G[/mm] enthalten,
> einfach weil es keine komplexe Zahl darstellt.
> > wobei n [mm]\in \IZ.[/mm] Waere die eine
> > zyklische Gruppe damit schon mal [mm]\IZ?[/mm] Damit koennte man
> > zumindest die Vielfachen von -1 [mm]darstellen...(\IZ[/mm] wird ja
> > gerade von -1 bzw. 1 erzeugt). Aber wie stelle ich Elemente
> > der Form [mm]\frac{i}{2}[/mm] als zkyklische Gruppe dar?
>  1. Eine Gruppe ohne Verknüpfung ist Unsinn: daher frage
> Dich zuerst, welche Verknüpfung für [mm]G[/mm] gemeint ist.

Ich vermute mal eine additive Verknüpfung? Also könnten die Elemente von G von der Form [mm] n*(-1)+m*\frac{i}{2} [/mm] sein, wobei n, m [mm] \in \IZ? [/mm]

>  2. Du hast gelernt, dass man die erzeugte Untergruppe als
> Durchschnitt darstellen kann; das ist hier nicht so
> nützlich. Du weisst aber auch, durch welche Terme in den
> Erzeugenden die Elemente von [mm]G[/mm] dargestellt werden; diese
> Darstellung kannst Du nutzen, um eine Vermutung darüber
> anzustellen, als direktes Produkt welcher zyklischen
> Untergruppen [mm]G[/mm] dargestellt werden könnte.  

Kannst du mir vielleicht genauer erklären, was du damit meinst? War zum Beispiel meine Vermutung mit [mm] \IZ [/mm] richtig? Wenn ja, welche  Gruppe ist zyklisch und beinhaltet komplexe Zahlen?
Ich bin jetzt ganz verwirrt.....falls die Vermutung stimmt und ich habe eine additive Verknüpfung, wie kann man diese dann als Produkt von zwei zyklischen Gruppen darstellen?!...

> >  

> > Lieben Dank im Voraus,
> >
> > Herzblatt
>  


Bezug
                        
Bezug
Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:59 Sa 13.05.2017
Autor: hippias


> > > Sei [mm]G=<-1,\frac{i}{2}> \le \IC*.[/mm] Beschreibe diese Gruppe
> > > explizit als direktes Produkt von zwei zyklischen Gruppen.
>  >  >  Die Elemente in G múessten ja von der Form
> > > [mm]n*(-1,\frac{i}{2})[/mm] sein,
> > Ein Ding wie [mm]n*(-1,\frac{i}{2})[/mm] ist nicht in [mm]G[/mm] enthalten,
> > einfach weil es keine komplexe Zahl darstellt.
> > > wobei n [mm]\in \IZ.[/mm] Waere die eine
> > > zyklische Gruppe damit schon mal [mm]\IZ?[/mm] Damit koennte man
> > > zumindest die Vielfachen von -1 [mm]darstellen...(\IZ[/mm] wird ja
> > > gerade von -1 bzw. 1 erzeugt). Aber wie stelle ich Elemente
> > > der Form [mm]\frac{i}{2}[/mm] als zkyklische Gruppe dar?
>  >  1. Eine Gruppe ohne Verknüpfung ist Unsinn: daher
> frage
> > Dich zuerst, welche Verknüpfung für [mm]G[/mm] gemeint ist.
>  
> Ich vermute mal eine additive Verknüpfung?

Dann möchte ich an die Aufgabenstellung erinnern, die Du hier eingestellt hast: $ [mm] G=<-1,\frac{i}{2}> \le \IC\cdot{}. [/mm] $

> Also könnten
> die Elemente von G von der Form [mm]n*(-1)+m*\frac{i}{2}[/mm] sein,
> wobei n, m [mm]\in \IZ?[/mm]

Im additiven Fall: ja.

>  >  2. Du hast gelernt, dass man die
> erzeugte Untergruppe als
> > Durchschnitt darstellen kann; das ist hier nicht so
> > nützlich. Du weisst aber auch, durch welche Terme in den
> > Erzeugenden die Elemente von [mm]G[/mm] dargestellt werden; diese
> > Darstellung kannst Du nutzen, um eine Vermutung darüber
> > anzustellen, als direktes Produkt welcher zyklischen
> > Untergruppen [mm]G[/mm] dargestellt werden könnte.  
> Kannst du mir vielleicht genauer erklären, was du damit
> meinst?

Ich meine genau den von Dir oben angegebenen Term bloss mit der hier gemeinten Verknüpfung.

> War zum Beispiel meine Vermutung mit [mm]\IZ[/mm] richtig?
> Wenn ja, welche  Gruppe ist zyklisch und beinhaltet
> komplexe Zahlen?
>  Ich bin jetzt ganz verwirrt.....falls die Vermutung stimmt
> und ich habe eine additive Verknüpfung, wie kann man diese
> dann als Produkt von zwei zyklischen Gruppen
> darstellen?!...

Sagen wir mal es wäre die Addition gemeint. Dann sind die Elemente  von $G$ von der Gestalt [mm] $n(-1)+m\frac{i}{2}$, $m,n\in \IZ$. [/mm] Dies legt die Betrachtung der Untergruppen $X:=<-1>= [mm] \IZ(-1)= \IZ$ [/mm] und $Y:= [mm] <\frac{i}{2}>= \IZ\frac{i}{2}$ [/mm] nahe, denn mit der obigen Darstellung folgt direkt $G= X+Y$. Ferner sind $X$ und $Y$ nach Definition zyklisch. Es bliebe also zu überlegen, ob die Summe direkt ist - was sie ist.

Nun verfahre ebenso mit der richtigen Verknüpfung.

>  > >  

> > > Lieben Dank im Voraus,
> > >
> > > Herzblatt
> >  

>  


Bezug
                                
Bezug
Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:00 Sa 13.05.2017
Autor: Herzblatt


> > > > Sei [mm]G=<-1,\frac{i}{2}> \le \IC*.[/mm] Beschreibe diese Gruppe
> > > > explizit als direktes Produkt von zwei zyklischen Gruppen.
>  >  >  >  Die Elemente in G múessten ja von der Form
> > > > [mm]n*(-1,\frac{i}{2})[/mm] sein,
> > > Ein Ding wie [mm]n*(-1,\frac{i}{2})[/mm] ist nicht in [mm]G[/mm] enthalten,
> > > einfach weil es keine komplexe Zahl darstellt.
> > > > wobei n [mm]\in \IZ.[/mm] Waere die eine
> > > > zyklische Gruppe damit schon mal [mm]\IZ?[/mm] Damit koennte man
> > > > zumindest die Vielfachen von -1 [mm]darstellen...(\IZ[/mm] wird ja
> > > > gerade von -1 bzw. 1 erzeugt). Aber wie stelle ich Elemente
> > > > der Form [mm]\frac{i}{2}[/mm] als zkyklische Gruppe dar?
>  >  >  1. Eine Gruppe ohne Verknüpfung ist Unsinn: daher
> > frage
> > > Dich zuerst, welche Verknüpfung für [mm]G[/mm] gemeint ist.
>  >  
> > Ich vermute mal eine additive Verknüpfung?
> Dann möchte ich an die Aufgabenstellung erinnern, die Du
> hier eingestellt hast: [mm]G=<-1,\frac{i}{2}> \le \IC\cdot{}.[/mm]
>  
> > Also könnten
> > die Elemente von G von der Form [mm]n*(-1)+m*\frac{i}{2}[/mm] sein,
> > wobei n, m [mm]\in \IZ?[/mm]
>  Im additiven Fall: ja.

Ok, dann hab ich ja hier eine multiplikative Gruppe und die Elemente wären von der Gestalt [mm]n*(-1)* m*\frac{i}{2}[/mm] wobei n, m [mm]\in \IZ ?[/mm]
Stimmt das?

> >  >  2. Du hast gelernt, dass man die

> > erzeugte Untergruppe als
> > > Durchschnitt darstellen kann; das ist hier nicht so
> > > nützlich. Du weisst aber auch, durch welche Terme in den
> > > Erzeugenden die Elemente von [mm]G[/mm] dargestellt werden; diese
> > > Darstellung kannst Du nutzen, um eine Vermutung darüber
> > > anzustellen, als direktes Produkt welcher zyklischen
> > > Untergruppen [mm]G[/mm] dargestellt werden könnte.  
> > Kannst du mir vielleicht genauer erklären, was du damit
> > meinst?
> Ich meine genau den von Dir oben angegebenen Term bloss mit
> der hier gemeinten Verknüpfung.
>  
> > War zum Beispiel meine Vermutung mit [mm]\IZ[/mm] richtig?
> > Wenn ja, welche  Gruppe ist zyklisch und beinhaltet
> > komplexe Zahlen?
>  >  Ich bin jetzt ganz verwirrt.....falls die Vermutung
> stimmt
> > und ich habe eine additive Verknüpfung, wie kann man diese
> > dann als Produkt von zwei zyklischen Gruppen
> > darstellen?!...
>  Sagen wir mal es wäre die Addition gemeint. Dann sind die
> Elemente  von [mm]G[/mm] von der Gestalt [mm]n(-1)+m\frac{i}{2}[/mm], [mm]m,n\in \IZ[/mm].
> Dies legt die Betrachtung der Untergruppen [mm]X:=<-1>= \IZ(-1)= \IZ[/mm]
> und [mm]Y:= <\frac{i}{2}>= \IZ\frac{i}{2}[/mm] nahe, denn mit der
> obigen Darstellung folgt direkt [mm]G= X+Y[/mm]. Ferner sind [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm]
> nach Definition zyklisch. Es bliebe also zu überlegen, ob
> die Summe direkt ist - was sie ist.
>  
> Nun verfahre ebenso mit der richtigen Verknüpfung.

Hätte ich die selben zyklischen Gruppen [mm]X:=<-1>= \IZ(-1)= \IZ[/mm]   und [mm]Y:= <\frac{i}{2}>= \IZ\frac{i}{2}[/mm] und würde diese dann einfach als direktes Produkt verknüpfen? [mm]G= X \otimes Y[/mm] dann wäre ja [mm] (x,y)\otimes(a,b)=(x+a,y+b) [/mm]  wobei [mm] (x,y)\in [/mm] X und (a,b) [mm] \in [/mm] Y da X und Y additive Gruppen sind?! Und muss ich dann noch zeigen, dass es sich wirklich um ein direktes Produkt handelt? Was muss ich dazu genau nachweisen? Ich lese gerade den Wikipedia Eintrag zum Thema direktes Produkt von Gruppen, das bringt mir aber leider auch nicht die Erkenntnis was genau nachzuweisen ist...
Ich glaube ich hab noch Probleme damit mir vorzustellen wie die Elemente in G aussehen sollen....Weil G ist ja nicht von einem ELement erzeugt und sprich damit nicht zyklisch. Dann müsste ich deswegen ja multiplikative Verknüpfungen von Vielfachen von -1 und Vielfachen von  [mm] \frac{i}{2} [/mm] haben....

> >  > >  

> > > > Lieben Dank im Voraus,
> > > >
> > > > Herzblatt
> > >  

> >  

>  


Bezug
                                        
Bezug
Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Sa 13.05.2017
Autor: angela.h.b.


> > > > > Sei [mm]G=<-1,\frac{i}{2}> \le \IC*.[/mm] Beschreibe diese Gruppe
> > > > > explizit als direktes Produkt von zwei zyklischen Gruppen.
>  >  >  >  >  Die Elemente in G múessten ja von der Form
> > > > > [mm]n*(-1,\frac{i}{2})[/mm] sein,
> > > > Ein Ding wie [mm]n*(-1,\frac{i}{2})[/mm] ist nicht in [mm]G[/mm] enthalten,
> > > > einfach weil es keine komplexe Zahl darstellt.
> > > > > wobei n [mm]\in \IZ.[/mm] Waere die eine
> > > > > zyklische Gruppe damit schon mal [mm]\IZ?[/mm] Damit koennte man
> > > > > zumindest die Vielfachen von -1 [mm]darstellen...(\IZ[/mm] wird ja
> > > > > gerade von -1 bzw. 1 erzeugt). Aber wie stelle ich Elemente
> > > > > der Form [mm]\frac{i}{2}[/mm] als zkyklische Gruppe dar?
>  >  >  >  1. Eine Gruppe ohne Verknüpfung ist Unsinn:
> daher
> > > frage
> > > > Dich zuerst, welche Verknüpfung für [mm]G[/mm] gemeint ist.
>  >  >  
> > > Ich vermute mal eine additive Verknüpfung?
> > Dann möchte ich an die Aufgabenstellung erinnern, die Du
> > hier eingestellt hast: [mm]G=<-1,\frac{i}{2}> \le \IC\cdot{}.[/mm]
>  
> >  

> > > Also könnten
> > > die Elemente von G von der Form [mm]n*(-1)+m*\frac{i}{2}[/mm] sein,
> > > wobei n, m [mm]\in \IZ?[/mm]
>  >  Im additiven Fall: ja.
>  Ok, dann hab ich ja hier eine multiplikative Gruppe und
> die Elemente wären von der Gestalt [mm]n*(-1)* m*\frac{i}{2}[/mm]
> wobei n, m [mm]\in \IZ ?[/mm]
>  Stimmt das?

Hallo,

gehen wir kurz nochmal zurück zur additiven Gruppe und überlegen, was n*(-1) (für [mm] n\in \IN) [/mm]  bedeutet:

[mm] n*(-1)=\underbrace{(-1)+(-1)+...+(-1)}_{n-mal}. [/mm]

Jetzt überlege Dir die Sache für die multiplikative Gruppe.

LG Angela

> > >  >  2. Du hast gelernt, dass man die

> > > erzeugte Untergruppe als
> > > > Durchschnitt darstellen kann; das ist hier nicht so
> > > > nützlich. Du weisst aber auch, durch welche Terme in den
> > > > Erzeugenden die Elemente von [mm]G[/mm] dargestellt werden; diese
> > > > Darstellung kannst Du nutzen, um eine Vermutung darüber
> > > > anzustellen, als direktes Produkt welcher zyklischen
> > > > Untergruppen [mm]G[/mm] dargestellt werden könnte.  
> > > Kannst du mir vielleicht genauer erklären, was du damit
> > > meinst?
> > Ich meine genau den von Dir oben angegebenen Term bloss mit
> > der hier gemeinten Verknüpfung.
>  >  
> > > War zum Beispiel meine Vermutung mit [mm]\IZ[/mm] richtig?
> > > Wenn ja, welche  Gruppe ist zyklisch und beinhaltet
> > > komplexe Zahlen?
>  >  >  Ich bin jetzt ganz verwirrt.....falls die Vermutung
> > stimmt
> > > und ich habe eine additive Verknüpfung, wie kann man diese
> > > dann als Produkt von zwei zyklischen Gruppen
> > > darstellen?!...
>  >  Sagen wir mal es wäre die Addition gemeint. Dann sind
> die
> > Elemente  von [mm]G[/mm] von der Gestalt [mm]n(-1)+m\frac{i}{2}[/mm], [mm]m,n\in \IZ[/mm].
> > Dies legt die Betrachtung der Untergruppen [mm]X:=<-1>= \IZ(-1)= \IZ[/mm]
> > und [mm]Y:= <\frac{i}{2}>= \IZ\frac{i}{2}[/mm] nahe, denn mit der
> > obigen Darstellung folgt direkt [mm]G= X+Y[/mm]. Ferner sind [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm]
> > nach Definition zyklisch. Es bliebe also zu überlegen, ob
> > die Summe direkt ist - was sie ist.
>  >  
> > Nun verfahre ebenso mit der richtigen Verknüpfung.
> Hätte ich die selben zyklischen Gruppen [mm]X:=<-1>= \IZ(-1)= \IZ[/mm]
>   und [mm]Y:= <\frac{i}{2}>= \IZ\frac{i}{2}[/mm] und würde diese
> dann einfach als direktes Produkt verknüpfen? [mm]G= X \otimes Y[/mm]
> dann wäre ja [mm](x,y)\otimes(a,b)=(x+a,y+b)[/mm]  wobei [mm](x,y)\in[/mm] X
> und (a,b) [mm]\in[/mm] Y da X und Y additive Gruppen sind?! Und muss
> ich dann noch zeigen, dass es sich wirklich um ein direktes
> Produkt handelt? Was muss ich dazu genau nachweisen? Ich
> lese gerade den Wikipedia Eintrag zum Thema direktes
> Produkt von Gruppen, das bringt mir aber leider auch nicht
> die Erkenntnis was genau nachzuweisen ist...
>  Ich glaube ich hab noch Probleme damit mir vorzustellen
> wie die Elemente in G aussehen sollen....Weil G ist ja
> nicht von einem ELement erzeugt und sprich damit nicht
> zyklisch. Dann müsste ich deswegen ja multiplikative
> Verknüpfungen von Vielfachen von -1 und Vielfachen von  
> [mm]\frac{i}{2}[/mm] haben....
>  > >  > >  

> > > > > Lieben Dank im Voraus,
> > > > >
> > > > > Herzblatt
> > > >  

> > >  

> >  

>  


Bezug
                                                
Bezug
Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:30 Sa 13.05.2017
Autor: Herzblatt


> > > > > > Sei [mm]G=<-1,\frac{i}{2}> \le \IC*.[/mm] Beschreibe diese Gruppe
> > > > > > explizit als direktes Produkt von zwei zyklischen Gruppen.
>  >  >  >  >  >  Die Elemente in G múessten ja von der Form
> > > > > > [mm]n*(-1,\frac{i}{2})[/mm] sein,
> > > > > Ein Ding wie [mm]n*(-1,\frac{i}{2})[/mm] ist nicht in [mm]G[/mm] enthalten,
> > > > > einfach weil es keine komplexe Zahl darstellt.
> > > > > > wobei n [mm]\in \IZ.[/mm] Waere die eine
> > > > > > zyklische Gruppe damit schon mal [mm]\IZ?[/mm] Damit koennte man
> > > > > > zumindest die Vielfachen von -1 [mm]darstellen...(\IZ[/mm] wird ja
> > > > > > gerade von -1 bzw. 1 erzeugt). Aber wie stelle ich Elemente
> > > > > > der Form [mm]\frac{i}{2}[/mm] als zkyklische Gruppe dar?
>  >  >  >  >  1. Eine Gruppe ohne Verknüpfung ist Unsinn:
> > daher
> > > > frage
> > > > > Dich zuerst, welche Verknüpfung für [mm]G[/mm] gemeint ist.
>  >  >  >  
> > > > Ich vermute mal eine additive Verknüpfung?
> > > Dann möchte ich an die Aufgabenstellung erinnern, die Du
> > > hier eingestellt hast: [mm]G=<-1,\frac{i}{2}> \le \IC\cdot{}.[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > > Also könnten
> > > > die Elemente von G von der Form [mm]n*(-1)+m*\frac{i}{2}[/mm] sein,
> > > > wobei n, m [mm]\in \IZ?[/mm]
>  >  >  Im additiven Fall: ja.
>  >  Ok, dann hab ich ja hier eine multiplikative Gruppe und
> > die Elemente wären von der Gestalt [mm]n*(-1)* m*\frac{i}{2}[/mm]
> > wobei n, m [mm]\in \IZ ?[/mm]
>  >  Stimmt das?
>
> Hallo,
>  
> gehen wir kurz nochmal zurück zur additiven Gruppe und
> überlegen, was n*(-1) (für [mm]n\in \IN)[/mm]  bedeutet:
>  
> [mm]n*(-1)=\underbrace{(-1)+(-1)+...+(-1)}_{n-mal}.[/mm]
>  
> Jetzt überlege Dir die Sache für die multiplikative
> Gruppe.
>  

achso also praktisch die Potenzen?
das wäre [mm] <-1>=(-1)^n [/mm] mit [mm] n\in \IZ [/mm] also sprich {-1,1}
Wenn ich das Gleiche für [mm] \frac{i}{2} [/mm] mache, hätte ich [mm] <\frac{i}{2}>=(\frac{i}{2})^n [/mm] mit n [mm] \in \IZ [/mm] und das wäre ja dann [mm] \{\frac{i}{2^n}, \frac{-1}{2^n} \} [/mm]

> LG Angela
>  > > >  >  2. Du hast gelernt, dass man die

> > > > erzeugte Untergruppe als
> > > > > Durchschnitt darstellen kann; das ist hier nicht so
> > > > > nützlich. Du weisst aber auch, durch welche Terme in den
> > > > > Erzeugenden die Elemente von [mm]G[/mm] dargestellt werden; diese
> > > > > Darstellung kannst Du nutzen, um eine Vermutung darüber
> > > > > anzustellen, als direktes Produkt welcher zyklischen
> > > > > Untergruppen [mm]G[/mm] dargestellt werden könnte.  
> > > > Kannst du mir vielleicht genauer erklären, was du damit
> > > > meinst?
> > > Ich meine genau den von Dir oben angegebenen Term bloss mit
> > > der hier gemeinten Verknüpfung.
>  >  >  
> > > > War zum Beispiel meine Vermutung mit [mm]\IZ[/mm] richtig?
> > > > Wenn ja, welche  Gruppe ist zyklisch und beinhaltet
> > > > komplexe Zahlen?
>  >  >  >  Ich bin jetzt ganz verwirrt.....falls die
> Vermutung
> > > stimmt
> > > > und ich habe eine additive Verknüpfung, wie kann man diese
> > > > dann als Produkt von zwei zyklischen Gruppen
> > > > darstellen?!...
>  >  >  Sagen wir mal es wäre die Addition gemeint. Dann
> sind
> > die
> > > Elemente  von [mm]G[/mm] von der Gestalt [mm]n(-1)+m\frac{i}{2}[/mm], [mm]m,n\in \IZ[/mm].
> > > Dies legt die Betrachtung der Untergruppen [mm]X:=<-1>= \IZ(-1)= \IZ[/mm]
> > > und [mm]Y:= <\frac{i}{2}>= \IZ\frac{i}{2}[/mm] nahe, denn mit der
> > > obigen Darstellung folgt direkt [mm]G= X+Y[/mm]. Ferner sind [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm]
> > > nach Definition zyklisch. Es bliebe also zu überlegen, ob
> > > die Summe direkt ist - was sie ist.
>  >  >  
> > > Nun verfahre ebenso mit der richtigen Verknüpfung.
> > Hätte ich die selben zyklischen Gruppen [mm]X:=<-1>= \IZ(-1)= \IZ[/mm]
> >   und [mm]Y:= <\frac{i}{2}>= \IZ\frac{i}{2}[/mm] und würde diese

> > dann einfach als direktes Produkt verknüpfen? [mm]G= X \otimes Y[/mm]
> > dann wäre ja [mm](x,y)\otimes(a,b)=(x+a,y+b)[/mm]  wobei [mm](x,y)\in[/mm] X
> > und (a,b) [mm]\in[/mm] Y da X und Y additive Gruppen sind?! Und muss
> > ich dann noch zeigen, dass es sich wirklich um ein direktes
> > Produkt handelt? Was muss ich dazu genau nachweisen? Ich
> > lese gerade den Wikipedia Eintrag zum Thema direktes
> > Produkt von Gruppen, das bringt mir aber leider auch nicht
> > die Erkenntnis was genau nachzuweisen ist...
>  >  Ich glaube ich hab noch Probleme damit mir vorzustellen
> > wie die Elemente in G aussehen sollen....Weil G ist ja
> > nicht von einem ELement erzeugt und sprich damit nicht
> > zyklisch. Dann müsste ich deswegen ja multiplikative
> > Verknüpfungen von Vielfachen von -1 und Vielfachen von  
> > [mm]\frac{i}{2}[/mm] haben....
>  >  > >  > >  

> > > > > > Lieben Dank im Voraus,
> > > > > >
> > > > > > Herzblatt
> > > > >  

> > > >  

> > >  

> >  

>  


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Bezug
Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:07 So 14.05.2017
Autor: hippias


> > > > > > > Sei [mm]G=<-1,\frac{i}{2}> \le \IC*.[/mm] Beschreibe diese Gruppe
> > > > > > > explizit als direktes Produkt von zwei zyklischen Gruppen.
>  >  >  >  >  >  >  Die Elemente in G múessten ja von der
> Form
> > > > > > > [mm]n*(-1,\frac{i}{2})[/mm] sein,
> > > > > > Ein Ding wie [mm]n*(-1,\frac{i}{2})[/mm] ist nicht in [mm]G[/mm] enthalten,
> > > > > > einfach weil es keine komplexe Zahl darstellt.
> > > > > > > wobei n [mm]\in \IZ.[/mm] Waere die eine
> > > > > > > zyklische Gruppe damit schon mal [mm]\IZ?[/mm] Damit koennte man
> > > > > > > zumindest die Vielfachen von -1 [mm]darstellen...(\IZ[/mm] wird ja
> > > > > > > gerade von -1 bzw. 1 erzeugt). Aber wie stelle ich Elemente
> > > > > > > der Form [mm]\frac{i}{2}[/mm] als zkyklische Gruppe dar?
>  >  >  >  >  >  1. Eine Gruppe ohne Verknüpfung ist
> Unsinn:
> > > daher
> > > > > frage
> > > > > > Dich zuerst, welche Verknüpfung für [mm]G[/mm] gemeint ist.
>  >  >  >  >  
> > > > > Ich vermute mal eine additive Verknüpfung?
> > > > Dann möchte ich an die Aufgabenstellung erinnern, die Du
> > > > hier eingestellt hast: [mm]G=<-1,\frac{i}{2}> \le \IC\cdot{}.[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > > Also könnten
> > > > > die Elemente von G von der Form [mm]n*(-1)+m*\frac{i}{2}[/mm] sein,
> > > > > wobei n, m [mm]\in \IZ?[/mm]
>  >  >  >  Im additiven Fall:
> ja.
>  >  >  Ok, dann hab ich ja hier eine multiplikative Gruppe
> und
> > > die Elemente wären von der Gestalt [mm]n*(-1)* m*\frac{i}{2}[/mm]
> > > wobei n, m [mm]\in \IZ ?[/mm]
>  >  >  Stimmt das?
> >
> > Hallo,
>  >  
> > gehen wir kurz nochmal zurück zur additiven Gruppe und
> > überlegen, was n*(-1) (für [mm]n\in \IN)[/mm]  bedeutet:
>  >  
> > [mm]n*(-1)=\underbrace{(-1)+(-1)+...+(-1)}_{n-mal}.[/mm]
>  >  
> > Jetzt überlege Dir die Sache für die multiplikative
> > Gruppe.
>  >  
> achso also praktisch die Potenzen?

Praktisch die Potenzen.

>  das wäre [mm]<-1>=(-1)^n[/mm] mit [mm]n\in \IZ[/mm]

Das ist natürlich formal falsch...

> also sprich {-1,1}

... $<-1>= [mm] \{-1,1\}$ [/mm] wäre richtig. Dieselbe Bemerkung gilt für das zweite Erzegnis.

>  Wenn ich das Gleiche für [mm]\frac{i}{2}[/mm] mache, hätte ich
> [mm]<\frac{i}{2}>=(\frac{i}{2})^n[/mm] mit n [mm]\in \IZ[/mm] und das wäre
> ja dann [mm]\{\frac{i}{2^n}, \frac{-1}{2^n} \}[/mm]
>  > LG Angela

>  >  > > >  >  2. Du hast gelernt, dass man die

> > > > > erzeugte Untergruppe als
> > > > > > Durchschnitt darstellen kann; das ist hier nicht so
> > > > > > nützlich. Du weisst aber auch, durch welche Terme in den
> > > > > > Erzeugenden die Elemente von [mm]G[/mm] dargestellt werden; diese
> > > > > > Darstellung kannst Du nutzen, um eine Vermutung darüber
> > > > > > anzustellen, als direktes Produkt welcher zyklischen
> > > > > > Untergruppen [mm]G[/mm] dargestellt werden könnte.  
> > > > > Kannst du mir vielleicht genauer erklären, was du damit
> > > > > meinst?
> > > > Ich meine genau den von Dir oben angegebenen Term bloss mit
> > > > der hier gemeinten Verknüpfung.
>  >  >  >  
> > > > > War zum Beispiel meine Vermutung mit [mm]\IZ[/mm] richtig?
> > > > > Wenn ja, welche  Gruppe ist zyklisch und beinhaltet
> > > > > komplexe Zahlen?
>  >  >  >  >  Ich bin jetzt ganz verwirrt.....falls die
> > Vermutung
> > > > stimmt
> > > > > und ich habe eine additive Verknüpfung, wie kann man diese
> > > > > dann als Produkt von zwei zyklischen Gruppen
> > > > > darstellen?!...
>  >  >  >  Sagen wir mal es wäre die Addition gemeint. Dann
> > sind
> > > die
> > > > Elemente  von [mm]G[/mm] von der Gestalt [mm]n(-1)+m\frac{i}{2}[/mm], [mm]m,n\in \IZ[/mm].
> > > > Dies legt die Betrachtung der Untergruppen [mm]X:=<-1>= \IZ(-1)= \IZ[/mm]
> > > > und [mm]Y:= <\frac{i}{2}>= \IZ\frac{i}{2}[/mm] nahe, denn mit der
> > > > obigen Darstellung folgt direkt [mm]G= X+Y[/mm]. Ferner sind [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm]
> > > > nach Definition zyklisch. Es bliebe also zu überlegen, ob
> > > > die Summe direkt ist - was sie ist.
>  >  >  >  
> > > > Nun verfahre ebenso mit der richtigen Verknüpfung.
> > > Hätte ich die selben zyklischen Gruppen [mm]X:=<-1>= \IZ(-1)= \IZ[/mm]
> > >   und [mm]Y:= <\frac{i}{2}>= \IZ\frac{i}{2}[/mm] und würde diese

> > > dann einfach als direktes Produkt verknüpfen? [mm]G= X \otimes Y[/mm]
> > > dann wäre ja [mm](x,y)\otimes(a,b)=(x+a,y+b)[/mm]  wobei [mm](x,y)\in[/mm] X
> > > und (a,b) [mm]\in[/mm] Y da X und Y additive Gruppen sind?! Und muss
> > > ich dann noch zeigen, dass es sich wirklich um ein direktes
> > > Produkt handelt? Was muss ich dazu genau nachweisen? Ich
> > > lese gerade den Wikipedia Eintrag zum Thema direktes
> > > Produkt von Gruppen, das bringt mir aber leider auch nicht
> > > die Erkenntnis was genau nachzuweisen ist...
>  >  >  Ich glaube ich hab noch Probleme damit mir
> vorzustellen
> > > wie die Elemente in G aussehen sollen....Weil G ist ja
> > > nicht von einem ELement erzeugt und sprich damit nicht
> > > zyklisch. Dann müsste ich deswegen ja multiplikative
> > > Verknüpfungen von Vielfachen von -1 und Vielfachen von  
> > > [mm]\frac{i}{2}[/mm] haben....
>  >  >  > >  > >  

> > > > > > > Lieben Dank im Voraus,
> > > > > > >
> > > > > > > Herzblatt
> > > > > >  

> > > > >  

> > > >  

> > >  

> >  

>  


Bezug
                                                                
Bezug
Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:21 So 14.05.2017
Autor: angela.h.b.


> > > > > > > > Sei [mm]G=<-1,\frac{i}{2}> \le \IC*.[/mm] Beschreibe diese Gruppe
> > > > > > > > explizit als direktes Produkt von zwei zyklischen Gruppen.


> >  das wäre [mm]<-1>=(-1)^n[/mm] mit [mm]n\in \IZ[/mm]

>  Das ist natürlich
> formal falsch...
>  > also sprich {-1,1}

>  ... [mm]<-1>= \{-1,1\}[/mm] wäre richtig. Dieselbe Bemerkung gilt
> für das zweite Erzeugnis.
>  
> >  Wenn ich das Gleiche für [mm]\frac{i}{2}[/mm] mache, hätte ich

> > [mm]<\frac{i}{2}>=(\frac{i}{2})^n[/mm] mit n [mm]\in \IZ[/mm] und das wäre
> > ja dann [mm]\{\frac{i}{2^n}, \frac{-1}{2^n} \}[/mm]

Hallo,

auf die Gefahr hin, daß ich mich blamiere: [mm] <\frac{i}{2}> [/mm] ist doch nicht die Menge, die alle komplexen Zahlen der Form [mm] \frac{i}{2^n} [/mm] und [mm] \frac{-1}{2^n} [/mm] für [mm] n\in \IZ [/mm] enthält?
Es ist doch z.B. [mm] \frac{i}{4} [/mm] gar nicht drin.

LG Angela


Bezug
                                                                
Bezug
Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:45 So 14.05.2017
Autor: Herzblatt


> > > > > > > > Sei [mm]G=<-1,\frac{i}{2}> \le \IC*.[/mm] Beschreibe diese Gruppe
> > > > > > > > explizit als direktes Produkt von zwei zyklischen Gruppen.
>  >  >  >  >  >  >  >  Die Elemente in G múessten ja von
> der
> > Form
> > > > > > > > [mm]n*(-1,\frac{i}{2})[/mm] sein,
> > > > > > > Ein Ding wie [mm]n*(-1,\frac{i}{2})[/mm] ist nicht in [mm]G[/mm] enthalten,
> > > > > > > einfach weil es keine komplexe Zahl darstellt.
> > > > > > > > wobei n [mm]\in \IZ.[/mm] Waere die eine
> > > > > > > > zyklische Gruppe damit schon mal [mm]\IZ?[/mm] Damit koennte man
> > > > > > > > zumindest die Vielfachen von -1 [mm]darstellen...(\IZ[/mm] wird ja
> > > > > > > > gerade von -1 bzw. 1 erzeugt). Aber wie stelle ich Elemente
> > > > > > > > der Form [mm]\frac{i}{2}[/mm] als zkyklische Gruppe dar?
>  >  >  >  >  >  >  1. Eine Gruppe ohne Verknüpfung ist
> > Unsinn:
> > > > daher
> > > > > > frage
> > > > > > > Dich zuerst, welche Verknüpfung für [mm]G[/mm] gemeint ist.
>  >  >  >  >  >  
> > > > > > Ich vermute mal eine additive Verknüpfung?
> > > > > Dann möchte ich an die Aufgabenstellung erinnern, die Du
> > > > > hier eingestellt hast: [mm]G=<-1,\frac{i}{2}> \le \IC\cdot{}.[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > >  

> > > > > > Also könnten
> > > > > > die Elemente von G von der Form [mm]n*(-1)+m*\frac{i}{2}[/mm] sein,
> > > > > > wobei n, m [mm]\in \IZ?[/mm]
>  >  >  >  >  Im additiven
> Fall:
> > ja.
>  >  >  >  Ok, dann hab ich ja hier eine multiplikative
> Gruppe
> > und
> > > > die Elemente wären von der Gestalt [mm]n*(-1)* m*\frac{i}{2}[/mm]
> > > > wobei n, m [mm]\in \IZ ?[/mm]
>  >  >  >  Stimmt das?
> > >
> > > Hallo,
>  >  >  
> > > gehen wir kurz nochmal zurück zur additiven Gruppe und
> > > überlegen, was n*(-1) (für [mm]n\in \IN)[/mm]  bedeutet:
>  >  >  
> > > [mm]n*(-1)=\underbrace{(-1)+(-1)+...+(-1)}_{n-mal}.[/mm]
>  >  >  
> > > Jetzt überlege Dir die Sache für die multiplikative
> > > Gruppe.
>  >  >  
> > achso also praktisch die Potenzen?
>  Praktisch die Potenzen.
>  
> >  das wäre [mm]<-1>=(-1)^n[/mm] mit [mm]n\in \IZ[/mm]

>  Das ist natürlich
> formal falsch...
>  > also sprich {-1,1}

>  ... [mm]<-1>= \{-1,1\}[/mm] wäre richtig. Dieselbe Bemerkung gilt
> für das zweite Erzegnis.
>  

Heißt das jetzt insgesamt, dass
[mm]G=<-1,\frac{i}{2}>= <\frac{i}{2}> \otimes <-1>[/mm] ?
Aber fehlt da dann noch nicht irgendwas für den Beweis? Ich kann ja wohl schlecht nur das angeben...

> >  Wenn ich das Gleiche für [mm]\frac{i}{2}[/mm] mache, hätte ich

> > [mm]<\frac{i}{2}>=(\frac{i}{2})^n[/mm] mit n [mm]\in \IZ[/mm] und das wäre
> > ja dann [mm]\{\frac{i}{2^n}, \frac{-1}{2^n} \}[/mm]
>  >  > LG

> Angela
>  >  >  > > >  >  2. Du hast gelernt, dass man die

> > > > > > erzeugte Untergruppe als
> > > > > > > Durchschnitt darstellen kann; das ist hier nicht so
> > > > > > > nützlich. Du weisst aber auch, durch welche Terme in den
> > > > > > > Erzeugenden die Elemente von [mm]G[/mm] dargestellt werden; diese
> > > > > > > Darstellung kannst Du nutzen, um eine Vermutung darüber
> > > > > > > anzustellen, als direktes Produkt welcher zyklischen
> > > > > > > Untergruppen [mm]G[/mm] dargestellt werden könnte.  
> > > > > > Kannst du mir vielleicht genauer erklären, was du damit
> > > > > > meinst?
> > > > > Ich meine genau den von Dir oben angegebenen Term bloss mit
> > > > > der hier gemeinten Verknüpfung.
>  >  >  >  >  
> > > > > > War zum Beispiel meine Vermutung mit [mm]\IZ[/mm] richtig?
> > > > > > Wenn ja, welche  Gruppe ist zyklisch und beinhaltet
> > > > > > komplexe Zahlen?
>  >  >  >  >  >  Ich bin jetzt ganz verwirrt.....falls die
> > > Vermutung
> > > > > stimmt
> > > > > > und ich habe eine additive Verknüpfung, wie kann man diese
> > > > > > dann als Produkt von zwei zyklischen Gruppen
> > > > > > darstellen?!...
>  >  >  >  >  Sagen wir mal es wäre die Addition gemeint.
> Dann
> > > sind
> > > > die
> > > > > Elemente  von [mm]G[/mm] von der Gestalt [mm]n(-1)+m\frac{i}{2}[/mm], [mm]m,n\in \IZ[/mm].
> > > > > Dies legt die Betrachtung der Untergruppen [mm]X:=<-1>= \IZ(-1)= \IZ[/mm]
> > > > > und [mm]Y:= <\frac{i}{2}>= \IZ\frac{i}{2}[/mm] nahe, denn mit der
> > > > > obigen Darstellung folgt direkt [mm]G= X+Y[/mm]. Ferner sind [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm]
> > > > > nach Definition zyklisch. Es bliebe also zu überlegen, ob
> > > > > die Summe direkt ist - was sie ist.
>  >  >  >  >  
> > > > > Nun verfahre ebenso mit der richtigen Verknüpfung.
> > > > Hätte ich die selben zyklischen Gruppen [mm]X:=<-1>= \IZ(-1)= \IZ[/mm]
> > > >   und [mm]Y:= <\frac{i}{2}>= \IZ\frac{i}{2}[/mm] und würde diese

> > > > dann einfach als direktes Produkt verknüpfen? [mm]G= X \otimes Y[/mm]
> > > > dann wäre ja [mm](x,y)\otimes(a,b)=(x+a,y+b)[/mm]  wobei [mm](x,y)\in[/mm] X
> > > > und (a,b) [mm]\in[/mm] Y da X und Y additive Gruppen sind?! Und muss
> > > > ich dann noch zeigen, dass es sich wirklich um ein direktes
> > > > Produkt handelt? Was muss ich dazu genau nachweisen? Ich
> > > > lese gerade den Wikipedia Eintrag zum Thema direktes
> > > > Produkt von Gruppen, das bringt mir aber leider auch nicht
> > > > die Erkenntnis was genau nachzuweisen ist...
>  >  >  >  Ich glaube ich hab noch Probleme damit mir
> > vorzustellen
> > > > wie die Elemente in G aussehen sollen....Weil G ist ja
> > > > nicht von einem ELement erzeugt und sprich damit nicht
> > > > zyklisch. Dann müsste ich deswegen ja multiplikative
> > > > Verknüpfungen von Vielfachen von -1 und Vielfachen von  
> > > > [mm]\frac{i}{2}[/mm] haben....
>  >  >  >  > >  > >  

> > > > > > > > Lieben Dank im Voraus,
> > > > > > > >
> > > > > > > > Herzblatt
> > > > > > >  

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Bezug
                                                                        
Bezug
Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:22 So 14.05.2017
Autor: hippias


> > > > > > > > > Sei [mm]G=<-1,\frac{i}{2}> \le \IC*.[/mm] Beschreibe diese Gruppe
> > > > > > > > > explizit als direktes Produkt von zwei zyklischen Gruppen.
>  >  >  >  >  >  >  >  >  Die Elemente in G múessten ja von
> > der
> > > Form
> > > > > > > > > [mm]n*(-1,\frac{i}{2})[/mm] sein,
> > > > > > > > Ein Ding wie [mm]n*(-1,\frac{i}{2})[/mm] ist nicht in [mm]G[/mm] enthalten,
> > > > > > > > einfach weil es keine komplexe Zahl darstellt.
> > > > > > > > > wobei n [mm]\in \IZ.[/mm] Waere die eine
> > > > > > > > > zyklische Gruppe damit schon mal [mm]\IZ?[/mm] Damit koennte man
> > > > > > > > > zumindest die Vielfachen von -1 [mm]darstellen...(\IZ[/mm] wird ja
> > > > > > > > > gerade von -1 bzw. 1 erzeugt). Aber wie stelle ich Elemente
> > > > > > > > > der Form [mm]\frac{i}{2}[/mm] als zkyklische Gruppe dar?
>  >  >  >  >  >  >  >  1. Eine Gruppe ohne Verknüpfung ist
> > > Unsinn:
> > > > > daher
> > > > > > > frage
> > > > > > > > Dich zuerst, welche Verknüpfung für [mm]G[/mm] gemeint ist.
>  >  >  >  >  >  >  
> > > > > > > Ich vermute mal eine additive Verknüpfung?
> > > > > > Dann möchte ich an die Aufgabenstellung erinnern, die Du
> > > > > > hier eingestellt hast: [mm]G=<-1,\frac{i}{2}> \le \IC\cdot{}.[/mm]
>  
> >  

> > >  

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> > > > >  

> > > > > >  

> > > > > > > Also könnten
> > > > > > > die Elemente von G von der Form [mm]n*(-1)+m*\frac{i}{2}[/mm] sein,
> > > > > > > wobei n, m [mm]\in \IZ?[/mm]
>  >  >  >  >  >  Im
> additiven
> > Fall:
> > > ja.
>  >  >  >  >  Ok, dann hab ich ja hier eine multiplikative
> > Gruppe
> > > und
> > > > > die Elemente wären von der Gestalt [mm]n*(-1)* m*\frac{i}{2}[/mm]
> > > > > wobei n, m [mm]\in \IZ ?[/mm]
>  >  >  >  >  Stimmt das?
> > > >
> > > > Hallo,
>  >  >  >  
> > > > gehen wir kurz nochmal zurück zur additiven Gruppe und
> > > > überlegen, was n*(-1) (für [mm]n\in \IN)[/mm]  bedeutet:
>  >  >  >  
> > > > [mm]n*(-1)=\underbrace{(-1)+(-1)+...+(-1)}_{n-mal}.[/mm]
>  >  >  >  
> > > > Jetzt überlege Dir die Sache für die multiplikative
> > > > Gruppe.
>  >  >  >  
> > > achso also praktisch die Potenzen?
>  >  Praktisch die Potenzen.
>  >  
> > >  das wäre [mm]<-1>=(-1)^n[/mm] mit [mm]n\in \IZ[/mm]

>  >  Das ist
> natürlich
> > formal falsch...
>  >  > also sprich {-1,1}

>  >  ... [mm]<-1>= \{-1,1\}[/mm] wäre richtig. Dieselbe Bemerkung
> gilt
> > für das zweite Erzegnis.
>  >  
> Heißt das jetzt insgesamt, dass
>  [mm]G=<-1,\frac{i}{2}>= <\frac{i}{2}> \otimes <-1>[/mm] ?
>  Aber fehlt da dann noch nicht irgendwas für den Beweis?
> Ich kann ja wohl schlecht nur das angeben...

Richtig! Bisher haben wir nur Notationen geklärt, und um welche Verknüpfung es sich handelt - dafür gibt es Null Punkte.

Du musst nun nachrechnen, ob die Untegruppen $<-1>$ und [mm] $<\frac{i}{2}>$ [/mm] bezüglich $G$ die Eigenschaften des direkten Produktes erfüllen.

>  > >  Wenn ich das Gleiche für [mm]\frac{i}{2}[/mm] mache, hätte

> ich
> > > [mm]<\frac{i}{2}>=(\frac{i}{2})^n[/mm] mit n [mm]\in \IZ[/mm] und das wäre
> > > ja dann [mm]\{\frac{i}{2^n}, \frac{-1}{2^n} \}[/mm]
>  >  >  > LG

> > Angela
>  >  >  >  > > >  >  2. Du hast gelernt, dass man die

> > > > > > > erzeugte Untergruppe als
> > > > > > > > Durchschnitt darstellen kann; das ist hier nicht so
> > > > > > > > nützlich. Du weisst aber auch, durch welche Terme in den
> > > > > > > > Erzeugenden die Elemente von [mm]G[/mm] dargestellt werden; diese
> > > > > > > > Darstellung kannst Du nutzen, um eine Vermutung darüber
> > > > > > > > anzustellen, als direktes Produkt welcher zyklischen
> > > > > > > > Untergruppen [mm]G[/mm] dargestellt werden könnte.  
> > > > > > > Kannst du mir vielleicht genauer erklären, was du damit
> > > > > > > meinst?
> > > > > > Ich meine genau den von Dir oben angegebenen Term bloss mit
> > > > > > der hier gemeinten Verknüpfung.
>  >  >  >  >  >  
> > > > > > > War zum Beispiel meine Vermutung mit [mm]\IZ[/mm] richtig?
> > > > > > > Wenn ja, welche  Gruppe ist zyklisch und beinhaltet
> > > > > > > komplexe Zahlen?
>  >  >  >  >  >  >  Ich bin jetzt ganz verwirrt.....falls
> die
> > > > Vermutung
> > > > > > stimmt
> > > > > > > und ich habe eine additive Verknüpfung, wie kann man diese
> > > > > > > dann als Produkt von zwei zyklischen Gruppen
> > > > > > > darstellen?!...
>  >  >  >  >  >  Sagen wir mal es wäre die Addition
> gemeint.
> > Dann
> > > > sind
> > > > > die
> > > > > > Elemente  von [mm]G[/mm] von der Gestalt [mm]n(-1)+m\frac{i}{2}[/mm], [mm]m,n\in \IZ[/mm].
> > > > > > Dies legt die Betrachtung der Untergruppen [mm]X:=<-1>= \IZ(-1)= \IZ[/mm]
> > > > > > und [mm]Y:= <\frac{i}{2}>= \IZ\frac{i}{2}[/mm] nahe, denn mit der
> > > > > > obigen Darstellung folgt direkt [mm]G= X+Y[/mm]. Ferner sind [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm]
> > > > > > nach Definition zyklisch. Es bliebe also zu überlegen, ob
> > > > > > die Summe direkt ist - was sie ist.
>  >  >  >  >  >  
> > > > > > Nun verfahre ebenso mit der richtigen Verknüpfung.
> > > > > Hätte ich die selben zyklischen Gruppen [mm]X:=<-1>= \IZ(-1)= \IZ[/mm]
> > > > >   und [mm]Y:= <\frac{i}{2}>= \IZ\frac{i}{2}[/mm] und würde diese

> > > > > dann einfach als direktes Produkt verknüpfen? [mm]G= X \otimes Y[/mm]
> > > > > dann wäre ja [mm](x,y)\otimes(a,b)=(x+a,y+b)[/mm]  wobei [mm](x,y)\in[/mm] X
> > > > > und (a,b) [mm]\in[/mm] Y da X und Y additive Gruppen sind?! Und muss
> > > > > ich dann noch zeigen, dass es sich wirklich um ein direktes
> > > > > Produkt handelt? Was muss ich dazu genau nachweisen? Ich
> > > > > lese gerade den Wikipedia Eintrag zum Thema direktes
> > > > > Produkt von Gruppen, das bringt mir aber leider auch nicht
> > > > > die Erkenntnis was genau nachzuweisen ist...
>  >  >  >  >  Ich glaube ich hab noch Probleme damit mir
> > > vorzustellen
> > > > > wie die Elemente in G aussehen sollen....Weil G ist ja
> > > > > nicht von einem ELement erzeugt und sprich damit nicht
> > > > > zyklisch. Dann müsste ich deswegen ja multiplikative
> > > > > Verknüpfungen von Vielfachen von -1 und Vielfachen von  
> > > > > [mm]\frac{i}{2}[/mm] haben....
>  >  >  >  >  > >  > >  

> > > > > > > > > Lieben Dank im Voraus,
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Herzblatt
> > > > > > > >  

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