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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Fr 20.10.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | | Zeige, dass die folgenden beiden Teilmengen von [mm] GL_{2}(\IR) [/mm] { [mm] {\pmat{ a & c \\ 0 & b } | a,b,c \in \IR, ab \not= 0 } [/mm] } und { [mm] {\pmat{ a & 0 \\ 0 & b } | a,b \in \IR, ab \not= 0 } [/mm] } mit Matrizenprodukt als Verknüpfung eine Gruppe ist. |
Hallo Forum,
ich versteh die Aufgabenstellung nicht ganz. Muss man hier für beide Mengen getrennt zeigen, dass sie eine Gruppe bilden, oder soll man hier das Produkt beider Matrizen bilden und dann zeigen, dass dies eine Gruppe bildet??
Was man für eine Gruppe zeigen muss, ist mir klar. Assoziativität, und Existenz von neutralem Element und Inversen.
Also nochmal meine Frage: Muss man beide Mengen getrennt betrachten und darauf die Gruppeneigenschaften nachweisen? Oder muss man hier die beiden Mengen miteinander verknüpfen?
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen.
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Fr 20.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Moe007,
so wie ich die Aufgabe verstehe, musst Du folgendes zeigen (1. Aufgabe), Matrizen der Form
[mm] {\pmat{ a & c \\ 0 & b } | a,b,c \in \IR, ab \not= 0 } [/mm] bilden bzgl. der Matrizenmultiplikation eine Gruppe. Also, wie Du gesagt hast, es gibt eine Inverse, ein neutrales Element und es gilt das Assoziativgesetzt.
Die Inverse existiert weil die Determinate von Matrizen der vorgegebenen Form = ab [mm] \ne [/mm] 0 (nach Voraussetzung) ist.
Ein neutrales Element existiert mit a=c=1 und b=0. Die Assoziativität muss man nachrechen.
mfg ullim
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