Gruppe < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Do 10.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
| Aufgabe | a) Es sei G = [mm] \IN [/mm] x [mm] \IZ [/mm] . Die Abbildung * verknüpft zwei Elemente aus G und ist gegeben durch (a,b) * (c,d) = ( a . c, (b . c) +d),
wobei + bzw. . die übliche Addition bzw. Multiplikation von Zahlen bezeichnet. Zeigen Sie, dass (G,*) genau drei der vier Gruppenaxiome (G1)-(G4) erfüllt. |
Ich habe folgendes gemacht:
G1: Abgeschlossenheit:
(a,b) [mm] \in [/mm] G
(c,d) [mm] \in [/mm] G
(a,b) * (c,d) = (a . c, (b . c ) + d) [mm] \in [/mm] G
G2: Assoziativität:
(So, hier fängt das Problem schon an!)
( (a,b) * (c,d) ) * (e,f) = (a,b) * ( (c,d) * (e,f) )
Ist das so richtig?
|
|
| |
|
> a) Es sei G = [mm]\IN[/mm] x [mm]\IZ[/mm] . Die Abbildung * verknüpft zwei
> Elemente aus G und ist gegeben durch (a,b) * (c,d) = ( a .
> c, (b . c) +d),
[mm](a,b)\circ (c,d)=\left ( a\cdot c,(b\cdot c)+d \right )[/mm]
> wobei + bzw. . die übliche Addition bzw. Multiplikation
> von Zahlen bezeichnet. Zeigen Sie, dass (G,*) genau drei
> der vier Gruppenaxiome (G1)-(G4) erfüllt.
> Ich habe folgendes gemacht:
>
> G1: Abgeschlossenheit:
> (a,b) [mm]\in[/mm] G
> (c,d) [mm]\in[/mm] G
>
> (a,b) * (c,d) = (a . c, (b . c ) + d) [mm]\in[/mm] G
Und warum? Das stimmt ja. Aber du kannst ja nicht einfach behaupten, was zu zeigen ist.
>
> G2: Assoziativität:
>
> (So, hier fängt das Problem schon an!)
>
> ( (a,b) * (c,d) ) * (e,f) = (a,b) * ( (c,d) * (e,f) )
Genau das ist zu zeigen!
Das ist ein bisschen Rechnerei. Aber G2 ist auch erfüllt. Nimm dir
( (a,b) * (c,d) ) * (e,f)
vor
( (a,b) * (c,d) ) * (e,f) = (ac,bc+d)*(e,f) = (ace,bce+de+f)
jetzt müsste auch bei
(a,b) * ( (c,d) * (e,f) ) = ... = (ace,bce+de+f)
herauskommen.
>
> Ist das so richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Do 10.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
G1: Abgeschlossenheit:
[mm] \forall [/mm] (a,b), (c,d) [mm] \in [/mm] G : (a,b) * (c,d) [mm] \in [/mm] G
(a,b) * (c,d) = (a [mm] \dot [/mm] c, (b [mm] \dot [/mm] c) + d = (e,f), wobei
e [mm] \in \IN \wedge [/mm] f [mm] \in \IZ [/mm] => (e,f) [mm] \in [/mm] G
G2: Assoziativität:
[mm] \forall [/mm] (a,b), (c,d), (e,f) [mm] \in [/mm] G : ((a,b) * (c,d)) * (e,f) = (a,b) * ((c,d) * (e,f))
(a [mm] \dot [/mm] c, (b [mm] \dot [/mm] c) + d ) * (e,f) = (a [mm] \dot [/mm] c [mm] \dot [/mm] e, ((b [mm] \dot [/mm] c ) + d) [mm] \dot [/mm] e +f) = (a [mm] \dot [/mm] c [mm] \dot [/mm] e, ((b [mm] \dot [/mm] c) [mm] \dot [/mm] e + de+f) = (a [mm] \dot [/mm] c [mm] \dot [/mm] e, b [mm] \dot [/mm] c [mm] \dot [/mm] e + de +f) = (a [mm] \dot [/mm] (c [mm] \dot [/mm] e), b [mm] \dot [/mm] (c [mm] \dot [/mm] e ) + (de+f)) = (a,b)*(c [mm] \dot [/mm] e, de +f )
Und nuu? Wie gehts weiter? Wie komme ich auf (a,b)*((c,d)*(e,f)) ?!?!?
|
|
|
| |
|
> G1: Abgeschlossenheit:
>
> [mm]\forall[/mm] (a,b), (c,d) [mm]\in[/mm] G : (a,b) * (c,d) [mm]\in[/mm] G
> (a,b) * (c,d) = (a [mm]\dot[/mm] c, (b [mm]\dot[/mm] c) + d = (e,f), wobei
>
> e [mm]\in \IN \wedge[/mm] f [mm]\in \IZ[/mm] => (e,f) [mm]\in[/mm] G
Das ist schon mehr einzusehen.
>
>
> G2: Assoziativität:
>
> [mm]\forall[/mm] (a,b), (c,d), (e,f) [mm]\in[/mm] G : ((a,b) * (c,d)) * (e,f)
> = (a,b) * ((c,d) * (e,f))
>
> (a [mm]\dot[/mm] c, (b [mm]\dot[/mm] c) + d ) * (e,f) = (a [mm]\dot[/mm] c [mm]\dot[/mm] e, ((b
> [mm]\dot[/mm] c ) + d) [mm]\dot[/mm] e +f) = (a [mm]\dot[/mm] c [mm]\dot[/mm] e, ((b [mm]\dot[/mm] c)
> [mm]\dot[/mm] e + de+f) = (a [mm]\dot[/mm] c [mm]\dot[/mm] e, b [mm]\dot[/mm] c [mm]\dot[/mm] e + de
> +f) = (a [mm]\dot[/mm] (c [mm]\dot[/mm] e), b [mm]\dot[/mm] (c [mm]\dot[/mm] e ) + (de+f))
> = (a,b)*(c [mm]\dot[/mm] e, de +f )
>
> Und nuu? Wie gehts weiter? Wie komme ich auf
> (a,b)*((c,d)*(e,f)) ?!?!?
Da kannst du wesentlich mehr als ich mit einem Schritt:
[mm][(a,b)*(c,d)]*(e,f)=(ac,bc+d)*(e,f)=(ace,bce+de+f)\;[/mm]
[mm](a,b)*[(c,d)*(e,f)]=(a,b)*(ce,de+f)=(ace,bce+de+f)\;[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:08 Do 10.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ich habe es iwie nicht verstanden :S Was meinst du mit dem letzten Schritt?
|
|
|
| |
|
Dich versteh ich auch nicht. Die Assoziativität ist doch nachgerechnet. Jetzt steht das ja schon da.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Do 10.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
Wie mache ich G3?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Wie mache ich G3
Wenn G3 bei dir die Existenz eines neutralen Elements ist:
Untersuche, ob es ein neutrales Element e gibt mit $e*g=g*e=g$ für alle [mm] $g\in [/mm] G$.
Also nimm dir mal ein allgemeines Element $(n, [mm] z)\in [/mm] G$ und schau, ob es so ein Element gibt.
Kamaleonti
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Do 10.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ist das neutrale Element e=1 ??
|
|
|
| |
|
> Ist das neutrale Element e=1 ??
Wie? Deine Gruppenelemente sind geordnete Paare!
Raten hilft dir nicht weiter, du musst deine Verknüpfungsabbildung schon anschauen, um zu untersuchen, ob es überhaupt ein neutrales Element gibt.
Kamaleonti
|
|
|
|
