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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Gruppe/ Gruppenisomorphismus
Gruppe/ Gruppenisomorphismus < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Gruppe/ Gruppenisomorphismus: Aufgabe 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:13 Fr 04.11.2016
Autor: vika

Aufgabe
Sei ◦: Z × Z → Z definiert durch a ◦ b = a + b − 1.
1. Zeigen Sie, dass (Z, ◦) eine Gruppe ist und geben Sie das neutrale Element an.
2. Geben Sie einen Gruppenisomorphismus (Z, ◦) → (Z, +) an (und rechnen Sie nach, dass es sich wirklich um einen
Gruppenisomorphismus handelt).

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie löse ich das am besten?
Habe nur einige Ansätze zu 1 :

-assoziativ: seien a,b,c ∈  Z. Dann gilt:
a o (b o c) = a o (b+c - 1)
(a o b) o c = (a o b)+c - 1
-neutr. Element: 1 ∈ Z ist das neutrale Element, da gilt:
1 o a = a
a o 1 = a
-existenz inverses Elem.: sei a∈ Z. Dann gilt:
a o b = 1 und b o a = 1, also ist b das inverse Elem.

        
Bezug
Gruppe/ Gruppenisomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:12 Fr 04.11.2016
Autor: hippias

[willkommenvh]

> Sei ◦: Z × Z → Z definiert durch a ◦ b = a + b −
> 1.
>  1. Zeigen Sie, dass (Z, ◦) eine Gruppe ist und geben Sie
> das neutrale Element an.
>  2. Geben Sie einen Gruppenisomorphismus (Z, ◦) → (Z,
> +) an (und rechnen Sie nach, dass es sich wirklich um
> einen
>  Gruppenisomorphismus handelt).
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  Wie löse ich das am besten?
>  Habe nur einige Ansätze zu 1 :
>  
> -assoziativ: seien a,b,c ∈  Z. Dann gilt:
>   a o (b o c) = a o (b+c - 1)
>   (a o b) o c = (a o b)+c - 1

Das ist genau der richtige Start: rechne jetzt einfach weiter, indem Du das Symbol [mm] $\circ$ [/mm] weiter auflöst. Z.B. $a [mm] \circ [/mm] (b+c - 1)= a+(b+c-1)-1$.

Jetzt Du für den zweiten Term. Sind sie gleich? Warum?

Übrigens gehört auch die Abgeschlossenheit zu den Gruppenaxiomen. Diese ist zwar meist offensichtlich, aber Du solltest noch kurz begründen, weshalb [mm] $a\circ [/mm] b$ für alle [mm] $a,b\in \IZ$ [/mm] wieder eine ganze Zahl ist.



>  -neutr. Element: 1 ∈ Z ist das neutrale Element, da
> gilt:
>   1 o a = a
>   a o 1 = a

Richtig; hätte man ausführlicher machen können: Sei [mm] $a\in \IT$ [/mm] beliebig. Dann gilt [mm] $1\circ [/mm] a= 1+a-1= a$.

>  -existenz inverses Elem.: sei a∈ Z. Dann gilt:
>   a o b = 1 und b o a = 1, also ist b das inverse Elem.

Das ist die zu überprüfende Bedingung, aber noch kein Nachweis, dass es zu jedem $a$ ein solches $b$ gibt. Wie muss man beispielsweise $b$ wählen, wenn $a= -10$ ist?


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