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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Do 22.01.2009 | | Autor: | Eisbar |
| Aufgabe | Ein Ring R heißt lokal, falls R genau ein maximales Ideal besitzt.
(a) Zeigen Sie, dass R genau dann lokal ist, wenn die Nichteinheiten ein Ideal
in R bilden.
(b) Zeigen Sie, dass Z/pnZ, p Primzahl, lokaler Ring ist.
(c) Zeigen Sie, dass der Ring der formalen Potenzreihen K X ¨uber einem
K¨orper K lokal ist. |
Ich habe schon an dieser Aufgabe rumprobiert. Aber komme irgendwie zu nichts. Kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Do 22.01.2009 | | Autor: | SEcki |
R ist kommutativ, oder?
> (a) Zeigen Sie, dass R genau dann lokal ist, wenn die
> Nichteinheiten ein Ideal in R bilden.
Was heißt denn lokal genau? Sind dir die Begriffe klar? Jetzt nimm mal an, die Nichteinheiten bilden ein Ideal - wieso ist das dann maximal? Wieso gibt es kein weiteres?
Jetzt sei der Ring lokal, dann nehme ein Element außerhalb dieses Ideals und betrachte das davon erzeugte Ideal. Ist es ganz R, sind wir fertig; ist es nicht ganz R müsste es allerdings im maximalen Ideal liegen.
> (b) Zeigen Sie, dass Z/pnZ, p Primzahl, lokaler Ring ist.
> (c) Zeigen Sie, dass der Ring der formalen Potenzreihen
> KX ¨uber einem
> K¨orper K lokal ist.
Im Wesentlichen folgt doch beides sofort aus a) - was sind denn die Nichteinheiten?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Do 22.01.2009 | | Autor: | Eisbar |
R ist nicht kommutativ, es ist nur vorrausgesetzt das R ein lokaler Ring ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Fr 23.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> R ist nicht kommutativ, es ist nur vorrausgesetzt das R ein
> lokaler Ring ist.
Das waer aber besser: im nicht-kommutativen kann es auch mal vorkommen, dass das Produkt von zwei Nichteinheiten eine Einheit ist. Und dann gibt es noch Ringe die [mm] $K^{n \times n}$ [/mm] (alle $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen ueber $K$), die nur ein maximales Ideal haben (naemlich das Nullideal), aber ganz viele Nicht-Einheiten.
LG Felix
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