Gruppe, Kommutativ < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:53 Sa 06.10.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Ist G eine abelsche Gruppe, [mm] a_1,..,a_n \in [/mm] G und [mm] \sigma \in S_n [/mm] , so gilt [mm] a_1 *..*a_n [/mm] = [mm] a_{\sigma(1)}*..*a_{\sigma(n)} [/mm] |
Hallo,
Ich dachte an einen Induktionsbeweis.
Induktionsanfang:
n=1
[mm] a_1 [/mm] = [mm] a_{\sigma(1)}=a_1 [/mm] trivial korrekt
Induktionsannahme:
Ich nehme an es stimmt für n elemente
[mm] a_1 [/mm] *.. * [mm] a_n [/mm] = [mm] a_{\sigma(1)} [/mm] *.. * [mm] a_{\sigma(n)}
[/mm]
Induktionsschritt
[mm] a_1 *..*a_n *a_{n+1}=(a_{\sigma(1)}*..*a_{\sigma(n)})*a_{n+1}= a_{n+1}(a_{\sigma(1)}*..*a_{\sigma(n)})
[/mm]
Erste = wegen indutkionsvorrausetzung
Zweite = wegen abelsche Gruppe
Nun komme ich leider nicht weiter ..
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:15 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Beweisen Sie: Ist G eine abelsche Gruppe, [mm]a_1,..,a_n \in[/mm] G
> und [mm]\sigma \in S_n[/mm] , so gilt [mm]a_1 *..*a_n[/mm] =
> [mm]a_{\sigma(1)}*..*a_{\sigma(n)}[/mm]
> Hallo,
> Ich dachte an einen Induktionsbeweis.
>
> Induktionsanfang:
> n=1
> [mm]a_1[/mm] = [mm]a_{\sigma(1)}=a_1[/mm] trivial korrekt
>
> Induktionsannahme:
> Ich nehme an es stimmt für n elemente
> [mm]a_1[/mm] *.. * [mm]a_n[/mm] = [mm]a_{\sigma(1)}[/mm] *.. * [mm]a_{\sigma(n)}[/mm]
>
> Induktionsschritt
> [mm]a_1 *..*a_n *a_{n+1}=(a_{\sigma(1)}*..*a_{\sigma(n)})*a_{n+1}= a_{n+1}(a_{\sigma(1)}*..*a_{\sigma(n)})[/mm]
>
> Erste = wegen indutkionsvorrausetzung
> Zweite = wegen abelsche Gruppe
> Nun komme ich leider nicht weiter ..
also die Idee des Induktionsbeweises ist sicherlich nicht schlecht, damit
sollte man die Behauptung beweisen können. Was Du Dir aber klar machen
musst:
In der Induktionsvoraussetzung ist
[mm] $$\sigma=\sigma_n$$
[/mm]
eine Bijektion [mm] $\{1,...,n\} \to \{1,...,n\}\,,$ [/mm] und im Induktionsschritt ist
[mm] $$\sigma=\sigma_{n+1}$$
[/mm]
eine Bijektion [mm] $\{1,...,n+1\} \to \{1,...,n+1\}\,.$ [/mm] So, wie Du das oben
schreibst, müsste bei Dir ja immer [mm] $\sigma_{n+1}(n+1)=n+1$ [/mm] gelten.
(Damit wäre die Aufgabe leicht - ganz so leicht ist sie nicht!!)
Du kannst aber die Induktionsvoraussetzung im Induktionsschritt, wo
[mm] $\sigma=\sigma_{n+1}:\{1,...,n+1\} \to \{1,...,n+1\}$ [/mm] bijektiv
(hier=injektiv=surjektiv) ist, aber sofort anwenden und bist quasi (für
den folgenden, einfachen Fall!!) fertig, wenn Du zuerst mal DEN FALL, dass
[mm] $$\sigma(n+1)=\sigma_{n+1}(n+1)\;\;\red{\text{ = }}\;\;n+1\,$$
[/mm]
gilt, betrachtest:
Dann ist
[mm] $$a_1*...*a_n*a_{n+1}=(a_1*...*a_n)*a_{\sigma_{n+1}(n+1)}$$
[/mm]
und die eingeschränkte Abbildung [mm] $\sigma_{n+1}_{|\{1,...,n\}}$ [/mm] ist dann
eine Bijektion [mm] $\{1,...,n\} \to \{1,...,n\}\,$ [/mm] - so dass dann der Rest nach
Anwendung der Induktionsvoraussetzung da steht. (Das
eventuelle "Klammerproblem", was Du vielleicht irgendwie für
gefährlich hältst, löst sich doch, weil wir in einer Gruppe die Gültigkeit
des Assoziativgesetzes haben -und zwar (wie man etwa induktiv zeigt) für
endlich viele "Faktoren"!)
Im Falle [mm] $\sigma_{n+1}(n+1) \not=n+1$ [/mm] hast Du ein wenig "Bastelarbeit"
zu erledigen, um die Induktionsvoraussetzung anwenden zu dürfen!!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Sa 06.10.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo, danke für die antwort:
I.Schritt: [mm] \sigma_{n+1} \{1,.,n,n+1\} [/mm] -> [mm] \{1,.,n,n+1\} [/mm]
Case 1) [mm] \sigma_{n+1} [/mm] (n+1) = (n+1)
[mm] a_1 [/mm] .. [mm] a_n a_{n+1} [/mm] = [mm] (a_1 ..a_n) a_{\sigma_{n+1} (n+1)}
[/mm]
> Die eingeschränkte Abbildung $ [mm] \sigma_{n+1}_{|\{1,...,n\}} [/mm] $ ist dann
> eine Bijektion $ [mm] \{1,...,n\} \to \{1,...,n\}\, [/mm] $,
also verwende ich I.Vorruaussetzung:
..= [mm] a_{\sigma_{n+1} (n+1)} [/mm] .. [mm] a_{\sigma_{n+1} (n+1)} a_{\sigma_{n+1} (n+1)}
[/mm]
Case 2)
[mm] \sigma_{n+1} (n+1)\not=n+1, \sigma_{n+1} [/mm] (n+1)=i für 1 <= i <= n
[mm] a_1 [/mm] .. [mm] a_n a_{n+1} [/mm] = [mm] a_1.. a_{\sigma_{n+1} (n+1)} ..a_n a_{n+1}
[/mm]
= [mm] a_1 ..a_{i-1} a_{i+1}... a_n a_{n+1} a_{\sigma_{n+1} (n+1)}
[/mm]
Die eingeschränkte Abbildung $ [mm] \sigma_{n+1}_{|\{1,...,n\}} [/mm] ist dann eine Bijektion [mm] \{1,...,n\} [/mm] -> [mm] \{1,.i-1,i+1..,n,n+1\}, [/mm] also auch jeweils auf n elemente
Hier weiß ich nicht recht, ob ich die Induktionsvorrausetzung anwenden darf! Da ich ja nur die Elemente anderes benannt sind..
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Hallo, danke für die antwort:
>
> I.Schritt: [mm]\sigma_{n+1} \{1,.,n,n+1\}[/mm] -> [mm]\{1,.,n,n+1\}[/mm]
>
> Case 1) [mm]\sigma_{n+1}[/mm] (n+1) = (n+1)
> [mm]a_1[/mm] .. [mm]a_n a_{n+1}[/mm] = [mm](a_1 ..a_n) a_{\sigma_{n+1} (n+1)}[/mm]
> >
> Die eingeschränkte Abbildung [mm]\sigma_{n+1}_{|\{1,...,n\}}[/mm]
> ist dann
> > eine Bijektion [mm]\{1,...,n\} \to \{1,...,n\}\, [/mm],
> also
> verwende ich I.Vorruaussetzung:
> ..= [mm]a_{\sigma_{n+1} (n+1)}[/mm] .. [mm]a_{\sigma_{n+1} (n+1)} a_{\sigma_{n+1} (n+1)}[/mm]
das hast Du Dich verschrieben, oder? Du meintest
[mm] $$=a_{\sigma_{n+1} (\red{1})}*a_{\sigma_{n+1} (\red{2})}*...*a_{\sigma_{n+1} (n+1)}$$
[/mm]
Übrigens hatte ich nur der Deutlichkeit wegen [mm] $\sigma=\sigma_{n+1}$
[/mm]
geschrieben. Formal wäre es vielleicht schöner, eine bijektive Abbildung
[mm] $$\{1,...,n\} \to \{1,...,n\}$$
[/mm]
aus der I.V. mit [mm] $\tilde{\sigma}$ [/mm] zu bezeichnen. Dann kann man mit
[mm] $\tilde{\sigma}=\sigma_n$ [/mm] und [mm] $\sigma=\sigma_{n+1}$ [/mm] arbeiten und das ist vll. ein wenig übersichtlicher (rein formal).
> Case 2)
> [mm]\sigma_{n+1} (n+1)\not=n+1, \sigma_{n+1}[/mm] (n+1)=i für 1 <=
> i <= n
> [mm]a_1[/mm] .. [mm]a_n a_{n+1}[/mm] = [mm]a_1.. a_{\sigma_{n+1} (n+1)} ..a_n a_{n+1}[/mm]
>
> = [mm]a_1 ..a_{i-1} a_{i+1}... a_n a_{n+1} a_{\sigma_{n+1} (n+1)}[/mm]
>
> Die eingeschränkte Abbildung $
> [mm]\sigma_{n+1}_{|\{1,...,n\}}[/mm] ist dann eine Bijektion
> [mm]\{1,...,n\}[/mm] -> [mm]\{1,.i-1,i+1..,n,n+1\},[/mm] also auch jeweils
> auf n elemente
> Hier weiß ich nicht recht, ob ich die
> Induktionsvorrausetzung anwenden darf! Da ich ja nur die
> Elemente anderes benannt sind..
Das ist das, was ich "Bastelarbeit" genannt habe. Da muss man halt
irgendwo Verknüpfungen einbauen, so dass man mithilfe der
Verknüpfungen eine Bijektion
[mm] $$\{1,...,n\} \to \{1,...,n\}$$
[/mm]
erhält - und auf die so "gebastelte" Bijektion [mm] $\{1,...,n\} \to \{1,...,n\}$
[/mm]
kann man dann die I.V. ansetzen.
So als Beispiel (nur angedeutet):
Wenn man $f: [mm] \{1,2,3,4,5\} \to \{1,2,3,4,5\}$ [/mm] hat mit
[mm] $$f(1)=5,\; f(2)=4,\; f(3)=4,\;f(4)=2,\;f(5)=1,$$
[/mm]
dann ist [mm] $f(\{1,2,3,4\})=\{2,3,4,5\}\,.$ [/mm] Nun sollte man eine Funktion
$$g: [mm] \{2,3,4,5\}=f(\{1,2,3,4\}) \to \{1,2,3,4\}$$
[/mm]
so definieren, dass
[mm] $$f_{|\{1,2,3,4\}} \circ [/mm] g: [mm] \{1,2,3,4\} \to \{1,2,3,4\}$$
[/mm]
bijektiv ist.
Sowas in der Art muss man hier machen. Man muss also irgendwo mit
"(wohl bijektiven) Funktionen $M [mm] \to \{1,...,n\}$ [/mm] oder [mm] $\{1,...,n\} \to M\,,$
[/mm]
wenn $|M|$ eine [mm] $n\,$-elementige [/mm] Menge ist - der man hier im I.V. vll.
sogar auch noch mehr Eigenschaften zuweisen kann" spielen. Sowas muss
man mit [mm] $\sigma=\sigma_{n+1}$ [/mm] dann vor [mm] $\sigma_{|\{1,...,n\}}$ [/mm] oder
nach [mm] $\sigma_{|\{1,...,n\}}$ [/mm] schalten. Und dann kann man auf eine
solche Verknüpfung (wo irgendwo [mm] $\sigma_{|\{1,...,n\}}$ [/mm] mit im Spiel ist)
dann die I.V. anwenden.
Aber wie gesagt: Das ist Deine Bastelarbeit. Wenn's total schiefgeht,
bastel ich vielleicht mal mit, oder ich schau' nach: Mein WT-Dozent hatte,
zwar bei einer anderen Aufgabe, genau sowas mal gebastelt, weil er in
einem Induktionsbeweis genausowas wie Du hier gebraucht hatte!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
