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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Do 03.05.2012 | | Autor: | muesmues |
| Aufgabe | Sei G eine endliche Gruppe. Die Ordnung von g [mm] \in [/mm] G bezeichnen wir mit ord(g). Es seien a, b, c [mm] \in [/mm] G mit folgenden Eigenschaften: Die Gruppe G wird von {a, b, c} erzeugt, das Element a erzeugt das Zentrum von G und es gilt: [mm] bcb^{-1}c^{-1} [/mm] = a
a) Berechnen Sie [mm] b^ncb^{-n}c^{-1}
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass ord(a)|ord(b)
c) Zeigen Sie, dass [mm] b^{ord(a)} [/mm] im Zentrum von G liegt.
d) Folgern Sie hieraus: [mm] ord(b)|(ord(a))^2 [/mm] |
Hallo, liebe Forumsteilnehmer!
Ich hab ein riesiges Problem mit dieser Aufgabe. Mir will kein richtiger Ansatz einfallen.
Zwar habe ich schon verschiedene Bücher nach Definitionen und Beispielen abgesucht, trotzdem komme ich nicht weiter.
Könnte mir jemand einen Tipp geben, wie ich ran gehen kann? Vor allem Aufgabe b, c, d ...
Vielen herzlichen Dank!!!
Sorry, wegen des Tippfehlers. Jetzt ist alles da 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Do 03.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei G eine endliche Gruppe. Die Ordnung von g [mm]\in[/mm] G
> bezeichnen wir mit ord(g). Es seien a, b, c [mm]\in[/mm] G mit
> folgenden Eigenschaften: Die Gruppe G wird von {a, b, c}
> erzeugt, das Element a erzeugt das Zentrum von G und es
> gilt: [mm]bcb^{-1}c^{-1}[/mm]
Du solltest schon verraten was nun gilt !! Sonst kann man Dir nicht helfen. Da oben steht nur [mm]bcb^{-1}c^{-1}[/mm]
FRED
> a) Berechnen Sie [mm]b^ncb^{-n}c^{-1}[/mm]
> b) Zeigen Sie, dass ord(a)|ord(b)
> c) Zeigen Sie, dass [mm]b^{ord(a)}[/mm] im Zentrum von G liegt.
> d) Folgern Sie hieraus: [mm]ord(b)|(ord(a))^2[/mm]
> Hallo, liebe Forumsteilnehmer!
>
> Ich hab ein riesiges Problem mit dieser Aufgabe. Mir will
> kein richtiger Ansatz einfallen.
>
> Zwar habe ich schon verschiedene Bücher nach Definitionen
> und Beispielen abgesucht, trotzdem komme ich nicht weiter.
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> Könnte mir jemand einen Tipp geben, wie ich ran gehen
> kann? Vor allem Aufgabe b, c, d ...
>
> Vielen herzlichen Dank!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Do 03.05.2012 | | Autor: | muesmues |
Kann mir denn niemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Do 03.05.2012 | | Autor: | SEcki |
> a) Berechnen Sie [mm]b^ncb^{-n}c^{-1}[/mm]
Obige Gleichung umformen, einsetzen, Kommutativität von a nutzen.
> b) Zeigen Sie, dass ord(a)|ord(b)
Nach a) hat man eine Gleichung - falls obiges falsch wäre, wäre dies ein Widerspruch zur a)
> c) Zeigen Sie, dass [mm]b^{ord(a)}[/mm] im Zentrum von G liegt.
In a) einsetzen, um Kommutativität mit c zu zeigen (was reicht - wieso?)
> d) Folgern Sie hieraus: [mm]ord(b)|(ord(a))^2[/mm]
Folgt aus c) damit, dass a Erzeuger des Zentrums ist.
> Ich hab ein riesiges Problem mit dieser Aufgabe. Mir will
> kein richtiger Ansatz einfallen.
Straightforward mit a) anfangen.
SEcki
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