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| Aufgabe | | Seien [mm] U_{1}:={2n:n\in\IZ} [/mm] und [mm] U_{2}:={2n+1:n\in\IZ}. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] (U_{1},+) [/mm] eine Untergruppe von [mm] (\IZ,+) [/mm] ist, jedoch [mm] (U_{2},+) [/mm] nicht. |
Also ich muss die Gruppenaxiome für die Gruppen [mm] U_{1},U_{2} [/mm] zeigen. Mich stört nur das mit den 2n bzw 2n+1! ;/
Z.B. für [mm] U_{1}:
[/mm]
Neutrales Element: 2n+e=e+2n=2n ????
Oder wie mache ich das mit der Assoziativität??
Danke für Eure Hilfe!
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Hallo,
> Seien [mm]U_{1}:={2n:n\in\IZ}[/mm] und [mm]U_{2}:={2n+1:n\in\IZ}.[/mm] Zeigen
> Sie, dass [mm](U_{1},+)[/mm] eine Untergruppe von [mm](\IZ,+)[/mm] ist,
> jedoch [mm](U_{2},+)[/mm] nicht.
> Also ich muss die Gruppenaxiome für die Gruppen
> [mm]U_{1},U_{2}[/mm] zeigen. Mich stört nur das mit den 2n bzw 2n+1!
Tja, hilft nix  . Bei [mm] $U_2$ [/mm] hast Du nicht viel zu tun: Wenn nur eine der "definierenden Eigenschaften" für eine Untergruppe *nicht* gilt, an ist die betr. Teilmenge keine Untergruppe.
Und warum möchtest Du Dir bei [mm] $U_1$ [/mm] mehr Arbeit machen als notwendig  ? Je nachdem was Du bzgl. Untergruppen schon verwenden darfst, reduziert sich der Untergruppen-Beweis auf die Prüfung einer einzigen Bedingung.
Assoziativität ist eine Eigenschaft der Verknüpfung, gilt ja für die ganze Gruppe, daher auch auf jeder nichtleeren Teilmenge der Gruppe.
> ;/
> Z.B. für [mm]U_{1}:[/mm]
>
> Neutrales Element: 2n+e=e+2n=2n ????
Auch das fällt für die Untergruppen-Prüfung weg. Wichtiger ist da schon, ob
1. die betr. Teilmenge das neutrale Element der Gruppe enthält, *und*
2. ob die Teilmenge bzgl. der Verknüpfung abgeschlossen ist, d.h. ob mit zwei Elementen auch das "Verknüpfungsergebnis" drin liegt.
Hth
zahlenspieler
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danke für deine Antwort. Kannst du das bitte mal für eine der genannten Eigenschaften vorführen. Dann seh ich wie's funktioniert. hoffe ich... :)
grüße!
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Hallo,
lt. Aufgabe ist [mm] $U_2=\{2n+1 |n \mid \IZ\}$. $U_2$ [/mm] ist Teilmenge von [mm] $\IZ$. $\IZ$ [/mm] ist bekanntlich bzgl. der Addition eine Gruppe mit dem neutralen Element 0.
Wenn nur eine der Bedingungen
- Aus $a,b [mm] \in U_2$ [/mm] folgt [mm] $a+b\in U_2$;
[/mm]
- Das neutrale Element von [mm] $\IZ$ [/mm] liegt in [mm] $U_2$;
[/mm]
- Zu jedem $a [mm] \in U_2$ [/mm] gibt es ein $x [mm] \in U_2$ [/mm] mit $a+x=0=x+a$
*nicht* erfüllt ist, ist [mm] $U_2$ [/mm] keine Untergruppe von [mm] $(\IZ, [/mm] +)$.
Behauptung: $0 [mm] \not\in U_2$.
[/mm]
Beweis: Wäre 0 Element von [mm] $U_2$, [/mm] müßte es ein $n [mm] \in \IZ$ [/mm] geben mit $2n+1=0 [mm] \gdw [/mm] 1=-2n$; d.h. 2 wäre Teiler von 1, daher $2 [mm] \le [/mm] 1$, also auch [mm] $1\le [/mm] 0. Es ist aber $1 [mm] \ne [/mm] 0$, und es folgt $1<0$ - Widerspruch zu $1>0$.
[mm] $\qedsymbol$
[/mm]
Anderes Gegenbeispiel: Betrachte die Menge [mm] $\IZ^+$ [/mm] der positiven ganzen Zahlen. Mit $a+b [mm] \in \IZ^+$ [/mm] ist auch [mm] $a+b\in \IZ^+$; [/mm] aber $0 [mm] \in \IZ+$ [/mm] ist nicht erfüllt: [mm] $\IZ+$ [/mm] keine Untergruppe von [mm] $(\IZ, [/mm] +$.
$0 [mm] \in U_1$: [/mm] Denn $2*0=0+0=0$.
Sind [mm] $m,n\in \IZ$ [/mm] beliebig, dann $2m, 2n [mm] \in U_1$. [/mm] Mit dem Distributivgesetz: $2(m+n)=2m+2n$, d.h. $2m+2n [mm] \in U_1$.
[/mm]
Bleibt noch zu zeigen, daß mit $u [mm] \in U_1$ [/mm] auch $-u$ in [mm] $U_1$ [/mm] liegt.
Hth
zahlenspieler
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