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| Aufgabe | A4.)
Sei $M$ eine Menge und $+ : [mm] 2^M \times 2^M \rightarrow 2^M: [/mm] (X,Y) [mm] \mapsto [/mm] (X [mm] \cup Y)\backslash(X \cap [/mm] Y)$. Zeigen Sie, dass [mm] $(2^M, [/mm] +)$ eine Gruppe ist. |
Hallo,
habe eine Frage zu den Gruppen und zwar geht es mir um die Begründung, dass die Verknüpfung assoziativ ist, denn das fällt mir schwer zu zeigen. Neutrales Element ist [mm] $\emptyset$ [/mm] und das inverse Element ist das jeweilige Element (sprich eine Teilmenge von $M$) selbst.
Mein Ansatz:
$(X + Y) + Z = ((X [mm] \cup Y)\backslash(X \cap [/mm] Y))+ Z = (((X [mm] \cup Y)\backslash(X \cap Y))\cup Z)\backslash(((X \cup Y)\backslash(X \cap Y))\cap [/mm] Z) = ((X [mm] \cup [/mm] Y [mm] \cup Z)\backslash((X \cap Y)\cup Z))\backslash(((X \cup Y)\cap Z)\backslash(X \cap [/mm] Y [mm] \cap [/mm] Z) = ??$
Stimmt das bisher? Wie komme ich jetzt im Endeffekt auf $X + (Y + Z)$?
Danke im Voraus für eure Hilfe.
Grüße
Joe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:03 Mo 12.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> A4.)
> Sei [mm]M[/mm] eine Menge und [mm]+ : 2^M \times 2^M \rightarrow 2^M: (X,Y) \mapsto (X \cup Y)\backslash(X \cap Y)[/mm].
> Zeigen Sie, dass [mm](2^M, +)[/mm] eine Gruppe ist.
> Hallo,
> habe eine Frage zu den Gruppen und zwar geht es mir um die
> Begründung, dass die Verknüpfung assoziativ ist, denn das
> fällt mir schwer zu zeigen. Neutrales Element ist
> [mm]\emptyset[/mm] und das inverse Element ist das jeweilige Element
> (sprich eine Teilmenge von [mm]M[/mm]) selbst.
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm](X + Y) + Z = ((X \cup Y)\backslash(X \cap Y))+ Z = (((X \cup Y)\backslash(X \cap Y))\cup Z)\backslash(((X \cup Y)\backslash(X \cap Y))\cap Z) = ((X \cup Y \cup Z)\backslash((X \cap Y)\cup Z))\backslash(((X \cup Y)\cap Z)\backslash(X \cap Y \cap Z) = ??[/mm]
Das ist falsch, denn $((X [mm] \cup Y)\setminus(X \cap Y))\cup Z\not=(X \cup [/mm] Y [mm] \cup Z)\setminus((X \cap Y)\cup [/mm] Z)$
und $((X [mm] \cup Y)\backslash(X \cap Y))\cap Z\not [/mm] =((X [mm] \cup Y)\cap Z)\backslash(X \cap [/mm] Y [mm] \cap [/mm] Z)$ .
Es ist
[mm] ((X \cup Y)\setminus(X \cap Y))\cup Z = ((X \cup Y \cup Z)\setminus((X \cap Y)\setminus Z) [/mm]
und
[mm] ((X \cup Y)\setminus(X \cap Y))\cap Z = ((X \cup Y)\cap Z) \setminus (X \cap Y) [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke für deine Antwort. Stimmt ich kann nicht einfach Mengenoperationen "reinmultiplizieren" :) Aber ich müsste um den Schritt $ ((X [mm] \cup Y)\setminus(X \cap Y))\cup [/mm] Z = ((X [mm] \cup [/mm] Y [mm] \cup Z)\setminus((X \cap Y)\setminus [/mm] Z) $ doch beweisen - da ja nicht direkt ersichtlich oder? Dann müsste ich ja wieder auf doppelte Inklusion zurückgreifen oder einfach ein Venn-Diagramm malen, aber ob das ausreicht...
Wie würde man dann aber im nächsten auf ein "isoliertes" X kommen?
Grüße
Joe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Di 13.11.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Joe,
[mm]((X \cup Y)\setminus(X \cap Y))\cup Z = ((X \cup Y \cup Z)\setminus((X \cap Y)\setminus Z)[/mm]
> doch beweisen - da ja nicht direkt ersichtlich oder?
Kannst du nicht einfach zeigen, dass
x [mm] \in [/mm] ((X [mm] \cup Y)\setminus(X \cap Y))\cup [/mm] Z [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] ((X [mm] \cup [/mm] Y [mm] \cup Z)\setminus((X \cap Y)\setminus [/mm] Z) ??
Silfide
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Hallo Silfide,
das kann ich schon zeigen, bloß ist mir dann der nächste Umformungsschritt in der Assoziativität nicht ersichtlich.
Sei [mm] x \in ((X \cup Y)\setminus(X \cap Y))\cup Z
\Leftrightarrow x \in (X \cup Y)\setminus(X \cap Y) \lor x \in Z
\Leftrightarrow x \in (X \cup Y) \land x \notin (X \cap Y) \lor x \in Z
\Leftrightarrow x \in (X \cup Y \cup Z) \land x \notin (X \cap Y)\setminus Z
\Leftrightarrow x \in ((X \cup Y \cup Z)\setminus((X \cap Y)\setminus Z)
[/mm]
Grüße
Joe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 15.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:09 Mo 12.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Joe,
die Assoziativität erscheint mir hier tatsächlich etwas knibbelig zu sein. Mir erscheint es insbesondere schwierig, sie durch eine Gleichungskette zu zeigen.
Daher schlage ich vor, [mm] $(X+Y)+Z\subseteq [/mm] X+(Y+Z)$ zu zeigen.
Wegen der Kommutativität der Verknüpfung (die man leicht nachprüft), folgt dann auch
[mm] $X+(Y+Z)=(Y+Z)+X=(Z+Y)+X\subseteq [/mm] Z+(Y+X)=(Y+X)+Z=(X+Y)+Z$,
also insgesamt $(X+Y)+Z=X+(Y+Z)$.
Um [mm] $(X+Y)+Z\subseteq [/mm] X+(Y+Z)$ zu zeigen, sind einige Fallunterscheidungen nötig.
Siehe auch hier (klick) unter Punkt i).
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias,
verstehe deinen Ansatz, aber müsste ich für $ (X+Y)+Z = X+(Y+Z) $ nicht die beiden Inklusionen einzeln zeigen und nicht nur $ [mm] (X+Y)+Z\subseteq [/mm] X+(Y+Z) $?
Hier mal mein Versuch:
[mm]
&\text{Sei } x \in (X+Y)+Z \\
&\Rightarrow x \in ((X \cup Y)\backslash(X \cap Y))+ Z\\
&\Rightarrow x \in (((X \cup Y)\backslash(X \cap Y))\cup Z)\backslash(((X \cup Y)\backslash(X \cap Y))\cap Z)\\
\Rightarrow x \in (((X \cup Y)\backslash(X \cap Y))\cup Z) \land x \notin (((X \cup Y)\backslash(X \cap Y))\cap Z)\\
\Rightarrow (x \in ((X \cup Y)\backslash(X \cap Y)) \lor x \in Z) \land (x \notin ((X \cup Y)\backslash(X \cap Y)) \land x \notin Z) \\
[/mm]
Wie mache ich jetzt am klügsten weiter?
Grüße
Joe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Di 13.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> verstehe deinen Ansatz, aber müsste ich für [mm](X+Y)+Z = X+(Y+Z)[/mm]
> nicht die beiden Inklusionen einzeln zeigen und nicht nur
> [mm](X+Y)+Z\subseteq X+(Y+Z) [/mm]?
Ja, beide Inklusionen sind zu zeigen. Aber wenn du eine gezeigt hast, kannst du die andere auf die schon gezeigte zurückführen, wie ich in meiner vorherigen Antwort vorgeführt habe. So musst du den umfangreichen Beweis einer Inklusion nicht zweimal durchführen.
> Hier mal mein Versuch:
> [mm]
&\text{Sei } x \in (X+Y)+Z \\
&\Rightarrow x \in ((X \cup Y)\backslash(X \cap Y))+ Z\\
&\Rightarrow x \in (((X \cup Y)\backslash(X \cap Y))\cup Z)\backslash(((X \cup Y)\backslash(X \cap Y))\cap Z)\\
\Rightarrow x \in (((X \cup Y)\backslash(X \cap Y))\cup Z) \land x \notin (((X \cup Y)\backslash(X \cap Y))\cap Z)\\
\Rightarrow (x \in ((X \cup Y)\backslash(X \cap Y)) \lor x \in Z) \land (x \notin ((X \cup Y)\backslash(X \cap Y)) \red{\land} x \notin Z) \\
[/mm]
Das rot markierte [mm] $\land$ [/mm] am Ende müsste ein [mm] $\vee$ [/mm] sein.
> Wie mache ich jetzt am klügsten weiter?
Mache eine Fallunterscheidung nach
1. [mm] $x\in (X\cup Y)\backslash(X\cap [/mm] Y)$ bzw.
2. [mm] $x\in [/mm] Z$.
Ich mache dir mal einen Teil des 2. Falles [mm] $x\in [/mm] Z$ vor:
Wegen $x [mm] \notin [/mm] ((X [mm] \cup Y)\backslash(X \cap [/mm] Y)) [mm] \vee [/mm] x [mm] \notin [/mm] Z$
und [mm] $x\in [/mm] Z$ muss [mm] $x\not\in(X\cup Y)\backslash(X\cap [/mm] Y)$ gelten.
Also nicht [mm] ($x\in X\cup [/mm] Y$ und [mm] $x\not\in X\cap [/mm] Y$),
d.h. (nicht [mm] $x\in X\cup [/mm] Y$) oder (nicht [mm] $x\not\in X\cap [/mm] Y$),
d.h. a) [mm] $x\not\in X\cup [/mm] Y$ oder b) [mm] $x\in X\cap [/mm] Y$
Im Falle a) gilt nicht [mm] ($x\in [/mm] X$ oder [mm] $x\in [/mm] Y$),
also (nicht [mm] $x\in [/mm] X$) und (nicht [mm] $x\in [/mm] Y$),
d.h. [mm] $x\not\in [/mm] X$ und [mm] $x\not\in [/mm] Y$.
Nun überlegen wir, ob [mm] $x\in [/mm] Y+Z$ gilt:
Wegen [mm] $x\in [/mm] Z$ gilt [mm] $x\in Y\cup [/mm] Z$.
Wegen [mm] $x\not\in [/mm] Y$ gilt [mm] $x\not\in Y\cap [/mm] Z$.
Die Behauptungen der vorigen beiden Zeilen zusammengenommen liefern [mm] $x\in [/mm] Y+Z$.
Nun können wir überlegen, dass tatsächlich [mm] $x\in [/mm] X+(Y+Z)$ gilt:
Wegen [mm] $x\in [/mm] Y+Z$ gilt [mm] $x\in X\cup [/mm] (Y+Z)$.
Wegen [mm] $x\not\in [/mm] X$ gilt [mm] $x\not\in X\cap [/mm] (Y+Z)$.
Die Behauptungen der vorigen beiden Zeilen zusammengenommen liefern [mm] $x\in [/mm] X+(Y+Z)$.
Im Falle b) ...
Viele Grüße
Tobias
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Ich danke dir Tobias für deine deutliche Ausführung :)
b.)
Aber wenn $x [mm] \in [/mm] X [mm] \cap [/mm] Y$ dann gilt $x [mm] \in [/mm] X [mm] \land [/mm] x [mm] \in [/mm] Y$, was mich bei ...$x [mm] \notin [/mm] Y [mm] \cap [/mm] Z$ zu einem Widerspruch bringen würde, da x laut Annahme ja bereits in Z ist, aber durch den Fall b ebenfalls in Y => also auch in der Schnittmenge oder übersehe ich etwas?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Di 13.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> b.)
> Aber wenn [mm]x \in X \cap Y[/mm] dann gilt [mm]x \in X \land x \in Y[/mm],
Ja.
> was mich bei ...[mm]x \notin Y \cap Z[/mm] zu einem Widerspruch
> bringen würde, da x laut Annahme ja bereits in Z ist, aber
> durch den Fall b ebenfalls in Y => also auch in der
> Schnittmenge oder übersehe ich etwas?
Völlig richtig.
Etwas direkter könntest du schreiben:
Wegen [mm] $x\in [/mm] Y$ und [mm] $x\in [/mm] Z$ gilt [mm] $x\in Y\cap [/mm] Z$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Di 13.11.2012 | | Autor: | JoeSunnex |
Ich danke dir vielmals Tobias, habe jetzt den "Beweis" bis zum Ende geführt und bin zu einem positiven Ergebnis gekommen. Der Rest dagegen war ja ein Witz :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:31 Mi 14.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich danke dir vielmals Tobias, habe jetzt den "Beweis" bis
> zum Ende geführt und bin zu einem positiven Ergebnis
> gekommen. Der Rest dagegen war ja ein Witz :)
Hast du nach Bearbeitung von Fall 2. mit den Unterfällen a) und b) auch an den Fall 1. gedacht (siehe diese frühere Antwort (klick))?
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