Gruppe der Ordnung 63 konstru. < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:54 Mi 26.04.2006 | | Autor: | Sabay |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe der Ordnung 63.
(i) Man zeige, dass G einen nichttrivialen Normalteiler hat.
(ii) Man konstruiere zwei nicht isomorphe nicht-abelsche Gruppen der Ordnung 63 (als semidirektes Produkt).
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Ist meine Lösung korrekt oder sind logische Sprünge in meinem Lösungsweg/-ansatz zu finden? Wenn ja, was fehlt noch?
zu (i) 63 = 7 [mm]*[/mm] [mm]3^2 [/mm], also existieren nach dem 3.Sylow-Satz 7-Sylow-Untergruppen und 3-Sylow-Untergruppen.
Die Anzahl der 7-Sylow-Untergruppen sei [mm]s_7[/mm] , die der 3-Sylow-Untergruppen sei [mm]s_3[/mm]. Nach dem 1. Sylow-Satz gilt: [mm]s_7[/mm] mod 7 = 1 und [mm]s_7[/mm]|9. Es kommt für [mm]s_7[/mm] nur 1 in Frage, also hat G eine Untergruppe der Ordnung 7 als Normalteiler, die zyklisch ist, da sie Primzahlordnung hat.
zu (ii) [mm]s_3[/mm]|7, [mm]s_3[/mm] mod 3 = 1. Es kommen die Anzahlen [mm]s_3[/mm] = 1 oder 7 in Frage. Deren Ordnung ist 9.
Falls [mm]s_3[/mm] = 1: die einzige 3-Sylow-Untergruppe wäre Normalteiler, d.h. es läge ein direktes Produkt vor (abelsch), kein semidirektes.
Also folglich nur bei [mm]s_3[/mm] = 7 nichtabelsches, d.h. echtes semidirektes Produkt möglich:
Normalteiler ist [mm]\IZ[/mm] /<7>. Die gesuchte Untergruppe im semidirekten Produkt hat Ordnung 9, hat also zwei mögliche Ausprägungen: [mm]\IZ[/mm]/<9> oder [mm]\IZ[/mm]/<3> [mm]\times[/mm] [mm]\IZ[/mm]/<3>.
Danke für Eure Hilfe,
viele Grüße,
Sabay
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Sabay |
Hallo!
Bitte meldet Euch bei mir, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe. Es ist sehr wichtig für mich.
Vielen Dank für Eure Hilfe,
liebe Grüße
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:26 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Sabay |
Hallo!
Ich meld mich noch mal, weil ich glaube, dass Ihr mich übersehen habt. Falls Ihr mir bei der Aufgabe helfen könnt, schreibt mir bitte Eure Hinweise so bald wie möglich. Ich brauche sie sehr dringend.
Vielen Dank dafür,
liebe Grüße, Sabay
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Di 02.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sabay!
Nein, ich habe deine Frage nicht uebersehen, ich habe sie bisher nur ignoriert da ich nicht viel zu (ii) sagen kann (mit dem semidirekten Produkt kenne ich mich nicht aus) und bei (i) bist du ja schon fertig (deine Argumentation sieht gut aus).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Sabay |
Hallo Felix!
Also die a) stimmt? Klasse!  Die semidirekten Produkte sind manchmal ziemlich übel- ich hoff mal einfach , dass die b) passt (ne andere Lösung hab i auch nicht).
Danke,
liebe Grüße,
Sabay
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 04.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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