Gruppe einfach. < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Sa 08.12.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Die Gruppe [mm] A_n [/mm] ist genau dann einfach wenn n [mm] \not= [/mm] 4.
Edit:
[mm] A_n [/mm] := [mm] \{ \sigma \in S_n | \sigma gerade \} [/mm] |
Wir haben den Beweis gemacht, aber die einfachen Fälle verstehe ich nicht ganz.
n=3
Da ist [mm] A_3 [/mm] = [mm] \{ id, (123), (123)^2 \}
[/mm]
ist also zyklich wie man sieht.
Warum ist [mm] A_3 [/mm] einfach?
n=4
Unser Prof gab uns als Bsp N:= [mm] \{ id, (12) (34) ,(13) (24), (14) (23)\} [/mm]
Ich verstehe nicht wie zuzeigen ist dass N ein Normalteiler ist also ein gegenbeispiel für die aussage ist...Das er nicht die identität ist und nicht die [mm] A_4 [/mm] ist sieht man sofort, interessant ist für mich ob das ein Normalteiler ist..
LG
|
|
| |
|
Hi,
> Die Gruppe [mm]A_n[/mm] ist genau dann einfach wenn n [mm]\not=[/mm] 4.
>
>
> Edit:
> [mm]A_n[/mm] := [mm]\{ \sigma \in S_n | \sigma gerade \}[/mm]
> Wir haben den
> Beweis gemacht, aber die einfachen Fälle verstehe ich
> nicht ganz.
>
> n=3
> Da ist [mm]A_3[/mm] = [mm]\{ id, (123), (123)^2 \}[/mm]
> ist also zyklich
> wie man sieht.
> Warum ist [mm]A_3[/mm] einfach?
Eine Gruppe heißt einfach :<=> die Gruppe G hat nur triviale Normalteiler.
Da jeder Normalteiler insbesondere eine Untergruppe ist, stellt sich die Frage, welche Untergruppen [mm] $A_3$ [/mm] hat. Gehe diese durch. (Langrange! Gruppenordnung!)
Allgemein gilt: "Ist G eine endliche Gruppe mit [mm] $p\mid [/mm] |G|$, so ist G einfach."
> n=4
> Unser Prof gab uns als Bsp N:= [mm]\{ id, (12) (34) ,(13) (24), (14) (23)\}[/mm]
> Ich verstehe nicht wie zuzeigen ist dass N ein Normalteiler
> ist also ein gegenbeispiel für die aussage ist...Das er
> nicht die identität ist und nicht die [mm]A_4[/mm] ist sieht man
> sofort, interessant ist für mich ob das ein Normalteiler
> ist..
Naja das kann man (explitzit) nachrechnen. Andererseits sind Permutationen gleichen Typs zu einandern konjugiert, dass aber wiederum heißt doch [mm] ${}^gN\subseteq [/mm] N$.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Sa 08.12.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo, danke..
Das mit der [mm] A_4 [/mm] ist mir noch immer nicht klar.
> Naja das kann man (explitzit) nachrechnen.
Wie zeigst du das für jedes Element?
a N [mm] a^{-1} \subseteq [/mm] N [mm] \forall [/mm] a [mm] \in A_4
[/mm]
Das ist doch irsinnig viel aufwand das zu zeigen für jedes element? Das kanns ja irgendwie nicht sein..
LG
|
|
|
| |
|
> Hallo, danke..
> Das mit der [mm]A_4[/mm] ist mir noch immer nicht klar.
> > Naja das kann man (explitzit) nachrechnen.
> Wie zeigst du das für jedes Element?
> a N [mm]a^{-1} \subseteq[/mm] N [mm]\forall[/mm] a [mm]\in A_4[/mm]
> Das ist doch
> irsinnig viel aufwand das zu zeigen für jedes element? Das
> kanns ja irgendwie nicht sein..
> LG
Ich schrieb auch:
> Andererseits sind Permutationen gleichen Typs zu einandern konjugiert
Für alle Typen von Permutationen gilt: Permutationen gleichen Typs sind zu einander konjugiert. Sprich für eine Permutation des Typs "3,3", also
[mm](a,b,c)(d,e,f)[/mm]
ist auch das Ergebnis
[mm]g(a,b,c)(d,e,f)g^{-1}=(a',b',c')(d',e',f')[/mm]
vom Typ "3,3".
Und N sammelt nun alle Permutationen des Typs "2,2" also [mm](ab)(cd)[/mm]. Konjugiert man da lustig herum wird man am Ende immer eine Permutation des Typs "2,2" [mm](a',b')(c',d')[/mm] erhalten und liegt in N.
Lemma: für [mm]\tau\in S_n[/mm] und einer beliebigen Permutation [mm]\sigma=(s_1,s_2,\ldots s_k)(s_{k+1},\ldots, s_\ell) \ldots (s_p,\ldots,s_z)[/mm] gilt
[mm]\tau\sigma\tau^{-1}=(\tau(s_1),\tau(s_2),\ldots \tau(s_k))(\tau(s_{k+1}),\ldots, \tau(s_\ell)) \ldots (\tau(s_p),\ldots,\tau(s_z))[/mm]
|
|
|
|
