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| Aufgabe | Sei G eine Gruppe. Zu a,b [mm] \in [/mm] G definiere [mm] [a,b]:=aba^{-1}b^{-1}.
[/mm]
Zeigen Sie:
[mm] [G,G]:=\{\produkt_{i=1}^{n}[a_i , b_i] | n \in \IN, a_i , b_i \in G\} [/mm] ist ein Normalteiler von G und zwar der kleinste unter allen Normalteilern N [mm] \subset [/mm] G, sodass G/N abelsch ist, d.h. jeder Normalteiler H mit der Eigenschaft G/H ist abelsch, umfasst [G,G]. |
HallihallO!
Irgendwie komme ich auch langsam zu dem Schluss, dass Algebra nicht so toll ist (guckt euch nur die Aufgabe an...). Aber das tut hier nichts zur Sache.
Mit der Aufgabenstellung kann ich schon nichts anfangen. Ok, man soll zeigen, dass [G,G] Normalteiler von G ist, aber das finde ich schon ganz schön schwer, weil ich mir [G,G] kaum vorstellen kann... Mit welcher Möglichkeit zeigt man am besten, dass [G,G] NT ist? Mit Lagrange oder anders?
Desweiteren, was bedeutet es, der kleinste unter allen NTs zu sein? Den Rest der Aufgabe verstehe ich auch nicht!
Hilfe ist glaub ich dringend nötig ;)
Lg und Danke schonmal
Kiki
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Hallo Kiki,
> Sei G eine Gruppe. Zu a,b [mm]\in[/mm] G definiere
> [mm][a,b]:=aba^{-1}b^{-1}.[/mm]
> Zeigen Sie:
> [mm][G,G]:=\{\produkt_{i=1}^{n}[a_i , b_i] | n \in \IN, a_i , b_i \in G\}[/mm]
> ist ein Normalteiler von G und zwar der kleinste unter
> allen Normalteilern N [mm]\subset[/mm] G, sodass G/N abelsch ist,
> d.h. jeder Normalteiler H mit der Eigenschaft G/H ist
> abelsch, umfasst [G,G].
> HallihallO!
>
> Irgendwie komme ich auch langsam zu dem Schluss, dass
> Algebra nicht so toll ist (guckt euch nur die Aufgabe
> an...). Aber das tut hier nichts zur Sache.
Feine Aufgabe  . Vielleicht erklärste mir mal, was an Analysis, Statistik usw. so toll ist .
Aber nun zur Aufgabe:
> Mit der Aufgabenstellung kann ich schon nichts anfangen.
> Ok, man soll zeigen, dass [G,G] Normalteiler von G ist,
> aber das finde ich schon ganz schön schwer, weil ich mir
> [G,G] kaum vorstellen kann... Mit welcher Möglichkeit zeigt
> man am besten, dass [G,G] NT ist? Mit Lagrange oder
> anders?
Lagrange hilft Dir hier gar nix. In Worten heißt das: $[G,G]$ besteht aus allen endlichen Produkten von Kommutatoren aus $G$ (das sind gerade die mit $[a,b]$ bezeichneten Elemente aus $G$).
Insbesondere liegt also mit $[a,b]$ auch $[b,a]$ in $[G,G]$.
Rechne doch mal $[b,a]$ aus und vergleich's mit $[a,b]$.
>
> Desweiteren, was bedeutet es, der kleinste unter allen NTs
> zu sein? Den Rest der Aufgabe verstehe ich auch nicht!
Das soll heißen: Ist $H$ Normalteiler in $G$ mit Abelscher Faktorgruppe, dann umfaßt $H$ $[G,G]$; damit ist (bzgl. Inklusion) $[G,G]$ der kleinste Normalteiler in $G$ mit Abelscher Faktorgruppe.
Hoffe das hilft Dir ein bißchen weiter .
Gruß
zahlenspieler
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Kiki3000 |
Danke für die Antwort, ich habe aber noch ein paar Rückfragen:
> Lagrange hilft Dir hier gar nix. In Worten heißt das:
> [mm][G,G][/mm] besteht aus allen endlichen Produkten von
> Kommutatoren aus [mm]G[/mm] (das sind gerade die mit [mm][a,b][/mm]
> bezeichneten Elemente aus [mm]G[/mm]).
> Insbesondere liegt also mit [mm][a,b][/mm] auch [mm][b,a][/mm] in [mm][G,G][/mm].
> Rechne doch mal [mm][b,a][/mm] aus und vergleich's mit [mm][a,b][/mm].
Also ich hab mal rumgerechnet und festgestellt, dass [a,b]*[b,a]=1, also ist [b,a] genau das Inverse zu [a,b].
Wenn man jetzt zeigen soll, dass [G,G] ein NT ist, muss man doch eigentlich zeigen, dass [mm] \forall g\in [/mm] G gilt: [mm] gNg^{-1} \in [/mm] N (mit N=[G,G]). Man wählt sich also ein Element aus N. Wenn du sagst, dass mit [a,b] auch [b,a] im Kommutator liegt, kann ich dann als Element aus N einfach [a,b]*[b,a] wählen? Das wäre dann ja 1 und es würde gelten: [mm] g*1*g^{-1} [/mm] = [mm] gg^{-1} [/mm] = [mm] 1*g*1^{-1}*g^{-1} [/mm] = [1,g] [mm] \in [/mm] N. Damit wäre doch gezeigt, dass N ein Normalteiler ist, oder?
> Das soll heißen: Ist [mm]H[/mm] Normalteiler in [mm]G[/mm] mit Abelscher
> Faktorgruppe, dann umfaßt [mm]H[/mm] [mm][G,G][/mm]; damit ist (bzgl.
> Inklusion) [mm][G,G][/mm] der kleinste Normalteiler in [mm]G[/mm] mit
> Abelscher Faktorgruppe.
Nimmt man also an, H sei ein NT von G und es gilt G/H ist abelsch. Nun soll man also zeigen, dass [mm] [G,G]\subset [/mm] H ist, oder? Nur, damit ich die Aufgabe richtig verstehe...
Da hab ich leider gar keine Idee! Könnte mir da nochmal jemand helfen?
Lg Kiki
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Hallo Kiki,
> Danke für die Antwort, ich habe aber noch ein paar
> Rückfragen:
>
> > Lagrange hilft Dir hier gar nix. In Worten heißt das:
> > [mm][G,G][/mm] besteht aus allen endlichen Produkten von
> > Kommutatoren aus [mm]G[/mm] (das sind gerade die mit [mm][a,b][/mm]
> > bezeichneten Elemente aus [mm]G[/mm]).
> > Insbesondere liegt also mit [mm][a,b][/mm] auch [mm][b,a][/mm] in [mm][G,G][/mm].
> > Rechne doch mal [mm][b,a][/mm] aus und vergleich's mit [mm][a,b][/mm].
>
> Also ich hab mal rumgerechnet und festgestellt, dass
> [a,b]*[b,a]=1, also ist [b,a] genau das Inverse zu [a,b].
>
> Wenn man jetzt zeigen soll, dass [G,G] ein NT ist, muss man
> doch eigentlich zeigen, dass [mm]\forall g\in[/mm] G gilt: [mm]gNg^{-1} \in[/mm]
> N (mit N=[G,G]). Man wählt sich also ein Element aus N.
> Wenn du sagst, dass mit [a,b] auch [b,a] im Kommutator
> liegt, kann ich dann als Element aus N einfach [a,b]*[b,a]
> wählen? Das wäre dann ja 1 und es würde gelten: [mm]g*1*g^{-1}[/mm]
> = [mm]gg^{-1}[/mm] = [mm]1*g*1^{-1}*g^{-1}[/mm] = [1,g] [mm]\in[/mm] N. Damit wäre
> doch gezeigt, dass N ein Normalteiler ist, oder?
Nein, der "Kommutator" ist nur ein einzelnes Element. Ist $g$ beliebig in $G$, dann gilt für irgendein Element [mm] $[a,b]\in [/mm] N$: [mm] $[gag^{-1}, gbg^{-1}]=g[a,b]g^{-1}$ [/mm] (hübsch, oder ?).
>
>
> > Das soll heißen: Ist [mm]H[/mm] Normalteiler in [mm]G[/mm] mit Abelscher
> > Faktorgruppe, dann umfaßt [mm]H[/mm] [mm][G,G][/mm]; damit ist (bzgl.
> > Inklusion) [mm][G,G][/mm] der kleinste Normalteiler in [mm]G[/mm] mit
> > Abelscher Faktorgruppe.
>
> Nimmt man also an, H sei ein NT von G und es gilt G/H ist
> abelsch. Nun soll man also zeigen, dass [mm][G,G]\subset[/mm] H ist,
> oder? Nur, damit ich die Aufgabe richtig verstehe...
Genau! Dann fang doch mal so an: Sei $H$ Normalteiler in $G$ mit Abelscher Faktorgruppe, es gilt also für bel. $a,b [mm] \in [/mm] G$
[mm]a^{-1}H\circ b^{-1}H=a^{-1}b^{-1}H=b^{-1}a^{-1}H=b^{-1}H \circ a^{-1}H \gdw [a,b]H=H \gdw [a,b] \in H\ldots[/mm].
Mfg
zahlenspieler
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 So 26.11.2006 | | Autor: | Kiki3000 |
Vielen Dank für deine Mühe mit mir, aber ich hab schon wieder Fragen :)
> Nein, der "Kommutator" ist nur ein einzelnes Element. Ist
> [mm]g[/mm] beliebig in [mm]G[/mm], dann gilt für irgendein Element [mm][a,b]\in N[/mm]:
> [mm][gag^{-1}, gbg^{-1}]=g[a,b]g^{-1}[/mm] (hübsch, oder ?).
Also, dazu hätte ich eine Frage, das hab ich jetzt bei Wikipedia auch so gefunden, und das ist sicher so definiert, aber ich glaube, ich soll das zeigen (weil wir hatten das nicht in der Vorlesung...).
Ich hab's mal versucht:
z.z. [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G, [mm] \forall [/mm] [a,b] [mm] \in [/mm] [G,G]: [mm] g[a,b]g^{-1} [/mm] = [mm] [gag^{-1}, gbg^{-1}] \in [/mm] [G,G].
Dazu gilt: [mm] g[a,b]g^{-1} [/mm] = [mm] gaba^{-1} b^{-1} g^{-1} [/mm] und
[mm] [gag^{-1}, gbg^{-1}] [/mm] = [mm] gag^{-1} gbg^{-1} (gag^{-1})^{-1} (gbg^{-1})^{-1} [/mm] = [mm] gabg^{-1} g^{-1^{-1}} a^{-1} g^{-1^{-1}} gbg^{-1} [/mm] = [mm] g(aba^{-1} b^{-1}) g^{-1} [/mm] = [mm] g[a,b]g^{-1} [/mm]
==> [G,G] ist NT von G.
> Genau! Dann fang doch mal so an: Sei [mm]H[/mm] Normalteiler in [mm]G[/mm]
> mit Abelscher Faktorgruppe, es gilt also für bel. [mm]a,b \in G[/mm]
>
> [mm]a^{-1}H\circ b^{-1}H=a^{-1}b^{-1}H=b^{-1}a^{-1}H=b^{-1}H \circ a^{-1}H \gdw [a,b]H=H \gdw [a,b] \in H\ldots[/mm].
>
Also ich habe das jetzt auch mal versucht. Dazu hab ich zunächst 2 Fragen: Warum nimmst du die Inverse oder geht das auch mit a und b? Und [mm] \circ [/mm] kann ich doch durch * ersetzen, weil wir glaub ich eine multiplikative Gruppe betrachten, oder?
Dann hab ich also [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] G und [mm] \forall [/mm] a*H, b*H [mm] \in [/mm] G/H:
aH*bH = ab*H =ba *H = bH * aH [mm] \gdw [/mm] [a,b]H = H [mm] \gdw [/mm] [a,b] [mm] \in [/mm] H
Wie kann man dieses erste [mm] \gdw [/mm] begründen? Oder geht das halt genau nur mit Inversen? Das 2. [mm] \gdw [/mm] ist mir klar, weil so ist das definiert, aber das 1. weiß ich nicht.
Wäre lieb, wenn du mir noch ne kurze Nachricht schicken könntest, ich glaub ich hab die Aufgabe bald "durchdrungen" ;)
Vielen Dank,
Kiki
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Hallo Kiki,
> Vielen Dank für deine Mühe mit mir, aber ich hab schon
> wieder Fragen :)
>
> > Nein, der "Kommutator" ist nur ein einzelnes Element. Ist
> > [mm]g[/mm] beliebig in [mm]G[/mm], dann gilt für irgendein Element [mm][a,b]\in N[/mm]:
> > [mm][gag^{-1}, gbg^{-1}]=g[a,b]g^{-1}[/mm] (hübsch, oder ?).
>
> Also, dazu hätte ich eine Frage, das hab ich jetzt bei
> Wikipedia auch so gefunden, und das ist sicher so
> definiert, aber ich glaube, ich soll das zeigen (weil wir
> hatten das nicht in der Vorlesung...).
Auf Wikipedia ist der Kommutator durch [mm][mm] a^{-1}b^{-1}ab[/mm [/mm] definiert (ist wohl der Standard), aber das nur so am Rande.
> Ich hab's mal versucht:
> z.z. [mm]\forall[/mm] g [mm]\in[/mm] G, [mm]\forall[/mm] [a,b] [mm]\in[/mm] [G,G]:
> [mm]g[a,b]g^{-1}[/mm] = [mm][gag^{-1}, gbg^{-1}] \in[/mm] [G,G].
>
> Dazu gilt: [mm]g[a,b]g^{-1}[/mm] = [mm]gaba^{-1} b^{-1} g^{-1}[/mm] und
> [mm][gag^{-1}, gbg^{-1}][/mm] = [mm]gag^{-1} gbg^{-1} (gag^{-1})^{-1} (gbg^{-1})^{-1}[/mm]
> = [mm]gabg^{-1} g^{-1^{-1}} a^{-1} g^{-1^{-1}} gbg^{-1}[/mm] =
> [mm]g(aba^{-1} b^{-1}) g^{-1}[/mm] = [mm]g[a,b]g^{-1}[/mm]
> ==> [G,G] ist NT von G.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
>
> > Genau! Dann fang doch mal so an: Sei [mm]H[/mm] Normalteiler in [mm]G[/mm]
> > mit Abelscher Faktorgruppe, es gilt also für bel. [mm]a,b \in G[/mm]
>
> >
> > [mm]a^{-1}H\circ b^{-1}H=a^{-1}b^{-1}H=b^{-1}a^{-1}H=b^{-1}H \circ a^{-1}H \gdw [a,b]H=H \gdw [a,b] \in H\ldots[/mm].
>
> >
>
> Also ich habe das jetzt auch mal versucht. Dazu hab ich
> zunächst 2 Fragen: Warum nimmst du die Inverse oder geht
> das auch mit a und b? Und [mm]\circ[/mm] kann ich doch durch *
> ersetzen, weil wir glaub ich eine multiplikative Gruppe
> betrachten, oder?
Na klar geht das auch mit $a,b$ selbst, aber dann sieht's "nicht so schön" aus; und spielt ja keine Rolle, weil wenn die Elemente selbst vertauschbar sind, dann doch auch ihre Inversen . Wußte nicht, was ich statt [mm] $\circ$ [/mm] am besten nehme, wollte bloß die Multiplikation auf der Faktorgruppe von der in $G$ "trennen".
> Dann hab ich also [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] G und [mm]\forall[/mm] a*H, b*H
> [mm]\in[/mm] G/H:
> aH*bH = ab*H =ba *H = bH * aH [mm]\gdw[/mm] [a,b]H = H [mm]\gdw[/mm] [a,b]
> [mm]\in[/mm] H
> Wie kann man dieses erste [mm]\gdw[/mm] begründen? Oder geht das
> halt genau nur mit Inversen? Das 2. [mm]\gdw[/mm] ist mir klar, weil
> so ist das definiert, aber das 1. weiß ich nicht.
Es steht ja da [mm]abH=baH[/mm]. Durch Multiplikation von links mit [mm]a^{-1}b^{-1}[/mm] erhältst Du [mm][mm] a^{-1}b^{-1}abH=H[/mm, [/mm] also steht dann links der Kommutator [mm]
[a^{-1},b^{-1}][/mm].
Aber da $H$ ja kommutativ ist, kann man mit einem bel. Kommutator [mm][a^{-1},b^{-1}][/mm] argumentieren...
Mfg
zahlenspieler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 So 26.11.2006 | | Autor: | Kiki3000 |
Hallo Zahlenspieler!
Vielen Dank für deine Geduld und deine ausführlichen Erklärungen. Jetzt hab ich's verstanden!! - wenigstens ein Lichtblick :)
Vlg Kiki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 28.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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