Gruppe mit Äquivalenzrelation < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:50 Do 16.10.2008 | | Autor: | pelzig |
| Aufgabe | | Sei [mm] $(G,\cdot)$ [/mm] eine Gruppe und [mm] $\sim$ [/mm] eine Äquivalenzrelation auf $G$, die rechts-kompatibel ist, d.h. [mm] $\forall x,y,z\in [/mm] G: [mm] x\sim y\Rightarrow xz\sim [/mm] yz$. Zeigen Sie, dass [mm] $\sim$ [/mm] auch links-kompatibel ist, d.h. dass gilt [mm] $\forall x,y,z\in G:x\sim y\Rightarrow zx\sim [/mm] zy$. |
Hallo,
Sitze jetzt schon seit geraumer Zeit an diesem Problem (es ist eigentlich nur ein Teil einer komplexeren Aufgabe), das zwar leicht aussieht, aber sich irgendwie doch ziemlich widerspenstig verhält. Die für mich offensichtlichen Dinge habe ich jedenfalls bisher erfolglos probiert. Eh ich jetzt noch mehr Zeit damit verschwende und vielleicht eine sehr einfache Lösung übersehe, stell ich es mal hier rein. Falls also jemand ne hübsche Idee hat (hässliche sind auch willkommen), würde ich mich freuen davon zu erfahren - aber bitte keine vollständigen Lösungen.
Alternativ kann man auch zeigen, dass [mm] $H:=\{g\in G|g\sim e\}$ [/mm] ein Normalteiler in $G$ ist, $e$ ist das neutrale Element, aber ich glaube das ist an sich irgendwie das gleiche Problem.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:25 Do 16.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Robert
> Sei [mm](G,\cdot)[/mm] eine Gruppe und [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation
> auf [mm]G[/mm], die rechts-kompatibel ist, d.h. [mm]\forall x,y,z\in G: x\sim y\Rightarrow xz\sim yz[/mm].
> Zeigen Sie, dass [mm]\sim[/mm] auch links-kompatibel ist, d.h. dass
> gilt [mm]\forall x,y,z\in G:x\sim y\Rightarrow zx\sim zy[/mm].
>
> Sitze jetzt schon seit geraumer Zeit an diesem Problem (es
> ist eigentlich nur ein Teil einer komplexeren Aufgabe), das
> zwar leicht aussieht, aber sich irgendwie doch ziemlich
> widerspenstig verhält. Die für mich offensichtlichen Dinge
> habe ich jedenfalls bisher erfolglos probiert. Eh ich jetzt
> noch mehr Zeit damit verschwende und vielleicht eine sehr
> einfache Lösung übersehe, stell ich es mal hier rein. Falls
> also jemand ne hübsche Idee hat (hässliche sind auch
> willkommen), würde ich mich freuen davon zu erfahren - aber
> bitte keine vollständigen Lösungen.
>
> Alternativ kann man auch zeigen, dass [mm]H:=\{g\in G|g\sim e\}[/mm]
> ein Normalteiler in [mm]G[/mm] ist, [mm]e[/mm] ist das neutrale Element, aber
> ich glaube das ist an sich irgendwie das gleiche Problem.
Sorry, hab beim Aufschreiben bemerkt dass meine Loesung doch nicht funktioniert :(
Wenn du schaffst zu zeigen, dass aus $a [mm] \sim [/mm] b$ bereits [mm] $a^{-1} \sim b^{-1}$ [/mm] folgt, hast es zumindest fast geschafft. Mein Beweis dafuer hat leider doch nicht funktioniert...
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Do 16.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Robert!
> Sei [mm](G,\cdot)[/mm] eine Gruppe und [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation
> auf [mm]G[/mm], die rechts-kompatibel ist, d.h. [mm]\forall x,y,z\in G: x\sim y\Rightarrow xz\sim yz[/mm].
> Zeigen Sie, dass [mm]\sim[/mm] auch links-kompatibel ist, d.h. dass
> gilt [mm]\forall x,y,z\in G:x\sim y\Rightarrow zx\sim zy[/mm].
>
> Hallo,
>
> Sitze jetzt schon seit geraumer Zeit an diesem Problem (es
> ist eigentlich nur ein Teil einer komplexeren Aufgabe), das
> zwar leicht aussieht, aber sich irgendwie doch ziemlich
> widerspenstig verhält. Die für mich offensichtlichen Dinge
> habe ich jedenfalls bisher erfolglos probiert. Eh ich jetzt
> noch mehr Zeit damit verschwende und vielleicht eine sehr
> einfache Lösung übersehe, stell ich es mal hier rein. Falls
> also jemand ne hübsche Idee hat (hässliche sind auch
> willkommen), würde ich mich freuen davon zu erfahren - aber
> bitte keine vollständigen Lösungen.
Wie Felix auch vorschlug, würde ich über [mm] $a\sim b\gdw a^{-1} \sim b^{-1} [/mm] $ gehen.
Wie wäre es hiermit:
[mm] a\sim b \implies ab^{-1} \sim e [/mm] und [mm] ba^{-1} \sim e [/mm]
also per Transitivität: $ [mm] ab^{-1} \sim ba^{-1}$. [/mm] Durch Multiplikation mit a oder b ergibt sich
[mm] ab^{-1}a\sim b [/mm] und [mm] a\sim ba^{-1} b \implies ab^{-1}a\sim ba^{-1} b[/mm]
Dann machst du noch ein bischen weiter.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Do 16.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> Wie Felix auch vorschlug, würde ich über [mm]a\sim b\gdw a^{-1} \sim b^{-1}[/mm]
> gehen.
>
> Wie wäre es hiermit:
>
> [mm]a\sim b \implies ab^{-1} \sim e[/mm] und [mm]ba^{-1} \sim e[/mm]
>
> also per Transitivität: [mm]ab^{-1} \sim ba^{-1}[/mm]. Durch
> Multiplikation mit a oder b ergibt sich
>
> [mm]ab^{-1}a\sim b[/mm] und [mm]a\sim ba^{-1} b \implies ab^{-1}a\sim ba^{-1} b[/mm]
Aus der ersten Gleichung ergibt sich ja sogar schon, dass $U$ ein Normalteiler ist, also eine Bedingung aus der Robert schon die Aufgabenstellung gefolgert hat :)
Schoen dass es doch so einfach geht... War wohl etwas zu spaet gestern Nacht :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Do 16.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Danke euch beiden. Ich muss glaube ich zwar nochmal darüber schlafen aber ich denke jetzt krieg ich es hin 
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Tibet |
Wieso folgerst du aus der "ersten Gleichung", dass sie ein Normalteiler ist? Welche Gleichung meinst du damit?
Generell:
Wie zeigt man, dass die Äquivalenzklasse von e ein Normalteiler ist?
Ich habe gezeigt, dass [e] eine Untergruppe ist. Die Untergruppeneigenschaften sind leicht zu zeigen.
Zusätzlich soll man aber auch zeigen, dass für beliebige h aus H und beliebige g aus G auch [mm] g^{-1}hg [/mm] zu H gehört. Wie macht man das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Sa 18.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Wieso folgerst du aus der "ersten Gleichung", dass sie ein
> Normalteiler ist? Welche Gleichung meinst du damit?
Eigentlich die $a [mm] b^{-1} [/mm] a [mm] \sim [/mm] b$, aber ich seh gerade das ich mich da verlesen hab; ich dachte wohl da steht $a b [mm] a^{-1} \sim [/mm] b$.
> Generell:
> Wie zeigt man, dass die Äquivalenzklasse von e ein
> Normalteiler ist?
>
> Ich habe gezeigt, dass [e] eine Untergruppe ist. Die
> Untergruppeneigenschaften sind leicht zu zeigen.
>
> Zusätzlich soll man aber auch zeigen, dass für beliebige h
> aus H und beliebige g aus G auch [mm]g^{-1}hg[/mm] zu H gehört. Wie
> macht man das?
Nimm die Aussage $h [mm] \sim [/mm] e$. Jetzt multiplizierst du von Links mit [mm] $g^{-1}$ [/mm] (dass man das kann haben wir ja gezeigt) und von Rechts mit $g$. Dann erhaelst du [mm] $g^{-1} [/mm] h g [mm] \sim g^{-1} [/mm] e g = e$, also [mm] $g^{-1} [/mm] h g [mm] \in [/mm] [e]$.
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:27 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Tibet |
Ja genau. Aber das dürfen wir nur dann machen, wenn wir rechts und links kompatibilität beide haben.
Wir haben aber nur links (oder rechts) und wollen das andere daraus folgern.
Mit den beiden in der Hand kann man natürlich das machen, was du sagst, um Normalteilereigenschaft zu zeigen.
Wie geht es aber nur mit links-komp?
Nochmal; Die ursprüngliche Frage lautet so:
Es gibt eine Gruppe (G,*) und eine Äq.rel. ~ auf G
Zeige die Äquivalenz der Aussagen:
(1) ~ ist links kompatibel
(2) ~ ist rechts kompatibel
(3) es gibt ein Normalteiler H von G, sodass [mm] x*y^{-1} \in [/mm] H die Äq.r. "~" definiert.
was du machst ist jetzt [mm] (1)\wedge(2)\Rightarrow(3)
[/mm]
Das macht aber keinen Sinn.
Was wir machen sollen, ist folgendes glaube ich: [mm] (1)\gdw(3) [/mm] und dann symmetrisch [mm] (2)\gdw(3)
[/mm]
Wie macht man das?
Danke für die Antworten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Sa 18.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Nochmal; Die ursprüngliche Frage lautet so:
> Es gibt eine Gruppe (G,*) und eine Äq.rel. ~ auf G
> Zeige die Äquivalenz der Aussagen:
> (1) ~ ist links kompatibel
> (2) ~ ist rechts kompatibel
> (3) es gibt ein Normalteiler H von G, sodass [mm]x*y^{-1} \in[/mm]
> H die Äq.r. "~" definiert.
>
> was du machst ist jetzt [mm](1)\wedge(2)\Rightarrow(3)[/mm]
>
> Das macht aber keinen Sinn.
Wieso?
> Was wir machen sollen, ist folgendes glaube ich:
> [mm](1)\gdw(3)[/mm] und dann symmetrisch [mm](2)\gdw(3)[/mm]
Es ist doch völlig egal mit welchen Implikationen ich die Äquivalenz der drei Aussagen zeigst. Ich vermute irgendwie dass [mm] $1\Rightarrow [/mm] 2$ wesentlich leichter ist als [mm] $1\Rightarrow [/mm] 3$, also ist es doch total ok einfach [mm] $1\Rightarrow [/mm] 2$, [mm] $2\Rightarrow [/mm] 1$ und [mm] $1\wedge 2\gdw [/mm] 3$ zu zeigen.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 So 19.10.2008 | | Autor: | Tibet |
Ja, gut.
Aber wie zeigst du [mm] (1)\Rightarrow(2) [/mm] und [mm] (2)\Rightarrow(1)?
[/mm]
Ich denke, dass die Aufgabe falsch gestellt ist.
Also die Aussage "links-kompatibel => rechts-kompatibel" ist falsch.
Unten steht ein Gegenbeispiel.
Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe, die kein Normalteiler ist.
Wir definieren eine Relation ~ auf G:
[mm] x\sim y\gdw x^{-1}y\in H [/mm]
Das ist eine Äquivalenzrelation. (leicht zu zeigen)
Jetzt ist unsere Operation links-kompatibel aber nicht rechts-kompatibel.
Andernfalls wäre H wegen [mm] "(1)\wedge (2)\Rightarrow(3)" [/mm] ein Normalteiler.
Erkal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 So 19.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Erkal
> Ja, gut.
> Aber wie zeigst du [mm](1)\Rightarrow(2)[/mm] und
> [mm](2)\Rightarrow(1)?[/mm]
Ich bin einfach mal davon ausgegangen dass die urspruengliche Aufgabenstellung stimmt und das bereits jemand mit dem Ansatz von Rainer verifiziert hat. Aber das scheint wohl nicht zu stimmen:
> Ich denke, dass die Aufgabe falsch gestellt ist.
> Also die Aussage "links-kompatibel => rechts-kompatibel"
> ist falsch.
> Unten steht ein Gegenbeispiel.
>
> Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe, die kein
> Normalteiler ist.
> Wir definieren eine Relation ~ auf G:
> [mm]x\sim y\gdw x^{-1}y\in H[/mm]
> Das ist eine Äquivalenzrelation.
> (leicht zu zeigen)
> Jetzt ist unsere Operation links-kompatibel aber nicht
> rechts-kompatibel.
> Andernfalls wäre H wegen [mm]"(1)\wedge (2)\Rightarrow(3)"[/mm] ein
> Normalteiler.
Daraus bastelt man sich auch sofort ein Gegenbeispiel fuer die eigentliche Aufgabenstellung: setze $x [mm] \approx [/mm] y [mm] :\Longleftrightarrow x^{-1} \sim y^{-1} \Longleftrightarrow [/mm] x [mm] y^{-1} \in [/mm] H$. Dann ist [mm] $\approx$ [/mm] rechts-kompatibel, aber nicht links-kompatibel.
Vielleicht kann sich Robert mal dazu aeussern woher er die Frage hat?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 So 19.10.2008 | | Autor: | Tibet |
Robert ist nicht schuldig. Das ist eine Aufgabe aus unserem Algebra I Übungsblatt. Und die Aufgabe ist genauso, wie Robert hierhin geschrieben hat.
Erkal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 So 19.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Erkal
> Robert ist nicht schuldig. Das ist eine Aufgabe aus unserem
> Algebra I Übungsblatt. Und die Aufgabe ist genauso, wie
> Robert hierhin geschrieben hat.
Dann bin ich mal darauf gespannt was der Aufgabensteller zu seiner Verteidigung hervorzubringen hat 
LG Felix
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