Gruppe mit symmetrischer Diffe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 So 22.11.2009 | | Autor: | Irina09 |
| Aufgabe | | Zu zeigen ist, dass die Potenzmenge einer unendlichen Menge X mit der symmetrischen Differenz [mm] \Delta [/mm] eine kommutative Gruppe ist. Welche Untergruppe wird von der Menge der einelementigen Teilmengen von X erzeugt? |
Ein herzliches Hallo an alle!
Ich komme bei der Aufgabe leider nicht recht weiter...
Kann mir jemand weiterhelfen (z.B. beim inversen/neutralen Element)?
Bei der Untergruppe habe ich leider auch keinen Plan.
Liebe Grüße
Irina
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Irina,
> Zu zeigen ist, dass die Potenzmenge einer unendlichen Menge
> X mit der symmetrischen Differenz [mm]\Delta[/mm] eine kommutative
> Gruppe ist. Welche Untergruppe wird von der Menge der
> einelementigen Teilmengen von X erzeugt?
> Ein herzliches Hallo an alle!
>
> Ich komme bei der Aufgabe leider nicht recht weiter...
> Kann mir jemand weiterhelfen (z.B. beim inversen/neutralen
> Element)?
Wie habt ihr die symmetrische Differenz definiert - das wäre die erste Frage, die du dir hier stellen solltest. Normalerweise setzt man
[mm] $A\Delta [/mm] B = [mm] (A\textbackslash B)\cup (B\textbackslash [/mm] A)$
So, nun nimm dir doch mal einfach ein festes A. Welche Eigenschaften muss eine Menge B haben, damit am Ende wieder A rauskommt, wenn ich [mm] A\Delta [/mm] B berechne?
Wenn du A beliebig wählen kannst, was heißt das für B?
--> Mit diesen Überlegungen kommst du zu deinem neutralen Element.
So, nun kennst du dein neutrales Element, nun kannst du überlegen, wenn du ein festes A hast, wie dann B aussehen muss, damit [mm] (A\Delta [/mm] B) = neutrales Element wird.
B ist dann dein Inverses zu A.
> Bei der Untergruppe habe ich leider auch keinen Plan.
Hier bin ich mir nicht ganz sicher, was damit gemeint ist. Aber du kannst dir doch erstmal "vorstellen", was die einelementigen Teilmengen von X alle sind. Und damit all diese Teilmengen wieder in einer Gruppe liegen, muss die Addition, die ja wieder die symmetrische Differenz ist, wohldefiniert sein (d.h., wenn du zwei Elemente der Untergruppe einsetzt, muss auch das Ergebnis in der Untergruppe liegen).
Wenn du nun zwei verschiedene einelementige Teilmengen von X in die symmetrische Differenz einsetzt, wirst du aber merken, dass das Ergebnis nicht eine einelementige Teilmenge von X ist, sondern eine zweielementige. Die muss dann also auch in der erzeugten Untergruppe liegen.
Das kannst du immer so weiter treiben, denn all diese Mengen, die du mit der symmetrischen Differenz erzeugst, müssen auch in der Untergruppe liegen. Was ist dann also die Untergruppe, die entsteht?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 So 22.11.2009 | | Autor: | Irina09 |
Danke Stephan für die Rückmeldung!
Wenn ich es richtig verstanden habe, ist die leere Menge das neutrale Element (1) und jedes Element zu sich selbst invers (2), da
(1) X [mm] \Delta \;\; \emptyset [/mm] = X und
(2) X [mm] \Delta [/mm] X = [mm] \emptyset
[/mm]
Nur auf die Frage "Welche Untergruppe wird von der Menge der einelementigen Teilmengen von X erzeugt?" weiß ich immer noch keine Antwort...
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Hallo!
> Danke [mm] Ste\red{f}an [/mm] für die Rückmeldung!
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> Wenn ich es richtig verstanden habe, ist die leere Menge
> das neutrale Element (1) und jedes Element zu sich selbst
> invers (2), da
>
> (1) X [mm]\Delta \;\; \emptyset[/mm] = X und
> (2) X [mm]\Delta[/mm] X = [mm]\emptyset[/mm]
Ja, das ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nur auf die Frage "Welche Untergruppe wird von der Menge
> der einelementigen Teilmengen von X erzeugt?" weiß ich
> immer noch keine Antwort...
Wieso? Hast du dir meine Antwort gar nicht bis zu Ende durchgelesen? Es ist immer etwas schwierig, in so einer Situation nochmal etwas zu schreiben, wenn doch gar nicht klar ist, wo dein Problem liegt.
Das solltest du also genauer darlegen.
Wenn eine Untergruppe U von bestimmten Elementen einer Gruppe G erzeugt wird, heißt das, wir suchen eine Untergruppe U, die alle diese bestimmten Elemente enthält und zusätzlich eben noch die üblichen Gruppeneigenschaften hat, also vor allem dass die "Addition" abgeschlossen in U ist.
Grüße,
Stefan
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