Gruppe und Isomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Mi 15.11.2017 | | Autor: | gopro |
| Aufgabe | 1.
Es seien (G,∗G) eine Gruppe und M (nicht∅) eine Menge. Ferner seien ∗M: M ×M → M eine Verknüpfung und f : G → M eine Abbildung so, dass f (a ∗M b) = f (a) ∗G f (b) für alle a,b ∈ G. Beweisen Sie, dass (f (G),∗M) eine Gruppe ist.
2.
Es sei (G,∗) eine Gruppe. Für jedes a ∈ G definieren wir die Abbildung fa: G → G, x → a^−1 ∗x∗a.
(i) Beweisen Sie, dass für alle a ∈ G die Abbildung fa ein Gruppenisomorphismus ist.
(ii) Weisen Sie nach, dass fa ◦fb = fb∗a für alle a,b ∈ G ist. |
Heyho,
zu den zwei Aufgaben da oben find ich aktuell noch keinen richtigen Weg um die zu zeigen, wäre toll wenn mir einer helfen könnte!!!
zu 1. allgemein ist eine Gruppe ja definiert durch seine Assoziativität, sein n. Element udn Inverse, nur wie kann ich das da zeigen? zustäzlich ist f ja auch noch ein Gruppenmorphismus, nur wie hilft mir das weiter?
zu 2. ein Gruppenisom. ist ja bijektiv, also müssen injektivität und surjektivität gelten, nur wie kann ich das bei der Abbilung genau zeigen???
Vielllllen Dank schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> 1.
> Es seien (G,∗G) eine Gruppe und M (nicht∅) eine Menge.
> Ferner seien ∗M: M ×M → M eine Verknüpfung und f : G
> → M eine Abbildung so, dass f (a ∗M b) = f (a) ∗G f
> (b) für alle a,b ∈ G
hier hast Du falsch abgetippt, oder es ist ein Fehler in der Aufgabenstellung.
Sinnigerweise müßte es heißen f (a [mm] \*_G [/mm] b) = f (a) [mm] \*_M [/mm] f (b).
> . Beweisen Sie, dass (f (G),∗M)
> eine Gruppe ist.
> zu 1. allgemein ist eine Gruppe ja definiert durch seine
> Assoziativität, sein n. Element udn Inverse, nur wie kann
> ich das da zeigen? zustäzlich ist f ja auch noch ein
> Gruppenmorphismus, nur wie hilft mir das weiter?
Zunächst einmal muß man sich klarmachen, wie die Elemente aussehen, die in f(G) sind:
es sind die Bilder von G unter der Abbildung f. Zu jedem Element aus f(G) gehört also ein Element aus G, welches darauf abgebildet wird.
Wenn also ein Element g' in f(G) ist,dann gibt es ein dazu passendes Element g aus G, welches darauf abgebildet wird, für welches also gibt: f(g)=g'.
Für die Assoziativität zu zeigen ist: [mm] (a'\*_{M}b')\*_{M}c'=a'\*_{M}(b'\*_{M}c') [/mm] für alle [mm] a',b',c'\in [/mm] f(G)
Seien a',b',c' in f(G).
Dann gibt es [mm] a,b,c\in [/mm] G mit a'=f(a), b'=..., ...
Es ist
[mm] (a'\*_{M}b')\*_{M}c'=(f(a)\*_{M}f(b))\*_{M}f(c)=...
[/mm]
Nun kannst Du Deine Kenntnisse über f und G ausspielen, bis Du am Ende
[mm] ...=a'\*_{M}(b'\*_{M}c') [/mm] dastehen hast.
Neutrales Element:
Suche mach einem Element b aus G für welches gilt:
[mm] f(a)\*_Mf(b)=f(a) [/mm] für alle [mm] a\in [/mm] G.
f(b) ist dann das gesuchte neutrale Element.
Inverses: versuchst Du natürlich erst, wenn Du das neutrale Element gefunden hast.
>
>
> 2.
> Es sei (G,∗) eine Gruppe. Für jedes a ∈ G definieren
> wir die Abbildung fa: G → G, x → a^−1 ∗x∗a.
> (i) Beweisen Sie, dass für alle a ∈ G die Abbildung fa
> ein Gruppenisomorphismus ist.
> (ii) Weisen Sie nach, dass fa ◦fb = fb∗a für alle a,b
> ∈ G ist.
> zu 2. ein Gruppenisom. ist ja bijektiv, also müssen
> injektivität und surjektivität gelten, nur wie kann ich
> das bei der Abbilung genau zeigen???
Wie zeigt man Injektivität? Oder anders: wie ist Injektivität definiert?
Und die Definition von surjektiv?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Do 16.11.2017 | | Autor: | gopro |
Danköö für diese schnelle Hilfe, damit müsst bei Assoziativität gelten,dass
Seien a',b',c' in f(G).
Dann gibt es $ [mm] a,b,c\in [/mm] $ G mit a'=f(a), b'=..., ...
Es ist
(a'*b')*c'=(f(a)*f(b))*f(c)=f(a*b)*f(c)=f(a*b*c)=f(a*(b*c))=f(a)*f(b*c)=f(a)*(f(b)*f(c))=a´*(b´*c´)
Abeer wie genau kann man das jeztt rechnerisch zeigen, dass das neutrale element f(b) mit $ f(a)*_Mf(b)=f(a) $ existiert????
zu 2.
Injektivität: wenn für alle a, [mm] b\in [/mm] X mit a= b gilt f(a)= f(b)
Surj.: falls für jedes [mm] y\inY [/mm] ein x [mm] \in [/mm] X existiert, mit f(x) = y
Bijektiv. wenn beide oberen gelten
nur wie weist man das jetzt allgemein an x → a^−1 ∗x∗a nach??
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> Danköö für diese schnelle Hilfe, damit müsst bei
> Assoziativität gelten,dass
>
> Seien a',b',c' in f(G).
> Dann gibt es [mm]a,b,c\in[/mm] G mit a'=f(a), b'=..., ...
> Es ist
>
> [mm] (a'*b')*c'=(f(a)*f(b))*f(c)=f(a*b)*f(c)=f\red{(}(a*b\red{}*c)=f(a*(b*c))=f(a)*f(b*c)=f(a)*(f(b)*f(c))= [/mm] a´*(b´*c´)
Moin,
Du hast die Indizes an den Verknüpfungszeichen weggelassen, wahrscheinlich weil es bequemer zu tippen ist.
Sie sind durchaus wichtig, und bei jedem Sternchen sollte Dir klar sein, in welcher Menge Du Dich gerade bewegst.
>
> Abeer wie genau kann man das jeztt rechnerisch zeigen, dass
> das neutrale element f(b) mit [mm]f(a)*_Mf(b)=f(a)[/mm]
> existiert????
Nun, Du mußt schauen, was die Voraussetzungen sind:
gegeben ist eine Gruppe G, und diese hat ein neutrales Element.
Sei e das neutrale Element in G.
Setze e':=f(e) und rechne vor, daß dies das neutrale Element in f(G) ist.
>
> zu 2.
> Injektivität: wenn für alle a, [mm]b\in[/mm] X mit a= b gilt f(a)=
> f(b)
> Surj.: falls für jedes [mm]y\inY[/mm] ein x [mm]\in[/mm] X existiert, mit
> f(x) = y
> Bijektiv. wenn beide oberen gelten
Genau.
>
> nur wie weist man das jetzt allgemein an x → a^−1
> ∗x∗a nach??
Hmm. Mir ist nicht ganz klar, wo das Problem liegt...
Du hast eine Gruppe [mm] (G,\*). [/mm]
Für ein [mm] a\in [/mm] G wird die Abbildung [mm] f_a [/mm] definiert durch
[mm] f_a:G\to [/mm] G
mit
[mm] f_a(x):=a^{-1}\*x\*a.
[/mm]
Surjektivität:
Zr Injektivität:
Seien [mm] x,y\in [/mm] G mit f(x)=f(y)
==> [mm] a^{-1}\*x\*a=a^{-1}\*y\*a
[/mm]
==> [mm] a\*(a^{-1}\*x\*a)=a\*(a^{-1}\*y\*a)
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
Durch Anwenden von Gruppenregeln kommst Du schließlich zu "==> x=y"
Surjektivität:
Sei [mm] y\in [/mm] G.
Nun mußt Du Dir ein Element konstruieren, von welchem Du vorrechnen kannst, daß es auf y abgebildet wird.
Es muß sein
[mm] f_a(?)=y, [/mm] also [mm] a^{-1}\*?\*a=y.
[/mm]
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Fr 17.11.2017 | | Autor: | gopro |
ja richtig die Indizes habe ich weggelassen, weiß aber wo sie eigentlich hinmüssen :)
somit müsste bei 1. für das neutrale element gelten:
mit e (das neutrale Element in G), setze e':=f(e):
f(a)*e´=f(a)*f(e)=f(a*e)=f(a), damit ist e´ das neutrale Element
und für das Inverse mit a´ ist inverses zu a in G, setze f(a´)=a´´,
f(a)*a´´=f(a)*f(a´)=f(a*a´)=f(e)=e und damit ist a´´ inverses zu f(a)
ist das richtig so???
zu 2.
Injektivität: z.z.: a^-1*x*a=a^-1*y*a mit x=y
--> a*(a^-1*x*a)=a*(a^-1*y*a)
-->(a*a^-1)*x*a=(a*a^-1)*y*a
-->e*x*a=e*y*a
--> x*a=y*a
-->(x*a)*a^-1=(y*a)*a^-1
-->x*(a*a^-1)=y*(a*a^-1)
-->x*e=y*e
-->x=y
richtig so?
bei der Surjektivität bräuchte ich nochmal einen Ansatz, sonst weiß ich nicht wie man das allgemein zeigt.
und vielleicht auch noch etwas zu 2.ii):
Weisen Sie nach, dass fa ◦fb = fb∗a für alle a,b ∈ G ist.
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Moin,
> ja richtig die Indizes habe ich weggelassen, weiß aber wo
> sie eigentlich hinmüssen :)
gut.
> somit müsste bei 1. für das neutrale element gelten:
> mit e (das neutrale Element in G), setze e':=f(e):
für alle [mm] f(a)\in [/mm] f(G) gilt:
> f(a)*e´=f(a)*f(e)=f(a*e)=f(a), damit ist e´ das neutrale
> Element
>
> und für das Inverse mit a´ ist inverses zu a in G, setze
> f(a´)=a´´,
> f(a)*a´´=f(a)*f(a´)=f(a*a´)=f(e)=e und damit ist a´´
> inverses zu f(a)
>
> ist das richtig so???
Ja.
>
> zu 2.
> Injektivität: z.z.: a^-1*x*a=a^-1*y*a mit x=y
> --> a*(a^-1*x*a)=a*(a^-1*y*a)
> -->(a*a^-1)*x*a=(a*a^-1)*y*a
> -->e*x*a=e*y*a
> --> x*a=y*a
> -->(x*a)*a^-1=(y*a)*a^-1
> -->x*(a*a^-1)=y*(a*a^-1)
> -->x*e=y*e
> -->x=y
>
> richtig so?
Ja.
>
> bei der Surjektivität bräuchte ich nochmal einen Ansatz,
> sonst weiß ich nicht wie man das allgemein zeigt.
Soooo allgemein ist das doch nicht... Du hast doch eine konkrete Funktion?
Also nochmal:
sei y [mm] \in [/mm] G.
Du mußt Dir nun auf einem geheimen Zettel überlegen, wie das x aus G aussehen muß, welches darauf abgebildet wird, für welches also [mm] f_a(x)=y [/mm] gilt, d.h. es muß sein [mm] a^{-1}xa=y.
[/mm]
Löse nach x auf, und mach dann ungeheim weiter:
[mm] f_a(...)=a^{-1}...a=y. [/mm] Tadderadaaa!
> und vielleicht auch noch etwas zu 2.ii):
> Weisen Sie nach, dass fa ◦fb = fb∗a für alle a,b ∈
> G ist.
Was hast Du denn bisher zur Lösung dieser Augabe getan?
Wie sind [mm] f_a, f_b, f_{b*a} [/mm] definiert?
Wenn Du das weißt, rechne vor: sei [mm] x\in [/mm] G.
es ist
[mm] (f_a\circ f_b)(x)=f_a(f_b(x))=...=...=...=...=f_{b*a}(x).
[/mm]
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Mo 20.11.2017 | | Autor: | gopro |
entschuldige, dass ich solange nicht geantwortet habe, aber ich war die letzten tage nicht da.
kann man das dann mit der Verknüpfung einfach umformen wie beim mal und geteilt rechnen?, also:
a^-1*x*a=y, also x= y/(a*a^-1)
-->f(x)=f(y/(a*a^-1)=a*(y/(a*a^-1)*a^-1=y qed. ??? ist das dann alles für die surjektivität zu beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Mo 20.11.2017 | | Autor: | fred97 |
> entschuldige, dass ich solange nicht geantwortet habe, aber
> ich war die letzten tage nicht da.
>
> kann man das dann mit der Verknüpfung einfach umformen wie
> beim mal und geteilt rechnen?, also:
> a^-1*x*a=y, also x= y/(a*a^-1)
Nein ! Aus [mm] $a^{-1}xa=y$ [/mm] folgt $xa=ay$ und daraus [mm] $x=aya^{-1}$.
[/mm]
>
> -->f(x)=f(y/(a*a^-1)=a*(y/(a*a^-1)*a^-1=y qed. ??? ist das
> dann alles für die surjektivität zu beweisen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:05 Mo 20.11.2017 | | Autor: | gopro |
ok, danke für die super faste Antwort, jetzt habe ich es auch verstanden und die Frage ist abgahakt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:28 Mo 20.11.2017 | | Autor: | fred97 |
> ok, danke für die super faste Antwort, jetzt habe ich es
> auch verstanden und die Frage ist abgahakt!
Warum bist Du so inkonsequent ?? Du hättest schreiben sollen:
" ok, danke für die super faste Antwort, jetzt habe ich es auch understooden und die Frage ist abgehookt. "
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