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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Sa 11.06.2016 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | Sei <G, *> eine Gruppe und [mm] x^{-1} [/mm] bezeichne das Inverse zu x
Sei g [mm] \in [/mm] G ein festes Gruppenelement, so dass für alle Elemente [mm] a\in [/mm] G ein n [mm] \in \IN [/mm] exsistiert mit a= [mm] g^n [/mm] . Zeigen Sie, dass G kummutativ ist, also x*y=y*x für alle x,y [mm] \in [/mm] G gilt. |
Hallo
Die Aufgabenstellung bereitet mir schon Probleme.
Die Gleichung [mm] a=g^n [/mm] ist klar, aber was x,y damit zu tun haben verstehe ich nicht.
Alles was ich weiß ist, dass x,y,a,g Elemente in G sind.
Muss ich a durch x, und n, oder g durch y ersetzen ?
oder a =x*y und g=x*y oder a = x oder g =y oder n=y
Gibt es da einen Lösungsansatz ?
Danke
Benni
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> Sei <G, *> eine Gruppe und [mm]x^{-1}[/mm] bezeichne das Inverse zu
> x
>
> Sei g [mm]\in[/mm] G ein festes Gruppenelement, so dass für alle
> Elemente [mm]a\in[/mm] G ein n [mm]\in \IN[/mm] exsistiert mit a= [mm]g^n[/mm] .
> Zeigen Sie, dass G kummutativ ist, also x*y=y*x für alle
> x,y [mm]\in[/mm] G gilt.
> Hallo
>
> Die Aufgabenstellung bereitet mir schon Probleme.
>
Hallo,
> Die Gleichung [mm]a=g^n[/mm] ist klar,
ich glaube, genau das ist Dir nicht klar.
Wir müssen genau schauen, was da geschrieben steht:
1. g ist ein festes Gruppenelement.
2. für alle [mm] a\in [/mm] G existiert ein [mm] n\in \IN [/mm] mit [mm] a=g^n.
[/mm]
Punkt 1 ist kein Problem, aber ich denke, den Punkt 2 hast Du nicht richtig verstanden oder nicht richtig gelesen:
dort wird gesagt, daß man für jedes (!!!) Gruppenelement von G eine dazu passende natürliche Zahl findet, so daß man das Element als Potenz des Gruppenelementes g schreiben kann.
Alle Gruppenelemente sind also g-Potenzen.
> aber was x,y damit zu tun
> haben verstehe ich nicht.
x und y stehen für irgendzwei beliebige Elemente aus G,
und die oben besprochene Voraussetzung sagt uns, daß wir beide als g-Potenzen schrieben konnen, denn nach Voraussetzung gibt es zu beiden Elementen natürliche Zahlen [mm] n_1 [/mm] und [mm] n_2 [/mm] mit [mm] x=g^{n_1} [/mm] und [mm] y=g^{n_2}.
[/mm]
Und nun schaust Du dann mal, was x*y ergibt und was y*x ergibt.
LG Angela
>
>
> Alles was ich weiß ist, dass x,y,a,g Elemente in G sind.
>
> Muss ich a durch x, und n, oder g durch y ersetzen ?
>
>
> oder a =x*y und g=x*y oder a = x oder g =y oder n=y
>
> Gibt es da einen Lösungsansatz ?
>
> Danke
> Benni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 So 12.06.2016 | | Autor: | b.reis |
Hallo und danke für die Antwort.
Wie kann ich das am einfachten beweisen ?
Wenn ich die Kommutativität per Induktion beweise,
kann ich das so machen ?
Term: [mm] x*y=g^{n_x}*g^{n_y}
[/mm]
Induktionsannahme:
[mm] x*y=g^{n_y}*g^{n_x}
[/mm]
Induktionsanfang:
y=0
[mm] x*0=g^{n_x}*0 \Box
[/mm]
Induktionsschritt:
z.z. [mm] x*k'=g^{n_{k'}}*g^{n_x}
[/mm]
[mm] x*k'=g^{n_x}*g^{n_{k+x}}
[/mm]
[mm] x*k'=g^{n_{k+x}}*g^{n_x} [/mm] Induktionsannahme
Weiter weis ich nicht.
Außerdem glaube ich das ist eine Sackgasse, denn mit dem x als Index für das n kann ich nichts anfangen.
Danke
Benni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 So 12.06.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde das ganze ohne Induktion angehen:
Es gilt
[mm] g^{m}\cdot g^{n}=\underbrace{g\cdot g\cdot\ldots\cdot g}_{\text{m-mal}}\cdot\underbrace{g\cdot g\cdot\ldots\cdot g}_{\text{n-mal}}
[/mm]
[mm] =\underbrace{g\cdot g\cdot\ldots\cdot g}_{\text{(m+n)-mal}}
[/mm]
Überlege nun mal, was [mm] $g^{n}\cdot g^{m}$ [/mm] ergibt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 So 12.06.2016 | | Autor: | b.reis |
Hallo
das ergibt [mm] g^{n+m}
[/mm]
und [mm] g^{n+m} =g^{m+n} [/mm] und damit ist es bewiesen ?
[mm] x*y=g^{n+m}
[/mm]
[mm] x*y=g^{m+n}
[/mm]
Danke
benni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 So 12.06.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
So ist es, in Kurzform:
[mm]x\cdot y=g^{n}\cdot g^{m}=g^{n+m}=g^{m+n}=g^{m}\cdot g^{n}=y\cdot x[/mm]
Marius
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