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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Mihi |
Hi Leute,
ich bin mal wieder mit einer Aufgabenstellung völlig überfragt.
Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe.
Es habe U genau 2 Rechtsnebenklassen (RNK) in G.
Zeige, dass U Normalteiler von G ist.
Ich vermute folgendes:
besitzt U 2 RNK so besitzt sie eigentlich auch zwei LinksNK, oder muss dann die Kommutativität in U und G gelten?
es gibt also mind. ein g [mm] \in [/mm] G für das gilt:
[mm] g\circu\in [/mm] U
und mind. ein [mm] h\in [/mm] G für das gilt
[mm] h\circu\not\in [/mm] U
Nach meiner Annahme gibt es also nun 2 LNK.
als gibt es auch hier mind. ein [mm] f\in [/mm] G mit:
[mm] u\circf\in [/mm] U
und mind. ein [mm] k\in [/mm] G mit:
[mm] u\circk\not\in [/mm] U
wobei g=f und h=k nicht unbedingt sein muss????????
Danke im Voraus für die Antwort.
Eine weitere Frage:
Seien K und K'Körper und [mm] f:K\toK'ein [/mm] Ringhomomorphismus. Zeige: Ist f nicht injektiv, so ist f(x)=0 für alle [mm] x\in [/mm] K.
Tut mir leid aber hier finde ich gar keinen Ansatz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Mihi |
Da oben fehlt was:
es soll heißen: g "kringel" u (also Verknüpfung)
h "kringel" u
u "kringel" f
u "kringel" k
und unten Abbildung von K nach K`.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:59 So 04.12.2005 | | Autor: | felixf |
> Hi Leute,
> ich bin mal wieder mit einer Aufgabenstellung völlig
> überfragt.
> Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe.
> Es habe U genau 2 Rechtsnebenklassen (RNK) in G.
> Zeige, dass U Normalteiler von G ist.
>
> Ich vermute folgendes:
> besitzt U 2 RNK so besitzt sie eigentlich auch zwei
> LinksNK, oder muss dann die Kommutativität in U und G
> gelten?
Du brauchst die Kommutativitaet nicht, das gilt immer: Linksnebenklassen und Rechtsnebenklassen sind immer genauso maechtig wie die Untergruppe und von beiden gibt es die gleiche Anzahl (betrachte die Bijektion $U g [mm] \leftrightarrow g U$ von der Menge der Linksnebenklassen in die Menge der Rechtsnebenklassen; das es eine Bijektion ist muss man natuerlich nachrechnen (es reicht sogar die Wohldefiniertheit nachzurechnen, der Rest ist dann ''offensichtlich'' :-) )).
> es gibt also mind. ein g [/mm] [mm]\in[/mm] G für das gilt:
> [mm]g\circ u\in[/mm] U
> und mind. ein [mm]h\in[/mm] G für das gilt
> [mm]h\circ u\not\in[/mm] U
Was ist u? Irgendein Element aus U?
> Nach meiner Annahme gibt es also nun 2 LNK.
> als gibt es auch hier mind. ein [mm]f\in[/mm] G mit:
> [mm]u\circ f\in[/mm] U
> und mind. ein [mm]k\in[/mm] G mit:
> [mm]u\circ k\not\in[/mm] U
> wobei g=f und h=k nicht unbedingt sein muss????????
Nein, die muessen nicht gleich sein.
> Danke im Voraus für die Antwort.
Mach das doch so: Die Anzahl der Linksneben- und Rechtsnebenklassen ist gleich. Weiterhin ist die disjunkte Vereinigung der Linksnebenklassen gleich der disjunkten Vereinigung der Rechtsnebenklassen gleich der ganzen Gruppe. Also sind die Linksnebenklassen gerade $U$ und $G [mm] \setminus [/mm] U$. Wie die Rechtsnebenklassen aussehen solltest du jetzt auch sagen koennen 
Damit U ein Normalteriler ist, musst du ja U g = g U nachrechnen fuer alle g aus G. Jetzt ueberleg mal, wann genau U g = U und g U = U ist. Und was U g bzw. g U in allen anderen Faellen ist.
> Eine weitere Frage:
> Seien K und K'Körper und [mm]f:K\toK'ein[/mm] Ringhomomorphismus.
> Zeige: Ist f nicht injektiv, so ist f(x)=0 für alle [mm]x\in[/mm]
> K.
> Tut mir leid aber hier finde ich gar keinen Ansatz.
Es gibt zwei Moeglichkeiten:
1. Schau dir die Anzahl der Ideale in einem Koerper an.
2. Rechne es direkt nach und benutze dabei, das jedes Element ungleich 0 eine Einheit ist. Ist also f(x) = 0 mit x ungleich 0, so ist $f(a) = f(a [mm] x^{-1} [/mm] x) = [mm] \ldots$ [/mm] fuer alle a.
HTH Felix
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