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Gruppen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:17 So 03.12.2006
Autor: darwin

Aufgabe
Man vervollstandige die folgenden Cayley-Tafeln von Gruppen. Man begründe jeden Teilschritt.

a)       |[mm] a_1 \quad a_2 \quad a_3 \quad a_4 \quad a_5 [/mm]
       __|____________________________________________  
       [mm] a_1 [/mm] |[mm]a_? \quad a_? \quad a_?\quad a_4 \quad a_?[/mm]
       [mm] a_2 [/mm] |[mm]a_? \quad a_3 \quad a_4 \quad a_? \quad a_?[/mm]
       [mm] a_3 [/mm] |[mm]a_? \quad a_? \quad a_?\quad a_?\quad a_?[/mm]
       [mm] a_4 [/mm] |[mm]a_? \quad a_? \quad a_?\quad a_?\quad a_?[/mm]
       [mm] a_5 [/mm] |[mm]a_? \quad a_? \quad a_?\quad a_?\quad a_?[/mm]


b)              .     .
      __|____________________
        |       :     :
      . |  . .  e . . a . .
        |       :     :
      . |  . .  b . . ? . .
        |       :     :

Hallo zusammen!

Verrät mir bitter jemand, wie ich hier vorgehen soll?
zu a) Sei "*" als allgemeines Verknüpfungszeichen zu verstehen.

Da es in einer Gruppe nur ein Einselement e gibt und [mm] a_1 [/mm] * [mm] a_4 [/mm] = [mm] a_4 [/mm] müsste e = [mm] a_1 [/mm] sein. Folglich sieht die erst Zeile so aus:[mm]a_1 \quad a_2 \quad a_3\quad a_4 \quad a_5[/mm]; analog dazu die erste Spalte.
Wie kann ich dann den Rest ausfüllen, so das es stichhaltig begründet ist?


zu b) Ist das so gemeind, das e das neutrale Element ist, das mit sich selbst verknüpft sich selbst ergibt und entsprechend mit a/b verknüpft a/b ergibt?
Dann wäre das "?" durch a * b zu ersetzen.


Ergänzt bzw. korrigiert mich bitte.
Danke schonmal im Voraus.




Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:44 So 03.12.2006
Autor: Bastiane

Hallo darwin!

> Man vervollstandige die folgenden Cayley-Tafeln von
> Gruppen. Man begründe jeden Teilschritt.
>  
> a)       |[mm] [mm]a_1 \quad a_2 \quad a_3 \quad a_4 \quad a_5 [/mm][/mm]

        __|____________________________________________  
[mm]a_1[/mm] |[mm]a_? [mm]\quad[/mm] a_? [mm]\quad a_?\quad a_4 \quad a_?[/mm][/mm]
>         [mm]a_2[/mm] |[mm]a_? [mm]\quad a_3 \quad a_4 \quad[/mm] a_? [mm]\quad a_?[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [mm]a_3[/mm] |[mm]a_? [mm]\quad[/mm] a_? [mm]\quad a_?\quad a_?\quad a_?[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm] [mm]a_4[/mm] |[mm]a_? [mm]\quad[/mm] a_? [mm]\quad a_?\quad a_?\quad a_?[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm] [mm]a_5[/mm] |[mm]a_? [mm]\quad[/mm] a_? [mm]\quad a_?\quad a_?\quad a_?[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm]b) . .[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm] __|____________________[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm] | : :[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm] . | . . e . . a . .[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm] | : :[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm] . | . . b . . ? . . [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm]| : :[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm] Hallo zusammen![/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm]Verrät mir bitter jemand, wie ich hier vorgehen soll?[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm] zu a) Sei "*" als allgemeines Verknüpfungszeichen zu verstehen.[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm]Da es in einer Gruppe nur ein Einselement e gibt und [mm]a_1[/mm] * [mm]a_4[/mm] = [mm]a_4[/mm] müsste e = [mm]a_1[/mm] sein. Folglich sieht die erst Zeile so aus:[mm]a_1 \quad a_2 \quad a_3\quad a_4 \quad a_5[/mm]; analog dazu die erste Spalte.[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm] Wie kann ich dann den Rest ausfüllen, so das es stichhaltig begründet ist?[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]

Oje, der Quelltext sieht hier grässlich aus... [kopfschuettel]

Dein Ansatz ist richtig. Weiter kannst du beachten, dass wenn a das Inverse zu b ist, dass dann auch b das Inverse zu a ist. Damit dürfte die Tabelle eigentlich zu füllen sein.

> [mm][mm][mm][mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm]zu b) Ist das so gemeind, das e das neutrale Element ist, das mit sich selbst verknüpft sich selbst ergibt und entsprechend mit a/b verknüpft a/b ergibt?[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm] Dann wäre das "?" durch a * b zu ersetzen.[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm]Ergänzt bzw. korrigiert mich bitte.[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm] Danke schonmal im Voraus.[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm]Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]


Viele Grüße
Bastiane
[cap]
Bezug
                
Bezug
Gruppen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:06 Mo 04.12.2006
Autor: darwin

kann mir das noch einer etwas genauer erklären?
Bezug
                        
Bezug
Gruppen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Mi 06.12.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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