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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Fr 22.10.2004 | | Autor: | SERIF |
Hallo zusammen. Erstmal möchte ich wissen ob eine Gruppe und eine Körper gleich sind.?
Ich weiß nicht wie ich bei der Aufgabe anfangen soll?. Ich habe die Vorlesung verpasst. Kann jemand mir helfen? Danke
Sei n [mm] \in [/mm] N, n [mm] \ge [/mm] 1 und sei (Sn, o) die Gruppe der Permutation auf n Elementen. (das heißt Sn ist die Gruppe der bijektiven Abbildungen [mm] \{1,...n \} \to \{1,...n \}).
[/mm]
Für 1 [mm] \le [/mm] i < j [mm] \le [/mm] n sei Tij (Tau) die "Vertauschung" ("Transposition") von i und j.
Man zeige:
a) Sn ist genau dann kommutativ, wenn n [mm] \le [/mm] 2 ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo Serif!
> Hallo zusammen. Erstmal möchte ich wissen ob eine Gruppe
> und eine Körper gleich sind.?
Definitiv nicht. Eine Körper ist eine Menge von Elementen mit 2 Verknüpfungen,
einer Multiplikation und einer Addition. Man schreibt dafür $(M, [mm] \oplus, \otimes)$.
[/mm]
In den Körperaxiomen muss dabei erfüllt sein, dass $(M, [mm] \oplus)$ [/mm] eine abelsche
Gruppe ist (d.h. eine kommutative Gruppe).
Der Körper besitzt nun mit der 2. Verknüpfung noch viel mehr Eigenschaften als die Gruppe.
Er ist dadurch viel komplexer als eine Gruppe.
>
> Ich weiß nicht wie ich bei der Aufgabe anfangen soll?. Ich
> habe die Vorlesung verpasst. Kann jemand mir helfen?
> Danke
Wir versuchen es. 
>
> Sei n [mm]\in[/mm] N, n [mm]\ge[/mm] 1 und sei (Sn, o) die Gruppe der
> Permutation auf n Elementen. (das heißt Sn ist die Gruppe
> der bijektiven Abbildungen [mm]\{1,...n \} \to \{1,...n \}).
[/mm]
>
> Für 1 [mm]\le[/mm] i < j [mm]\le[/mm] n sei Tij (Tau) die "Vertauschung"
> ("Transposition") von i und j.
>
> Man zeige:
> a) Sn ist genau dann kommutativ, wenn n [mm]\le[/mm] 2 ist.
Was bedeutet das denn hier? Ich gebe dir mal ein Schema mit einem Beispiel für eine Permutation:
[mm] \begin{matrix}
\hbox{Ursprungsreihe} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hbox{Reihe nach }\tau_1 & 6& 4 & 5 & 2& 1& 3\\
\end{matrix}[/mm]
Eine weitere Permutation soll [mm] $\tau_2$ [/mm] sein mit:
[mm] \begin{matrix}
\hbox{Ursprungsreihe} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hbox{Reihe nach }\tau_2 & 4&5&6&1&2&3\\
\end{matrix}[/mm]
Dann ist [mm] $\tau_2 \circ \tau_1$:
[/mm]
[mm] \begin{matrix}
\hbox{Ursprungsreihe} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hbox{Reihe nach }\tau_1 & 6& 4 & 5 & 2& 1& 3\\
\hbox{Reihe nach }\tau_2 &3&1&2&5&4&6 \\
\\
\hbox{Endergebnis }\tau_2 \circ \tau_1 &3&1&2&5&4&6 \\
\end{matrix}[/mm]
Im Gegensatz dazu ist aber:
[mm] \begin{matrix}
\hbox{Ursprungsreihe} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hbox{Reihe nach }\tau_2 & 4&5&6&1&2&3\\
\hbox{Reihe nach } \tau_1 & 2& 1& 3 & 6 & 4 & 5\\
\\
\hbox{Endergebnis } \tau_1_\circ \tau_2 & 2& 1& 3 & 6 & 4 & 5\\
\end{matrix}[/mm]
Damit du weisst was ich gemacht habe: Ich habe geschaut, welches "Ursprungselement" auf welches Element abgebildet wird, wenn ich [mm] $\tau_1$ [/mm] bzw. [mm] $\tau_2$ [/mm] anwende. Du siehst, es ist nicht egal, in welcher Reihenfolge ich meine Permutationen anwende, wenn ich 6 Elemente habe.
Nun musst du dir überlegen, wann das kommutativ ist, also wo es egal ist, in welcher Reihenfolge ich meine 2 Permutationen anwende, wenn ich n Elemente habe. (Tipp: Es müssen natürlich weniger als 6 Elemente sein, das kannst du dir leicht selbst überlegen, wenn ich nur die ersten Elemente verändere und meine obigen Beispiele verwende, ist es schon nicht kommutativ.)
Formal ausgedrückt: Wo ist [mm] $\tau_1 \circ \tau_2 [/mm] = [mm] \tau_2 \circ \tau_1$ [/mm] ?
Hilft dir das erstmal weiter?
Lieber Gruß,
Micha 
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