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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Do 11.11.2004 | | Autor: | barunka |
Kann mir jemand mit diese Aufgabe helfen.Bin dankbar für jedes Hinweis.
Seien [mm] G_{1} G_{2} [/mm] (mit multiplikativer Schreibweise).
Wir definieren eine Multiplikation auf [mm] G_{1} [/mm] x [mm] G_{2} [/mm] durch:
[mm] (x_{1},x_{2})(y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}) [/mm] für [mm] (x_{1},x_{2}) [/mm] , [mm] (y_{1},y_{2}) \in G_{1} [/mm] x [mm] G_{2}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] G_{1} [/mm] x [mm] G_{2} [/mm] zusammen mit dieser Multiplikation eine Gruppe ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Do 11.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Ich nehme an, dass du mit [mm] $G_1$ [/mm] und [mm] $G_2$ [/mm] zwei Gruppen meinst, richtig? Wenn ja, dann lassen sich die zu zeigenden Eigenschaften
(a) Die auf der Trägermenge [mm] $G_1\times G_2$ [/mm] definierte Verknüpfung [mm] $\circ$ [/mm] ist assoziativ
(b) Es gibt ein neutrales Element [mm] $e\in G_1\times G_2$
[/mm]
(c) Jedes Element [mm] $a\in G_1\times G_2$ [/mm] besitzt ein Inverses
leicht auf die Eigenschaften von [mm] $G_1$ [/mm] und [mm] $G_2$ [/mm] zurückführen, welches ja Gruppen sind? -- Warum? -- Weil die Verknüpfung [mm] $\circ$ [/mm] komponentenweise definiert ist. D.h. also, dass jeweils die Elemente aus [mm] $G_1$ [/mm] und jeweils die Elemente aus [mm] $G_2$ [/mm] multipliziert und zu einer neuen Komponente zusammengefasst werden.
Versuche einfach mal (und damit meine ich auch, wenn es nicht klappt: drauflosrechnen, das ist eine Heuristik, die oftmals weiterhilft), die Eigenschaften (a)-(c) auf die von [mm] $G_1$ [/mm] und [mm] $G_2$ [/mm] zurückzuführen. Mehr will ich dazu nicht sagen, sondern dich mal machen lassen.
Meld' dich wieder, wenn es Probleme gibt.
Liebe Grüße,
Hanno
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