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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Di 23.09.2008 | | Autor: | Dr.Weber |
| Aufgabe | Es sei [mm] Abb(\IR) [/mm] die Menge der Funktionen f: [mm] \IR \to \IR. [/mm] Man untersuche, ob
(a) [mm] (Abb(\IR),+),
[/mm]
(b) [mm] (Abb(\IR),\circ)
[/mm]
eine Gruppe ist, wobei + die Summe (f + g)(x) = f(x) + g(x) und [mm] \circ [/mm] die Hintereinanderausführung (f [mm] \circ [/mm] g)(x) = f(g(x)) der Funktionen ist. |
Hi,
kann mal jemand schauen ob dies so richtig ist:
(a)
(1) Assoziativität:
(x+y)+z = x+(y+z)
(f(x)+g(x))+h(x) = [mm] \overbrace{((f+g)}^{=z}(x))+h(x)
[/mm]
=> z(x)+h(x) = (z+h)(x) => (f+g+h)(x)
f(x)+(g(x)+h(x)) = [mm] (f)(x)\overbrace{(g+h)}^{=z}(x)
[/mm]
=> f(x)+z(x) = (f+z)(x) => (f+g+h)(x)
=> assoziativ
(2) neutrales Element
x+y=x x=f(x) [mm] y=\Delta(x) [/mm] = 0
[mm] (f+\Delta) [/mm] (x) = f(x) + [mm] \Delta(x) [/mm] = f(x)+0=f(x)
(3) inverses Element
x+(-x) = 0
f(X) [mm] \in \IR [/mm] => -f(x) [mm] \in \IR [/mm]
(f+(-f)) (x) = f(x) + (-f(x)) = 0
Gruß Dr.Weber
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> Es sei [mm]Abb(\IR)[/mm] die Menge der Funktionen f: [mm]\IR \to \IR.[/mm]
> Man untersuche, ob
> (a) [mm](Abb(\IR),+),[/mm]
> (b) [mm](Abb(\IR),\circ)[/mm]
> eine Gruppe ist, wobei + die Summe (f + g)(x) = f(x) +
> g(x) und [mm]\circ[/mm] die Hintereinanderausführung (f [mm]\circ[/mm] g)(x)
> = f(g(x)) der Funktionen ist.
> Hi,
> kann mal jemand schauen ob dies so richtig ist:
> (a)
> (1) Assoziativität:
Hallo,
Du mußt das genauer aufschreiben.
Was willst Du zeigen für die Assoziativität?
Du willst doch zeigen, daß für alle [mm] f,g,h\in Abb(\IR) [/mm] gilt: (f+g)+h=f+(g+h).
Das ist eine Gleichheit von Funktionen.
Was ist für die Gleichheit von Funktionen zu zeigen? Daß die Funktionswerte an jeder Stelle übereinstimmen,
daß also für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt [(f+g)+h](x)=[f+(g+h)](x).
Versuch's mal:
Seien f,g,h [mm] \in Abb(\IR) [/mm] und sei [mm] x\in \IR.
[/mm]
Es ist
[(f+g)+h](x)=... (Hier in kleinen Schritten die Def. der Addition anwenden) =[f+(g+h)](x) ,
also gitl (f+g)+h=f+(g+h), und somit gilt das Assoziativgesetz.
> (2) neutrales Element
Hier mußt Du erstmal eine Funktion definieren, von welcher Du dann zeigst, daß sie das neutrale Element ist.
> (3) inverses Element
Hier nimmst Du Dir [mm] f\in Abb(\IR).
[/mm]
Dann mußt Du eine Funktion vorzeigen, die zu f addiert das neutrale Element von zuvor ergibt.
Du kannst nicht einfach schreiben -f, denn wir wissen ja gar nicht, was das sein soll.
Du kannst allerdings die Funktion
[mm] -f:\IR\to \IR [/mm]
definieren :
-f(x):= ???
Dann rechnen.
Gruß v. Angela
> x+(-x) = 0
> f(X) [mm]\in \IR[/mm] => -f(x) [mm]\in \IR[/mm]
> (f+(-f)) (x) = f(x) + (-f(x)) = 0
>
> Gruß Dr.Weber
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Di 23.09.2008 | | Autor: | Dr.Weber |
Hä, sorry gewisse Dinge die du geschrieben hast habe ich doch gemacht oder net (siehe assoziativität und was meinst du mit -f(x) definieren. Kannst du mir die Fehler an meiner Lösung zeigen und stehen lassen damit ich sehe was falsch war???
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Hallo Dr.Weber!
Ich denke, ich verrate nicht allzuviel, wenn diese Abbildung keine Gruppe sind.
Versuche hier mal jeweils ein Gegenbeispiel zu finden. genug Auswahl ist ja vorhanden, da hier alle Funktion $f \ : \ [mm] \IR\mapsto\IR$ [/mm] betrachtet werden.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Di 23.09.2008 | | Autor: | Dr.Weber |
Mhh meiner Meinung nach sollten beide eine Gruppe sein.
Gruß Dr.Weber
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> Hä, sorry gewisse Dinge die du geschrieben hast habe ich
> doch gemacht oder net (siehe assoziativität
Hallo,
Du arbeitest viel zu ungenau.
z.B. ist überhaupt nicht ersichtlich, was Du mit (x+y)+z=x+(y+z) meinst.
Kein Hinweis darauf, was das für Objekte sein sollen.
Ich habe Dir ja eine Vorlage geliefert, vielleicht folgst Du der mal.
Zu zeigen: ...
An der Stelle, an der Du zu rechnen anfängst, schreibst Du
(f(x)+g(x))+h(x) = [...] (f+g+h)(x)
und
f(x)+(g(x)+h(x)) =[...] (f+g+h)(x)
(f+g+h), die Summe von drei Funktionen, haben wir gar nicht definiert, und selbst wenn: da oben stehen eine Aussagen über reelle zahlen, nicht über Funktionen.
Und man will ja irgendwie bekommen, daß man zwingend (f+g)+h=f+(g+h) erkennt.
das ist nicht der Fall. Da wären noch Schritte nötig.
es geht bei diesen Aufgaben ja mindestens genausosehr ums richtige Aufschreien wie um den sachverhalt.
> und was meinst
> du mit -f(x) definieren.
Daß Du uns erstmal erklären mußt, was Du unter der Funktion (-f) verstehst.
das weiß doch bisher keiner.
Auch das neutrale Element muß ja eine Funktion sein.
Ah, da sehe ich gerade, daß Du die doch angegeben hast.
Besser wäre es so.
Sei [mm] \Delta:\IR\to \IR [/mm]
[mm] \Delta:=0.
[/mm]
Und dann losrechnen.
Gruß v. Angela
P.S.: Ja, eine Gruppe ist das.
Allerdings sehe ich bei der b) schwarz.
Kannst du mir die Fehler an meiner
> Lösung zeigen und stehen lassen damit ich sehe was falsch
> war???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Di 23.09.2008 | | Autor: | Dr.Weber |
Mhh ja stimmt ich schau mal weiter danke auf jeden Fall!!! Weiß nur noch net so genau wie das mit dem inversen gehen soll der Rest ist nun klar!
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> Mhh ja stimmt ich schau mal weiter danke auf jeden Fall!!!
> Weiß nur noch net so genau wie das mit dem inversen gehen
> soll der Rest ist nun klar!
Hallo,
das ist ganz einfach, und im Prinzip weißt Du ja auch längst, wie die Funktion sein muß.
Sag:
sei f [mm] \in Abb(\IR).
[/mm]
Definiere dazu die Funktion -f
-f· [mm] \IR \to \IR
[/mm]
(-f)(x):= -f(x).
-f ist eine neue Funktion.
Die Funktionsvorschrift sagt Dir, was sie mit jedem x tun soll: sie weist jeden x das Negative des Wertes f(x) zu.
Gruß v. Angela
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