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| Aufgabe | Sei [mm] (G,\*) [/mm] eine Gruppe, S [mm] \subset [/mm] G eine Teilmenge und H, Hi [mm] \subset [/mm] G Untergruppen. Zeigen Sie:
a) [mm] \bigcap_{i \in I} [/mm] Hi ist eine Gruppe
b) die von S erzeugte Untergruppe <S> = [mm] \bigcup [/mm] H ist gegeben durch [mm] M(s)=\{e\} \cup \{g \in G| g= \produkt si mit si \in S oder si^-1 \in S}\ [/mm] |
Bei a) ist mir klar, dass der Schnitt von Untergruppen, wieder eine Untergruppe und somit auch eine Gruppe ist. Aber wie kann ich das zeigen?
bei b) weiß ich leider gar nicht wie ich vorgehen soll.
kann mir jemand helfen?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:22 Sa 17.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm](G,\*)[/mm] eine Gruppe, S [mm]\subset[/mm] G eine Teilmenge und H,
> Hi [mm]\subset[/mm] G Untergruppen. Zeigen Sie:
> a) [mm]\bigcap_{i \in I}[/mm] Hi ist eine Gruppe
> b) die von S erzeugte Untergruppe <S> = [mm]\bigcup[/mm] H ist
> gegeben durch [mm]M(s)=\{e\} \cup \{g \in G| g= \produkt si mit si \in S oder si^-1 \in S}\[/mm]
>
> Bei a) ist mir klar, dass der Schnitt von Untergruppen,
> wieder eine Untergruppe und somit auch eine Gruppe ist.
> Aber wie kann ich das zeigen?
Na, indem du die (Unter-)Gruppenaxiome nachrechnest. Was musst du zeigen?
> bei b) weiß ich leider gar nicht wie ich vorgehen soll.
Nun: zeige erstmal, dass $M(s)$ die Menge auf der rechten Seite enthalten muss. Dann zeige, dass die Menge auf der rechten Seite eine Untergruppe von $G$ ist, die $S$ umfasst: daraus folgt per Definition, dass $M(s)$ als kleinste $S$ umfassende Untergruppe in der rechten Seite enthalten ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 So 18.10.2009 | | Autor: | SteffanM |
| Aufgabe | [mm] :=\bigcap_{H \subseteq G S \subset H} [/mm] H |
So steht hier bei uns die Aufgabe, aber was man genau tun soll weiß ich auch nicht.
M(S) ist doch mehr oder minder alle g die sich durch Multiplikation von Elementen aus S darstellen lassen. Wenn ich das richtig verstehe sind doch alle Elemente von S in dem Schnitt drinne. Was soll denn da gezeigt werden? Ist dieser Schnitt nicht = S ?
In der Aufgabe steht doch schon das <S> eine Untergruppe ist. Zeigen?
Verstehe nicht genau was gezeigt werden soll.
Bin schon etwas weiter:
Wie zeige ich, dass
[mm] \bigcap_{H \subseteq G S \subset H} [/mm] H [mm] \subset [/mm] M(S)
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 So 18.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]:=\bigcap_{H \subseteq G S \subset H}[/mm] H
Hast du dir die Formel mal angeschaut nachdem du sie geschrieben hast? Du meinst ganz offensichtlich etwas voellig anderes, naemlich [mm]:=\bigcap_{H \subseteq G, S \subset H} H[/mm]
> So steht hier bei uns die Aufgabe, aber was man genau tun
> soll weiß ich auch nicht.
>
> M(S) ist doch mehr oder minder alle g die sich durch
> Multiplikation von Elementen aus S darstellen lassen.
Ja. Das kommt da oben allerdings nicht (direkt) vor.
> Wenn
> ich das richtig verstehe sind doch alle Elemente von S in
> dem Schnitt drinne. Was soll denn da gezeigt werden? Ist
> dieser Schnitt nicht = S ?
Nein, er ist gleic $M(S)$, weil du Untergruppen schneidest und nict irgenwelche Teilmengen.
> In der Aufgabe steht doch schon das <S> eine Untergruppe
> ist. Zeigen?
>
> Verstehe nicht genau was gezeigt werden soll.
Du sollst zeigen: [mm] $\langle [/mm] S [mm] \rangle$ [/mm] ist gleich dem Schnitt aller Untergruppen, die $S$ enthalten.
(Wie genau [mm] $\langle [/mm] S [mm] \rangle$ [/mm] nun bei euch definiert ist weiss ich leider nicht, das steht in dem was du geschrieben hast nicht, ausser das es eine Vereinigung von Mengen(Untergruppen?) ist.)
> Bin schon etwas weiter:
> Wie zeige ich, dass
> [mm]\bigcap_{H \subseteq G S \subset H}[/mm] H [mm]\subset[/mm] M(S)
Nun: indem du zeigst, dass $M(S)$ in dem Schnitt der linken Seite auftaucht, also dass $H = M(S)$ ebenfalls $S [mm] \subset [/mm] H$ erfuellt.
LG Felix
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