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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Di 03.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Hab ein Problem zu einem Beispiel.
a.)Zeigen Sie für endliche Gruppen G mir neutralen Element 1 und g in G:
Die Menge <g> := { [mm] 1,g,g^{2},.. [/mm] }ist eine Untergruppe von G (die von g erzeugte zyklische Untergruppe)
Also g ist Erzeuger dieser zyklischen Untergruppe.
2 Untergruppenkriterien:
<g> != {} .....klar
[mm] \forall g_{1},g_{2} \in [/mm] <g>: [mm] g_{1} [/mm] o [mm] g_{2}^{-1} \in [/mm] <g>
Angenommen:
[mm] g_{1} [/mm] = [mm] g^{m}
[/mm]
[mm] g_{2} [/mm] = [mm] g^{n}
[/mm]
[mm] (g_{2})^{-1} [/mm] = [mm] g^{n-1}
[/mm]
[mm] g^{m} [/mm] o [mm] g^{n-1} [/mm] = [mm] g^{n-1+m} [/mm] -> in <g> also Untergruppe
Stimmt mein Beweis?
b.)
Zeigen Sie unter obigen Vorraussetzungen: [mm] g^{|G|} [/mm] = 1 ("kleiner Satz von Fermat")
Hier blick ich irgendwie nicht durch.
Als Tip steht ein Satz aus dem Skript der folgendes besagt:
Ist K ein Normalteiler von der Gruppe A. (sprich K ist ein Kern) so ist
h:K -> a o K, k -> a o k bijektiv. (A teilt sich in verschiedene Nebenklassen auf wovon a jeweils der Repräsentant der Nebenklasse ist, der die Untergruppe k jeweils um a verschiebt. Wenn ich das richtig verstanden habe werden die Elemente der Untergruppe auf die Nebenklasse projeziert.
a spielt hierbei keine Rolle da er ja nur den Unterraum verschiebt. Also wird
K wieder in K projeziert was bijektiv ist). Alle Nebenklassen a o K sind gleichmächtig. Die Anzahl der verschiedenen Nebenklassen von A bzgl. K heißt der Index von K in A und wird mit [A : K] bezeichnet. Es gilt damit
|K|*[A : K] = |A|...Anzahl der Elemente in A
Ist A endlich so gilt [A:K]=|A|/|K| und |K| muss |A| teilen (Satz von Lagrange)
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Zum Thema:
https://matheraum.de/read?i=59382
In Kurzform:
Der zitierte Satz von Lagrange gilt nicht nur für Normalteiler.
Zum ersten Teil:
[mm] (g_{2})^{-1} [/mm] = [mm] g^{n-1} [/mm]
kann nicht einfach angenommen werden. (was ist n?)
Versuch den Beweis der Invertierbarkeit aller Elemente über einen Widerspruchsbeweis! Abgeschlossenheit ist klar und dein Beweis passt auch!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Di 03.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo, eine Frage hätte ich da: Wenn die Gruppe invertierbar ist heißt dass dann das jede Operation also g o g o g.......nmal = 1 ist?
Eigentlich schon denn sonst wäre es ja keine Gruppe
Ansonsten wäre bei a.) alles klar.
b.)
Ich nehme mir ein k aus g her: min{n in N: [mm] g^{n} [/mm] = 1} = |<g>|
|G| = |<g>| * |G : <g>|
1 = [mm] g^{||} [/mm] = ......(weiß ich nicht).........= [mm] g^{|G|}
[/mm]
Wie zeige ich jetzt dass <g> ein Teiler von <G> ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:45 Di 03.05.2005 | | Autor: | Jay-G |
Es gibt einen Satz das die Anzahl der Elemente einer beliebigen Untergruppe einer endlichen Gruppe die Anzahl der Elemente der Gruppe teilt.
Beweis leicht mit Nebenklassen (siehe google oder so).
Dann schaust dir die Menge
[mm] \{k,g(k),g^2(k), ... g^(n-1),g^n=k \}
[/mm]
an.
Dies sollte eine Untergruppe von G sein.
Also hast du was du willst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Danke.....alles klar.
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