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Gegeben sei ( [mm] \IZ, [/mm] *) mit
* : [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , m*n=m+n-mn
a) Zeigen Sie, dass ( [mm] \IZ, [/mm] *) genau 4 der 5 Gruppenaxiome (G1)-(G5) erfüllt.
b) Bestimmen Sie alle Teilmengen [mm] \IZ´ [/mm] c [mm] \IZ [/mm] für die ( [mm] \IZ´, [/mm] *) eine abelsche Gruppe ist.
g1) abgeschlossenheit:
m*n [mm] \in \IZ
[/mm]
m+n-mn jedoch [mm] \in \IR [/mm]
somit nicht abgeschlossen
g2)
(m*n)*o= m* (n*o)
(m+n-mn)*o= m* (n+o-no)
(m+n+o-mno) =(m+n+o-mno)
somit assoziativität erfüllt.. wäre das richtig?
g3) neutrales element
ich weiß das gilt e [mm] \circ [/mm] a = a
aber wie mache ich das jetzt hier
muss ich zeigen dass
m*n=m*n ist ?????????
ich wäre für jede hilfe sehr dankbar
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Hallo,
> Gegeben sei ( [mm]\IZ,[/mm] *) mit
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> * : [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm] -> [mm]\IR[/mm] , m*n=m+n-mn
>
> a) Zeigen Sie, dass ( [mm]\IZ,[/mm] *) genau 4 der 5 Gruppenaxiome
> (G1)-(G5) erfüllt.
>
> b) Bestimmen Sie alle Teilmengen [mm]\IZ´[/mm] c [mm]\IZ[/mm] für die (
> [mm]\IZ´,[/mm] *) eine abelsche Gruppe ist.
>
> g1) abgeschlossenheit:
>
> m*n [mm]\in \IZ[/mm]
>
> m+n-mn jedoch [mm]\in \IR[/mm]
>
> somit nicht abgeschlossen
Nein. Wenn m, [mm] n\in\IZ, [/mm] kann dann [mm] m+n-mn\notin\IZ [/mm] sein?
>
> g2)
>
> (m*n)*o= m* (n*o)
>
> (m+n-mn)*o= m* (n+o-no)
>
> (m+n+o-mno) =(m+n+o-mno)
>
So wie die Rechnung hier steht, macht sie keinen Sinn. Du musst schauen, ob sich (m*n)*o der Reihe nach in [mm] m\* (n\*o) [/mm] umformen lässt, um Abgeschlossenheit zu zeigen.
Etwa [mm] $(m\*n)\*o=(m+n-mn)\*o=m+n-mn+o-(m+n-mn)o=\ldots$
[/mm]
Dabei wirst du sehen, ob die Verknüpfung assoziativ ist, oder nicht.
> somit assoziativität erfüllt.. wäre das richtig?
>
> g3) neutrales element
>
> ich weiß das gilt e [mm]\circ[/mm] a = a
>
> aber wie mache ich das jetzt hier
>
> muss ich zeigen dass
>
> m*n=m*n ist ?????????
Wenn du dir das anschaust, ist klar, dass du das nicht zeigen musst.
Erstmal musst du nach einem Kanditaten e für das neutrale Element suchen (Probieren!) und dann kannst du überprüfen ob [mm] $e\*m=m\*e=e$ [/mm] für alle [mm] m\in \IZ [/mm] gilt. Wenn ja: Herzlichen Glückwunsch, die Existenz des neutralen Elements ist nachgewiesen
>
> ich wäre für jede hilfe sehr dankbar
>
Gruß
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G1) abgeschlossenheit
also ist m+n-mn auch [mm] \in \IZ [/mm] und somit ist die gruppe abgeschlossen?
(m*n)*o=(m+n-mn)*o bis hier kann ich dir folgen
[mm] =m+n-mn+o-(m+n-mn)o=\ldots [/mm] aber wie kommst du danach auf das ?
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> G1) abgeschlossenheit
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> also ist m+n-mn auch [mm]\in \IZ[/mm] und somit ist die gruppe
> abgeschlossen?
Ja.
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> (m*n)*o=(m+n-mn)*o bis hier kann ich dir folgen
>
> [mm]=m+n-mn+o-(m+n-mn)o=\ldots[/mm] aber wie kommst du danach auf das ?
Das ist noch ein weiteres Mal die Verknüpfungsvorschrift angewendet auf die Elemente m+n-mn und o.
Es sollte an irgendeiner Stelle mal gesagt werden, dass [mm] m,n,o\in\IZ
[/mm]
Gute Nacht
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:( ich weiß nicht wie ich weiter machen muss .. :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 So 13.02.2011 | | Autor: | skoopa |
> :( ich weiß nicht wie ich weiter machen muss .. :(
Hi!
Du solltest etwas präziser sein.
Nicht wissen wie weiter ist ja halb so wild, aber ohne Angabe wo's hakt kann dir leider schwer geholfen werden
Grüße!
skoopa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 So 13.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo,
Du hast ja die Abbildungsvorschrift m*n=m+n-mn
Und du möchtest die Assoziativität zeigen.
Also nimmst du dir drei Elemente m,n,c [mm] \in \IZ [/mm] her.
Es folgt:
(m*n)*c
Jetzt verknüpfte m und n, dann folgt
(m+n-mn)*c
Und jetzt musst du nochmal verknüpfen. Stelle dir vor, dass das in der Klammer jetzt was wäre wie z*c. Verstehst du, worauf ich hinaus möchte?
Gruß SolRakt
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Nein nicht wirklich .. :/ ..
meinst du etwa m+n+c, mnc ? :S
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:10 So 13.02.2011 | | Autor: | Ixion |
Wie bereits schon gesagt musst du noch einmal die Verknüpfung anwenden.
Auf m*n hast du ja bereits die Vorschrift angewendet.
m*n = m+n - mn , m*n nennen wir im Folgenden mal a.
nun musst du die Verknüpfung auf a*o anwenden.
dann bekommst du a*o = a+o - ao , nun setzt du hier für das a wieder den ganzen Kram von oben ein und bekommst dann m*n*o = m+n - mn + o - (m+n- mn)o , hoffe meine Erklärung bringt dich jetzt auf den richtigen Pfad
MFG Philipp
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hmm okay.. also ich sollte ja zeigen:
(m*n)*o = m* (n*o)
die linke seite hast du ja so weit aufgelöst..
ich habe die rechte versucht umzuformen um zu gucken ob das gleiche rauskommt.. .:
b=n*o= n+0-no
m*b= m+b-mb = m+n+o-no- m(n+o-no)
so und du hattest ja für die linke seite aufgeschrieben:
m+n-mn+o- (m+n-mn) o
dadurch dass die zwei ergebnisse nicht übereinstimmen.. ist die assoziativitä nicht erfüllt oder bin ich immer noch auf dem falschen weg-.-
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Hi,
> hmm okay.. also ich sollte ja zeigen:
>
> (m*n)*o = m* (n*o)
>
> die linke seite hast du ja so weit aufgelöst..
>
> ich habe die rechte versucht umzuformen um zu gucken ob das
> gleiche rauskommt.. .:
>
> b=n*o= n+0-no
>
> m*b= m+b-mb = m+n+o-no- m(n+o-no)
>
>
> so und du hattest ja für die linke seite aufgeschrieben:
>
> m+n-mn+o- (m+n-mn) o
>
>
> dadurch dass die zwei ergebnisse nicht übereinstimmen..
Rechne doch mal zu Ende!
Meiner Meinung nach gilt schon:
$m+n-mn+o-(m+n-mn)o =m+n+o-no-m(n+o-no) $
> ist die assoziativitä nicht erfüllt oder bin ich immer
> noch auf dem falschen weg-.-
Gruß
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hää aber da würde doch dann stehen:
m+n-mn+o-(m+n+o-mno)= m+n+o-no-(m+n+o-mno)
in der klammer steht der gleiche ausdruck aber sonst :S
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> hää aber da würde doch dann stehen:
>
> m+n-mn+o-(m+n+o-mno)= m+n+o-no-(m+n+o-mno)
>
> in der klammer steht der gleiche ausdruck aber sonst :S
(m+n-mn)o=mo+no-mno
Du machst hier einfache Ausklammerfehler.
Gruß
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hmm oki also:
m+n-mn+o-mo+no-mno = m+n+o-no-mn-mo+mno
so jetzt aber.. das war aber eine schwere geburt.. danke erstmal
und für G3 muss ich jetzt zeigen dass e*m*n=m*n ist oder wie?
e müsste dann ja 1 sein.. oder?
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> hmm oki also:
>
> m+n-mn+o-mo+no-mno = m+n+o-no-mn-mo+mno
>
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> so jetzt aber.. das war aber eine schwere geburt.. danke
> erstmal
>
> und für G3 muss ich jetzt zeigen dass e*m*n=m*n ist oder
> wie?
Unsinn.
>
> e müsste dann ja 1 sein.. oder?
Wie das?
Nach Definition ist * : $ [mm] \IZ [/mm] $ x $ [mm] \IZ [/mm] $ [mm] \to [/mm] $ [mm] \IR [/mm] $ , [mm] \*(m,n)=m+n-mn [/mm]
Für das neutrale Element muss gelten [mm] $e\*m=m\*e=m$
[/mm]
Überprüfe doch einmal, ob 1 überhaupt als neutrales Element hinhauen kann. Diesen Schritt solltest du selbst tun und nicht andauernd ziellos raten:
[mm] $1\*m=1+m-m=1$ [/mm] und das ist im Allgemeinen [mm] \neq [/mm] m. Also ist 1 sicher nicht das neutrale Element.
Wie waere es mit e=0?
Gruß
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hast recht ..
also m*e=m
m+e-me=m wenn e=0
somit ist 0 das neutrale element
dann müsste für das inverse element gelten:
m´*m=0
m´+m-m´m=0
m`=-m+m´m
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> hast recht ..
>
> also m*e=m
>
> m+e-me=m wenn e=0
>
> somit ist 0 das neutrale element
Analog musst du auch noch zeigen e*m=m, das gehört dazu.
>
> dann müsste für das inverse element gelten:
>
> m´*m=0
>
> m´+m-m´m=0
>
> m'=-m+m´m
Du hast noch nicht fertig nach m' umgestellt. Wenn du umgestellt hast, musst du überprüfen, ob auch m*m'=0 gilt.
Gruß
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woher siehst du dass man das auch für e*m zeigen muss ?
ich wär bei einer klausur nie drauf gekommen :(
e*m
= e+m-em --> e=0
und wie soll ich beim inversen Element
m´= -m+m´m weiter umstellen? :/
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> woher siehst du dass man das auch für e*m zeigen muss ?
>
> ich wär bei einer klausur nie drauf gekommen :(
Das gehört zum Axiom des neutralen Elements, dass sowohl m*e=m als auch e*m=m gilt. Lernen!
>
> e*m
>
> = e+m-em --> e=0
Schreib das noch besser auf.
a) [mm] $0\*m [/mm] =0+m-0m=m$
b) [mm] $m\*0=m+0-m0=m$
[/mm]
Aus a) und b) folgt 0 ist das (eindeutige) neutrale Element
>
>
> und wie soll ich beim inversen Element
>
> m´= -m+m´m weiter umstellen? :/
Wie stellt man denn eine Gleichung nach einer Variablen um? Das solltest du beim Studium beherrschen!!
[mm] $0=m'\*m=m+m'-mm'$ \Rightarrow $-m=m'-mm'$\Rightarrow $\frac{-m}{1-m}=m'$
[/mm]
Klar?
Und jetzt prüfst du, ob die zweite Eigenschaft des inversen Elements (die auch im Axiom festgehalten ist) erfüllt ist:
Ist auch [mm] $m\*m'=0$? [/mm] Verwende dieses mal das m', was vorher ausgerechnet wurde.
Es muss auch noch geprüft werden, ob [mm] m'\in\IZ [/mm] für alle m.
Gruß
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kann es sein dass du ein vorzeichenfehler hast??
wenn ich m´*m berechne komme ich auch folgendes:
m´+m-m´m=0
m=m´m-m´
m=m´(m-1)
m´= m / m-1
so und nun für m*m´
m*m´=0
m+m´-mm´=0
m= mm´-m´
m=m´(1-m)
m´ = m / (1-m)
so..
und jetzt muss ich noch g5) zeigen:
m*n=n*m
m+n-mn=n+m-nm
reicht das ?
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> kann es sein dass du ein vorzeichenfehler hast??
>
> wenn ich m´*m berechne komme ich auch folgendes:
>
> m´+m-m´m=0
>
> m=m´m-m´
>
> m=m´(m-1)
>
> m´= m / m-1
Nein. Das ist das gleiche wie $ [mm] \frac{-m}{1-m}$. [/mm] Benutze bitte mal Formeln, damit deine Posts besser lesbar werden.
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>
> so und nun für m*m´
>
> m*m´=0
>
> m+m´-mm´=0
>
> m= mm´-m´
>
> m=m´(1-m)(m-1)
Hier hast du einen Vorzeichenfehler gemacht
>
> m´ = m / (1-m)
>
> so..
>
>
> und jetzt muss ich noch g5) zeigen:
>
> m*n=n*m
>
> m+n-mn=n+m-nm
>
> reicht das ?
Bei dir steht immer nirgends, was du aus was folgerst. Schreibe deine Beweis bitte mal logisch strukturiert auf, dann wird ein Schuh draus.
So ists OK:
m*n=m+n-mn=n+m-nm=n*m
Gruß
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 So 13.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
was mich jetzt verwirrt ist dass in der aufgabe stand dass vier der fünf axiome gelten.. aber irgendwie haben wir gezeigt dass alle gelten ? :S
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> was mich jetzt verwirrt ist dass in der aufgabe stand dass
> vier der fünf axiome gelten.. aber irgendwie haben wir
> gezeigt dass alle gelten ? :S
Das stimmt nicht, bis jetzt wurde nicht gezeigt, dass das inverse Element immer existiert, da [mm] m'=\frac{m}{m-1} [/mm] nicht notwendig in [mm] \IZ [/mm] liegt. Dafür reicht es ein Gegenbeispiel anzugeben (m=3)
Aber du hast Recht, das wurde noch nicht gefolgert.
Gruß
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