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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Di 09.10.2012 | | Autor: | Franhu |
| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen mit binären Verknüpfungen sind Halbgruppen, Halb- verbaände, oder Gruppen?
a) {x ∈ R : x > 0} mit Multiplikation
b) {−1, 1} mit Multiplikation
c) Mat(2, 2; [mm] \IR [/mm] ) mit Matrizenmultiplikation
d) {(a,b)∈ [mm] \IR^{2} [/mm] :a+b=0}mit Addition in [mm] \IR^{2}
[/mm]
e) {(a,b)∈ [mm] \IR^{2} [/mm] :a+b=1}mit Addition in [mm] \IR^{2}
[/mm]
f) N \ {0} mit x ∗ y = grösster gemeinsamer Teiler x, y. |
Hallo Zusammen
Ich brauche Hilfe beim Lösen dieser Aufgaben. Ich denke, dass ich a) und b) lösen konnte, aber bei c -d weiss ich nicht mehr wie vorgehen und was machen. Ich habe zuerst einmal aufgeschrieben was eine Gruppe, eine Halbgruppe und ein Halbverband ist.
Halbgruppe: nicht leere Menge, mit einer Abbildung (a,b) -> ab von HxH nach H, wenn das Assoziativgesetz gilt: a(bc) = (ab)c für alle a,b,c ∈ H
Gruppe:
i) es gibt ein neutrales Element e: ea = ae = a, für alle a ∈ G, zu jedem a gibt es a' mit a'a = aa' = e (a' inverses Element zu a)
ii) Für alle a,b ∈ G gibt es x,y ∈ G mit ax = b und ya = b
Kürzungsregel: ab = ac --> b = c und ba = ca --> b = c
Halbverband: habe ich nichts gefunden.
Zu den Aufgaben:
a) ist eine Gruppe da die obigen Eigenschaften erfüllt sind:
neutrales Element: = 1; inverses ist 1 / a; Kürzungsregel wie beweise ich die?
b) ist keine Gruppe, da kein inverses Element --> Halbgruppe
c)?
d)?
e)?
f)?
Vielen Dank für Euren Support!
LG Franhu
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Hallo Franhu,
> Welche der folgenden Mengen mit binären Verknüpfungen
> sind Halbgruppen, Halb- verbaände, oder Gruppen?
> a) {x ∈ R : x > 0} mit Multiplikation
> b) {−1, 1} mit Multiplikation
> c) Mat(2, 2; [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
) mit Matrizenmultiplikation
> d) {(a,b)∈ [mm]\IR^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:a+b=0}mit Addition in [mm]\IR^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> e) {(a,b)∈ [mm]\IR^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:a+b=1}mit Addition in [mm]\IR^{2}[/mm]
> f) N \ {0} mit x ∗ y = grösster gemeinsamer Teiler x,
> y.
> Hallo Zusammen
>
> Ich brauche Hilfe beim Lösen dieser Aufgaben. Ich denke,
> dass ich a) und b) lösen konnte, aber bei c -d weiss ich
> nicht mehr wie vorgehen und was machen. Ich habe zuerst
> einmal aufgeschrieben was eine Gruppe, eine Halbgruppe und
> ein Halbverband ist.
>
> Halbgruppe: nicht leere Menge, mit einer Abbildung (a,b) ->
> ab von HxH nach H, wenn das Assoziativgesetz gilt: a(bc) =
> (ab)c für alle a,b,c ∈ H
>
> Gruppe:
> i) es gibt ein neutrales Element e: ea = ae = a, für alle
> a ∈ G, zu jedem a gibt es a' mit a'a = aa' = e (a'
> inverses Element zu a)
zusätzlich zur Halbgruppe
>
> ii) Für alle a,b ∈ G gibt es x,y ∈ G mit ax = b und ya
> = b
> Kürzungsregel: ab = ac --> b = c und ba = ca --> b = c
Das ist doch kein Gruppenaxiom, das ist doch eine Eigenschaft von Gruppen?!
>
> Halbverband: habe ich nichts gefunden.
>
>
> Zu den Aufgaben:
> a) ist eine Gruppe da die obigen Eigenschaften erfüllt
> sind:
> neutrales Element: = 1; inverses zu a ist 1 / a; Kürzungsregel
> wie beweise ich die?
Wozu? Die gilt in Gruppen, also auch hier ...
> b) ist keine Gruppe, da kein inverses Element -->
Wieso nicht? Neutrales Element ist doch 1, zu 1 ist 1 invers, da [mm]1\cdot{}1=1[/mm] und zu [mm]-1[/mm] ist [mm]-1[/mm] invers, da [mm](-1)\cdot{}(-1)=1[/mm]
Die Elemente hier sind also selbstinvers ...
Assoziativ ist die Multiplikation auch, die Menge ist abgeschlossen bzg. Multiplikation.
Das ist ne Gruppe ...
> Halbgruppe
nein, es ist mehr 
> c)?
Na, wie könnte das neutrale Element aussehen?
Das ist doch sicher die Einheitsmatrix [mm]E[/mm].
Wie sieht's mit einer Inversen zu [mm]A\in M_{2}(\IR)[/mm] aus?
Welches [mm]B[/mm] erfüllt [mm]A\cdot{}B=B\cdot{}A=E[/mm]? Und existiert für jedes [mm]A\in M_2(\IR)[/mm] ein solches Inverses?
> d)?
> e)?
> f)?
Was hast du denn schon probiert?
Hast du mal versucht, die Axiome nachzuweisen?
Wenn du meinst, dass eines nicht erfüllt ist, suche nach einem konkreten Gegenbsp.
In e) zB. [mm](a,b)=(1,0)[/mm] und [mm](c,d)=(0,1)[/mm] gehören beide zur Menge, denn die Summe der Koordinaten ist =1
Was ist mit [mm](a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)[/mm]? Das ist [mm]=(1,1)[/mm] und [mm]1+1=2\neq 1[/mm], also ist die Menge bzgl. der Addition nicht abgeschlossen ...
Nun bist du dran mit Nachdenken
> Vielen Dank für Euren Support!
>
> LG Franhu
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Franhu |
Vielen Dank für deine Unterstützung.
Ich habe mir das noch einmal mit deinen Anmerkungen angeschaut:
a) ist klar
b) nun auch!
c) ist auch eine Gruppe, Es gibt die Einheitsmatrix Matrix und jede quadratische Matrix ist invertierbar --> es gibt ein Inverses. Das Assoziativgesetz gilt auch.
d) die Menge ist ja eine gerade, welche durch den Punkt (0,0) geht vom oberen linken Viertel in das untere rechte Viertel eines Koordinatensystems. Die Vektoraddition ist assoziativ, wir haben ein neutrales Element (0,0) und auch für jedes Element ein Inverses.
d) Gruppe
e) keine Gruppe, da das neutrale Element fehlt (0,0) fehlt, aber eine Halbgruppe
f) da bin ich mir nicht so sicher. aber es ist keine Gruppe, da {0} ohne null, und da noch kein Halverband vorgekommen ist, nehme ich an, das es ein Halbverband ist.
Kannst du mich korrigieren?
Vielen Dank und Gruss
Franhu
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank für deine Unterstützung.
>
> Ich habe mir das noch einmal mit deinen Anmerkungen
> angeschaut:
>
> a) ist klar
> b) nun auch!
> c) ist auch eine Gruppe,
Nä! Im Leben nicht!
> Es gibt die Einheitsmatrix Matrix ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und jede quadratische Matrix ist invertierbar
Huch?
Wer sagt das?
Das ist doch falsch, es gibt doch quadr. Matrizen mit Determinante 0, etwa [mm]A=\pmat{1&1\\
1&1}[/mm]
Wie lautet deiner Meinung nach denn [mm]A^{-1}[/mm] ?
> --> es gibt
> ein Inverses. Das Assoziativgesetz gilt auch.
> d) die Menge ist ja eine gerade, welche durch den Punkt
> (0,0) geht vom oberen linken Viertel in das untere rechte
> Viertel eines Koordinatensystems.
Kurz: Die Gerade mit der Gleichung [mm]y=-x[/mm] (bzw. im [mm]a,b[/mm]-Koordinatensystem: [mm]b=-a[/mm]
> Die Vektoraddition ist
> assoziativ, wir haben ein neutrales Element (0,0) und auch
> für jedes Element ein Inverses.
Was ist invers zu [mm](a,b)[/mm]?
Ist die Menge abgeschlossen bzgl. der Verknüpfung? Ist also mit [mm](a,b),(c,d)\in \text{Menge in d)} [/mm] auch [mm](a,b)+(c,d)[/mm] drin?
> d) Gruppe
> e) keine Gruppe, da das neutrale Element fehlt (0,0)
> fehlt, aber eine Halbgruppe
> f) da bin ich mir nicht so sicher. aber es ist keine
> Gruppe, da {0} ohne null,
Was soll das bedeuten? Ich verstehe den Neben"satz" nicht ...
Gibt es ein neutrales Element [mm]e\in\IN\setminus\{0\}[/mm]?
Dann müsste für alle [mm]x\in\IN\setminus\{0\}[/mm] gelten [mm]\ggT(x,e)=x[/mm]
Kann es solch ein e geben?
> und da noch kein Halverband
> vorgekommen ist, nehme ich an, das es ein Halbverband ist.
Ich weiß nicht, was ein Verband ist ...
Ist die Verknüpfung assoziativ?
Dann wäre es zumindest eine Halbgruppe ...
>
> Kannst du mich korrigieren?
>
> Vielen Dank und Gruss
>
> Franhu
Gruß
schachuzipus
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