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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Expo |
| Aufgabe | Sei (G; °) eine Gruppe und g ein beliebiges Element von G. Die Menge
|g| sei definiert durch |g| = [mm] {g^n | n€Z}
[/mm]
(1) Zeigen Sie, dass (|g| °) eine abelsche Gruppe ist.
(2) Bestimmen Sie |g| für (G;° ) = (Z; +) und g = -6. |
Hallo,
Meine Überlegungen zu 1)
Beweis der Gruppen Axiome für (|g| °)
Die Menge |g| ist nicht leer, da das g aus der Gruppe (G ° ) ist also existiert [mm] g^1 [/mm]
|g| x|g| -> |g| da a°b= [mm] g^a° g^b [/mm] € |g|, da (G, °)
G1)
(a ° b) °c = [mm] (g^a [/mm] ° [mm] g^b [/mm] ) ° [mm] g^c [/mm] = [mm] g^a [/mm] ° [mm] g^b [/mm] ° [mm] g^c [/mm] = [mm] g^a [/mm] ° [mm] (g^b [/mm] ° [mm] g^c) [/mm] = a ° (b ° c)
G2)
a ° e = [mm] g^a [/mm] ° e = [mm] g^a [/mm] ° [mm] g^0 [/mm] = [mm] g^a [/mm] = a
Hier bin ich mir unsicher
G3)
a´ ° a = g^-a ° [mm] g^a [/mm] = = [mm] g^0 [/mm] = e
wenn e korrekt ist
G4)
a ° b = [mm] g^a [/mm] ° [mm] g^b [/mm] = [mm] g^b [/mm] ° [mm] g^a [/mm] = b ° a
Zur zweiten Teil Aufgabe:
Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe soll ich hier |g| bestimmen wenn g aus Z kommt und g=-6 ist. Was für mich keinen sin macht
Was muss ich hier genau machen?
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> Sei (G; °) eine Gruppe und g ein beliebiges Element von
> G. Die Menge
> |g| sei definiert durch |g| = [mm]{g^n | n€Z}[/mm]
> (1) Zeigen
> Sie, dass (|g| °) eine abelsche Gruppe ist.
> (2) Bestimmen Sie |g| für (G;° ) = (Z; +) und g = -6.
> Hallo,
> Meine Überlegungen zu 1)
> Beweis der Gruppen Axiome für (|g| °)
> Die Menge |g| ist nicht leer, da das g aus der Gruppe (G
> ° ) ist also existiert [mm]g^1[/mm]
ok
> |g| x|g| -> |g| da a°b= [mm]g^a° g^b[/mm] € |g|, da (G, °)
ein bissel ausführlicher [mm] $g^ag^b=g^{a+b}=g^n\in (G,\circ)$
[/mm]
>
> G1)
> (a ° b) °c = [mm](g^a[/mm] ° [mm]g^b[/mm] ) ° [mm]g^c[/mm] = [mm]g^a[/mm] ° [mm]g^b[/mm] ° [mm]g^c[/mm] =
> [mm]g^a[/mm] ° [mm](g^b[/mm] ° [mm]g^c)[/mm] = a ° (b ° c)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
auch hier musst du schon den Weg über den Exponenten nehmen. Du klammerst ja um, obwohl du zeigen sollst, dass das Umklammer funktioniert. Du weißt nur, dass man in der Summe der Exponenten beliebig Klammern setzen darf.
> G2)
> a ° e = [mm]g^a[/mm] ° e = [mm]g^a[/mm] ° [mm]g^0[/mm] = [mm]g^a[/mm] = a
> Hier bin ich mir unsicher
Betrachte wieder den Exponenten
> G3)
> a´ ° a = g^-a ° [mm]g^a[/mm] = = [mm]g^0[/mm] = e
> wenn e korrekt ist
> G4)
> a ° b = [mm]g^a[/mm] ° [mm]g^b[/mm] = [mm]g^b[/mm] ° [mm]g^a[/mm] = b ° a
>
> Zur zweiten Teil Aufgabe:
> Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe soll ich hier |g|
> bestimmen wenn g aus Z kommt und g=-6 ist. Was für mich
> keinen sin macht
> Was muss ich hier genau machen?
Die Gruppe wird duch wiederholte Addition von -6 mit -6 erzeugt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Expo |
Danke
G1)
(a °b) ° c [mm] =(g^a°g^b) °g^c [/mm] = [mm] =(g^a+b) °g^c=g^a+b+c=g^a°(g^b+c)
[/mm]
=…=a°(b°c)
G2)
a °e = [mm] g^a [/mm] ° [mm] g^0 [/mm] = [mm] g^a+0 [/mm] =…=a
Für G3 und G4 ist ja getzt logisch
Aber woher wie ich das ich die Exponenten Addieren muss ? Wenn ° z.B + wäre es ja inkorrekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Expo |
Danke
G1)
(a °b) ° c [mm] =(g^a [/mm] ° [mm] g^b) [/mm] ° [mm] g^c [/mm] = =(g^(a+b)) ° [mm] g^c=g^{a+b+c}
[/mm]
[mm] =g^a [/mm] °(g^(b+c))=…=a°(b°c)
G2)
a °e = [mm] g^a [/mm] ° [mm] g^0 [/mm] = g^(a+0) =…=a
Für G3 und G4 ist ja getzt logisch
Aber woher wie ich das ich die Exponenten Addieren muss ? Wenn ° z.B + wäre es ja inkorrekt
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> Danke
> G1)
> (a °b) ° c [mm]=(g^a°g^b) °g^c[/mm] = [mm]=(g^a+b) °g^c=g^a+b+c=g^a°(g^b+c)[/mm]
>
> =…=a°(b°c)
>
> G2)
> a °e = [mm]g^a[/mm] ° [mm]g^0[/mm] = [mm]g^a+0[/mm] =…=a
>
Ich gehe mal davon aus, dass du das richtige meinst und nur die geschweiften Klammern vergessen hast.
> Für G3 und G4 ist ja getzt logisch
>
> Aber woher wie ich das ich die Exponenten Addieren muss ?
> Wenn ° z.B + wäre es ja inkorrekt
Das ist die Definition der Gruppe [mm](G,\red{\circ})[/mm], welche multiplikativ geschrieben ist [mm]|g|:=\{g^n\colon n\in \IZ\}[/mm]
Dann ist mit [mm]m,n\in |g|[/mm] die Verknüpfung [mm]m\circ n = g^{a}\circ g^{b}=g^{a+b}[/mm].
Beim zweiten ist es additiv geschrieben. Am Ende ist es doch wurscht, wie du es definierst selbst [mm]m\circ n := {}^ag_{\star}^\bullet \circ {}^bg_{\star}^\bullet = {}^{a+b}g_{\star}^\bullet[/mm] ist richtig.
Beim zweiten Teil ist es eben additiv geschrieben [mm] $(\IZ,\red{+})$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Expo |
Danke,
Nun noch zu 2)
Also ware |g| ={-6 * n |n€ Z}
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Nun noch zu 2)
> Also ware |g| ={-6 * n |n€ Z}
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Expo,
das Prüfen der Assoziativität kann man sich mit folgender Argumentation sparen:
Zeige, dass |g| eine Untergruppe von G ist. Damit ist |g| insbesondere eine Gruppe (von der noch zu zeigen ist, dass sie abelsch ist).
Viele Grüße
Tobias
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