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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:40 Mi 30.10.2013 | | Autor: | Kirschli |
| Aufgabe | | Man bestimme alle Untergruppen von [mm] \IZ [/mm] n. |
In unserem Skript sind Untergruppen folgend definiert:
Eine Untergruppe U einer Gruppe [mm] (G,\circ) [/mm] ist eine nichtleere
Teilmenge U [mm] \subset [/mm] G, wobei [mm] (U,\circ) [/mm] ebenfalls eine Gruppe bildet.
Unser Dozent hat uns den Tip gegeben, dass [mm] \IZn, [/mm] dasselbe ist wie [mm] \IZ [/mm] / [mm] n\IZ.
[/mm]
Leider bringt mich das nicht weiter :-/
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Findest denn überhaupt EINE Untergruppe? Oder hapert es am Begriff Untergruppe?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Mi 30.10.2013 | | Autor: | Kirschli |
Ich weiß, dass eine Untergruppe eine Teilmenge einer Gruppe ist und somit auch dieselben Eigenschaften besitzt. Eine Untergruppe kann assoziativ sein, d.h. aber nicht, unbedingt dass sie auch neutrales oder inverses Element besitzen oder abgeschlossen sein.
Ich habe keine Idee, wie ich alle Untergruppen zeigen soll...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Mi 30.10.2013 | | Autor: | hippias |
Nichts fuer ungut, aber das ergibt doch fast keinen Sinn: Du hast doch selbst die Definition einer Untergruppe genannt, und daraus ergibt sich doch sofort, dass die Verkuepfung assoziativ ist; ebenso ist die Menge abgeschlossen bezueglich der Verknuepfung, sonst liegt doch keine Gruppe vor.
Die Definition solltest Du noch einmal ganz genau durchdenken.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Mi 30.10.2013 | | Autor: | Kirschli |
hast Recht, da habe ich mich selbst durcheinander gebracht.
Also laut Definition besitzt eine Untergruppe [mm] (U,\circ) [/mm] die selben Eigenschaften, wie die Gruppe und bildet damit selbst eine Gruppe.
Aber, wie bestimme ich "alle Untergruppen von [mm] \IZ_{n}"?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Do 31.10.2013 | | Autor: | hippias |
Alle Untegruppen zu bestimmen, kann ein schwieriges Unterfangen sein, aber fuer [mm] $\IZ_{n}$ [/mm] geht es. Habt ihr ueber zyklische Gruppen gesprochen? Weisst Du, dass [mm] $(Z_{n},+)$ [/mm] zyklisch ist? Weisst Du etwas ueber die Untergruppen zyklischer Gruppen? Weisst Du, was die Ordnung eines Gruppenelementes ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Do 31.10.2013 | | Autor: | Kirschli |
> Alle Untegruppen zu bestimmen, kann ein schwieriges
> Unterfangen sein, aber fuer [mm]\IZ_{n}[/mm] geht es. Habt ihr ueber
> zyklische Gruppen gesprochen? Weisst Du, dass [mm](Z_{n},+)[/mm]
> zyklisch ist? Weisst Du etwas ueber die Untergruppen
> zyklischer Gruppen? Weisst Du, was die Ordnung eines
> Gruppenelementes ist?
In der Vorlesung hatten wir den Satz, dass "Jede zyklische Gruppe ist isomorph zu [mm] \IZ [/mm] oder [mm] \IZ_{n} [/mm] mit n [mm] \in \IN."
[/mm]
ich denke, dass [mm] (\IZ_{n},+) [/mm] eine zyklische Gruppe ist
könnte ich sagen: [mm] \IZ [/mm] / [mm] \IZ_{n} \times \IZ [/mm] / [mm] \IZ_{n} \Rightarrow [/mm] isomorph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Do 31.10.2013 | | Autor: | hippias |
> > Alle Untegruppen zu bestimmen, kann ein schwieriges
> > Unterfangen sein, aber fuer [mm]\IZ_{n}[/mm] geht es. Habt ihr ueber
> > zyklische Gruppen gesprochen? Weisst Du, dass [mm](Z_{n},+)[/mm]
> > zyklisch ist? Weisst Du etwas ueber die Untergruppen
> > zyklischer Gruppen? Weisst Du, was die Ordnung eines
> > Gruppenelementes ist?
>
>
> In der Vorlesung hatten wir den Satz, dass "Jede zyklische
> Gruppe ist isomorph zu [mm]\IZ[/mm] oder [mm]\IZ_{n}[/mm] mit n [mm]\in \IN."[/mm]
>
> ich denke, dass [mm](\IZ_{n},+)[/mm] eine zyklische Gruppe ist
Richtig. Welches Element erzeugt sie? Damit wird sich etwas anfangen lassen. Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass Du von den anderen Themen, nach denen ich Dich gefragt habe, nichts gehoert hast.
>
> könnte ich sagen: [mm]\IZ[/mm] / [mm]\IZ_{n} \times \IZ[/mm] / [mm]\IZ_{n} \Rightarrow[/mm]
> isomorph
Klar, ist aber so aussagekraeftig wie der Halbsatz "Zwei Aepfel [mm] $\Rightarrow$ [/mm] so schwer wie"
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