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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:07 Mo 18.06.2007 | | Autor: | Aileron |
| Aufgabe | Sei [mm]R = \IR[X][/mm]
Zeigen Sie es gibt keinen Isomorphismus zwischen M und N, es existiert keine bijektive linere Abbildung [mm]\phi: M \to N[/mm], so dass [mm]\phi(P(X).v) = P(X) * \phi(v) \quad \forall P(X) \in \IR[X][/mm] und [mm]\forall v \in M[/mm] |
Hinweis zur Aufgabenstellung.
In vorrangegangenen Aufgaben waren M und N Vektorräume über [mm]\IR^{2}[/mm]
Es ist anzunehmen das M und N in dieser Aufgabe wieder allgemeine Vektorräume sind.
Nun zu meiner Frage
Ich habe auch nach stundenlagem überlegen keine Lösungsansatz gefunden. um zu zeigen das diese Abbildung keinen Isomorphissmus datstellt muss ich zeigen des es entweder keine Surjektive oder keine Injektive abbildung gibt.
Ich konnte allerdings nichtmal nachweisen das diese Abbildung überhaupt linear ist.
Nur beweist meine Unfähigkeit leider noch nicht, dass die Aussage stimmt :)
Es würde mich sehr freuen, wenn mit jemand anhand dieser aufgabenstellung zeigt wie man im allgemeinen nachweist das eine Abbildung nicht isomorph ist.
Ein anderer Lösungsansatz war zu zeigen, das die abbildung von [mm]\phi[/mm] micht invertierbar ist, was auch wieder einen wiederspruch zu einem Isomorphismus dastellt.
P(X) ist aus dem Ring der Polynome. Die Ringeigenschaften sagen mir das es im allgemien kein Multiplikatives Inverses gibt, und ein Polynom ist im allgemienen auch nicht invertierbar. Dann werde ich auch keine inverse abbildung finden in der ich das Polynom als Skalar aus der Abbildung [mm]\phi^{-1}[/mm] herrausziehen kann.
Ist dieser ansatz richtig?
Aber wie Argumentiere ich das mathematich?
Gibt es einen eleganteren Ansatz?
mit freundlichen Grüßen
Siegurt Skoda
ps.: ich habe diese frage nicht in einem anderen Forum gestellt und habe dies auch nicht vor. ausserdem habe ich auf meiner internetrechersche keinen hinweis auf meine Fragestellung gefunden, und würde mich sehr freuen, wenn mir jemand die Aufgabe erklären könnte XD
pss.: (für den Server) Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Aileron
> Sei [mm]R = \IR[X][/mm]
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> Zeigen Sie es gibt keinen Isomorphismus zwischen M und N,
> es existiert keine bijektive linere Abbildung [mm]\phi: M \to N[/mm],
> so dass [mm]\phi(P(X).v) = P(X) * \phi(v) \quad \forall P(X) \in \IR[X][/mm]
> und [mm]\forall v \in M[/mm]
> Hinweis zur Aufgabenstellung.
>
> In vorrangegangenen Aufgaben waren M und N Vektorräume über
> [mm]\IR^{2}[/mm]
> Es ist anzunehmen das M und N in dieser Aufgabe wieder
> allgemeine Vektorräume sind.
>
> Gibt es einen eleganteren Ansatz?
Also das, was mir auf Anhieb einfallen würde, wäre ein Widerspruchsbeweis. Also annehmen, daß es einen solchen Isomorphismus gibt, und dann für ein spezielles Polynom (und evtl. ein spezielles [mm]v \in M[/mm]) den Widerspruch herbeiführen.
LG
Karsten
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