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Forum "Lineare Abbildungen" - Gruppen Isomorphismus
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Gruppen Isomorphismus: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Di 11.11.2008
Autor: schnuri

Aufgabe
Es sei (G, *) eine Gruppe und $ g [mm] \in [/mm] G $. Wir betrachten dann die Abbildung

$ [mm] \varphi_g: [/mm] G [mm] \to [/mm] G, \ x [mm] \mapsto g*x*g^{-1} [/mm] $ (g ist fest)

$ [mm] \varphi_g [/mm] $ heisst innerer Automorphismus von G. Man beweise:

Ist (H, *') eine weitere Gruppe und $ f: G [mm] \to [/mm] H $ ein Gruppen-Homomorphismus, so gilt für den Kern $ K [mm] \subset [/mm] G $ von f: $ [mm] \varphi_g(K) [/mm] = K $

Hi all,

kann mir jemand erklären wonach hier gefragt wird? Ich versteh es nicht.

Wir haben in einer anderen Aufgabe gezeigt, dass $ [mm] \varphi_g [/mm] $ ein Isomorphismus ist.

Vom Prof haben wir noch den Hinweis bekommen, dass zu zeigen ist, dass die in der Aufgabe definierte Abbildung $ [mm] \varphi_g [/mm] $ den Kern K von f genau auf den Kern K abbildet. Man hat also eine Gleichheit von Mengen zu zeigen und damit zwei Inklusionen.

H ist also eine beliebige Gruppe? Und K ist also der Kern der Abbildung f? Und $ [mm] \varphi_g [/mm] $ bildet den Kern wieder auf sich selbst ab? Also Identitätsabbildung?

Ich verstehe es nicht! Kann mir jemand einen Hinweis geben?

Danke und viele Grüße,
schnuri

        
Bezug
Gruppen Isomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:38 Di 11.11.2008
Autor: angela.h.b.


> Es sei (G, *) eine Gruppe und [mm]g \in G [/mm]. Wir betrachten dann
> die Abbildung
>  
> [mm]\varphi_g: G \to G, \ x \mapsto g*x*g^{-1}[/mm] (g ist fest)
>  
> [mm]\varphi_g[/mm] heisst innerer Automorphismus von G. Man beweise:
>
> Ist (H, *') eine weitere Gruppe und [mm]f: G \to H[/mm] ein
> Gruppen-Homomorphismus, so gilt für den Kern [mm]K \subset G[/mm]
> von f: [mm]\varphi_g(K) = K[/mm]


> Wir haben in einer anderen Aufgabe gezeigt, dass [mm]\varphi_g[/mm]
> ein Isomorphismus ist.
>  
> Vom Prof haben wir noch den Hinweis bekommen, dass zu
> zeigen ist, dass die in der Aufgabe definierte Abbildung
> [mm]\varphi_g[/mm] den Kern K von f genau auf den Kern K abbildet.
> Man hat also eine Gleichheit von Mengen zu zeigen und damit
> zwei Inklusionen.

hallo,

genau.

>  
> H ist also eine beliebige Gruppe?

Ja.

>  Und K ist also der Kern
> der Abbildung f?

Ja. Und f  f ist ein Homomorphismus, das ist wichtig. Homomorphismen haben ja gewisse besondere Eigenschaften.

>  Und [mm]\varphi_g[/mm] bildet den Kern wieder auf
> sich selbst ab?

Ja.

> Also Identitätsabbildung?

Das wird nicht gesagt. Daß eine Menge  auf sich selbst abgebildet wird, heißt nicht unbedingt , das jedes Element auf sich selbst abgebildet wird.

> Ich verstehe es nicht! Kann mir jemand einen Hinweis
> geben?

Eigentlich hat der Prof. alles gesagt...

Zu zeigen ist

1. [mm] \varphi_g(K) \subseteq [/mm]  K
2. [mm] K\subseteq \varphi_g(K). [/mm]

Solche Teilmengenbeziehung zeigt man elementweise, daß jedes Element der rechten also auch in der linken liegt.

Bei 1. ist also zu zeigen  [mm] x\in \varphi_g(K) [/mm] ==> [mm] x\in [/mm] K

(Man kann sich schonmal überlegen, was [mm] x\in [/mm] K bedeutet: x wird durch f auf das neutrale Element in H , [mm] e_H, [/mm] abgebildet.

Beweis:

Sei [mm] x\in \varphi_g(K) [/mm]

==> es gibt ein k [mm] \in [/mm] K mit [mm] x=g*k*g^{-1}. [/mm]

Nun interessiert man sich ja dafür, ob x im Kern von f ist. Also schaut man mal nach:

[mm] f(x)=f(g*k*g^{-1})= [/mm] ...    und nun mußt Du verwenden, was Du über Homomorphismen weißt.

Gruß v. Angela






Bezug
                
Bezug
Gruppen Isomorphismus: Verstanden!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:08 Mi 12.11.2008
Autor: schnuri

Hi Angela, vielen Dank! Habe mir gestern Abend noch den Kopf zerbrochen, doch heute kam die Erleuchtung :)

Hatte mich mit der Identitätsabbildung verheddert. f bildet den Kern auf das neutrale Element in H ab. Bedeutet natürlich nicht, dass $ [mm] \varphi_g(K) [/mm] $ auch auf das Neutrale in G abbildet!

Also bildet $ g * K * g^-1 $ alle Kerne K $ [mm] \subset [/mm] G $ von Homomorphismen wieder auf sich selbst (selbe Menge K) ab.

Zu zeigen ist
  
1. [mm]\varphi_g(K) \subseteq[/mm]  K
2. [mm]K\subseteq \varphi_g(K).[/mm]

Voraussetzung: f: G -> H ist ein beliebiger Gruppen-Homomorphismus, K $ [mm] \subset [/mm] G $ ist der Kern von f.

Zu 1)
Sei [mm]x\in \varphi_g(K)[/mm] ==> es gibt ein k [mm]\in[/mm] K mit [mm]x=g*k*g^{-1}.[/mm]
==> $ [mm] x=g*k*g^{-1} [/mm] $ [mm] (g^{-1} [/mm] von links und g von rechts multiplizieren)
<=> $ [mm] g^{-1}*x*g=g^{-1}*g*k*g^{-1}*g [/mm] $
<=> $ [mm] g^{-1}*x*g=e*k*e [/mm] $ (Gruppen-Axiome)
<=> $ [mm] g^{-1}*x*g=k [/mm] $ (Gruppen-Axiome)
==> k ist eindeutig bestimmt in Abhängigkeit von x

Zu 2)
Jetzt zeigt man, dass x im Kern von f ist. Dabei sei x [mm] \in [/mm] G und k [mm] \in [/mm] K:

$ f(x)=e $
==> $ [mm] f(x)=f(g*k*g^{-1})=e [/mm] $
<=> $ [mm] e=f(g*k*g^{-1})=f(g)*f(k)*f(g^{-1}) [/mm] $ (da G-Homomorphismus)
<=> $ [mm] f(g^{-1})*e*f(g) [/mm] = [mm] f(g^{-1})*f(g)*f(k)*f(g^{-1})*f(g) [/mm] $ (f(g^-1) von links, f(g) von rechts)
<=> $ [mm] f(g^{-1})*f(g) [/mm] = [mm] f(g^{-1}*g)*f(k)*f(g^{-1}*g) [/mm] $ (Gruppen-Axiom auf d linken Seite, Hom auf d rechten)
<=> $ [mm] f(g^{-1}*g) [/mm] = f(e) = f(e)*f(k)*f(e) $ (Gruppen-Axiome, Homomorphismen)
<=> $ e = e*f(k)*e $ (Aus Vorlesung ist bekannt, dass für Gruppen-Homomorphismen [mm] f(e_g) [/mm] = [mm] e_h [/mm] gilt)
<=> $ e = f(k) $ (Gruppen-Axiome)
Damit ist gezeigt, dass alle k aus K auf das neutrale Element von H abbilden

Somit folgt aus 1 und 2: 1. $ [mm] \varphi_g(K) \subseteq [/mm] K \ [mm] \wedge [/mm] \ K [mm] \subseteq \varphi_g(K) \gdw \varphi_g(K) [/mm] = K $

Anmerkung: Dabei gilt innerhalb von f(...) die Verknüpfung von G und außerhalb f()*f() die Verknüpfung von H (würd ich dann auf dem Aufgabenblatt direkt in der Rechnung so benutzen * und *')

Erscheint mir plausibel, kann man es so stehen lassen?

Vielen Dank!!

Gruß,
schnuri

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