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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Di 11.11.2008 | | Autor: | schnuri |
| Aufgabe | Es sei (G, *) eine Gruppe und $ g [mm] \in [/mm] G $. Wir betrachten dann die Abbildung
$ [mm] \varphi_g: [/mm] G [mm] \to [/mm] G, \ x [mm] \mapsto g*x*g^{-1} [/mm] $ (g ist fest)
$ [mm] \varphi_g [/mm] $ heisst innerer Automorphismus von G. Man beweise:
Ist (H, *') eine weitere Gruppe und $ f: G [mm] \to [/mm] H $ ein Gruppen-Homomorphismus, so gilt für den Kern $ K [mm] \subset [/mm] G $ von f: $ [mm] \varphi_g(K) [/mm] = K $ |
Hi all,
kann mir jemand erklären wonach hier gefragt wird? Ich versteh es nicht.
Wir haben in einer anderen Aufgabe gezeigt, dass $ [mm] \varphi_g [/mm] $ ein Isomorphismus ist.
Vom Prof haben wir noch den Hinweis bekommen, dass zu zeigen ist, dass die in der Aufgabe definierte Abbildung $ [mm] \varphi_g [/mm] $ den Kern K von f genau auf den Kern K abbildet. Man hat also eine Gleichheit von Mengen zu zeigen und damit zwei Inklusionen.
H ist also eine beliebige Gruppe? Und K ist also der Kern der Abbildung f? Und $ [mm] \varphi_g [/mm] $ bildet den Kern wieder auf sich selbst ab? Also Identitätsabbildung?
Ich verstehe es nicht! Kann mir jemand einen Hinweis geben?
Danke und viele Grüße,
schnuri
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> Es sei (G, *) eine Gruppe und [mm]g \in G [/mm]. Wir betrachten dann
> die Abbildung
>
> [mm]\varphi_g: G \to G, \ x \mapsto g*x*g^{-1}[/mm] (g ist fest)
>
> [mm]\varphi_g[/mm] heisst innerer Automorphismus von G. Man beweise:
>
> Ist (H, *') eine weitere Gruppe und [mm]f: G \to H[/mm] ein
> Gruppen-Homomorphismus, so gilt für den Kern [mm]K \subset G[/mm]
> von f: [mm]\varphi_g(K) = K[/mm]
> Wir haben in einer anderen Aufgabe gezeigt, dass [mm]\varphi_g[/mm]
> ein Isomorphismus ist.
>
> Vom Prof haben wir noch den Hinweis bekommen, dass zu
> zeigen ist, dass die in der Aufgabe definierte Abbildung
> [mm]\varphi_g[/mm] den Kern K von f genau auf den Kern K abbildet.
> Man hat also eine Gleichheit von Mengen zu zeigen und damit
> zwei Inklusionen.
hallo,
genau.
>
> H ist also eine beliebige Gruppe?
Ja.
> Und K ist also der Kern
> der Abbildung f?
Ja. Und f f ist ein Homomorphismus, das ist wichtig. Homomorphismen haben ja gewisse besondere Eigenschaften.
> Und [mm]\varphi_g[/mm] bildet den Kern wieder auf
> sich selbst ab?
Ja.
> Also Identitätsabbildung?
Das wird nicht gesagt. Daß eine Menge auf sich selbst abgebildet wird, heißt nicht unbedingt , das jedes Element auf sich selbst abgebildet wird.
> Ich verstehe es nicht! Kann mir jemand einen Hinweis
> geben?
Eigentlich hat der Prof. alles gesagt...
Zu zeigen ist
1. [mm] \varphi_g(K) \subseteq [/mm] K
2. [mm] K\subseteq \varphi_g(K).
[/mm]
Solche Teilmengenbeziehung zeigt man elementweise, daß jedes Element der rechten also auch in der linken liegt.
Bei 1. ist also zu zeigen [mm] x\in \varphi_g(K) [/mm] ==> [mm] x\in [/mm] K
(Man kann sich schonmal überlegen, was [mm] x\in [/mm] K bedeutet: x wird durch f auf das neutrale Element in H , [mm] e_H, [/mm] abgebildet.
Beweis:
Sei [mm] x\in \varphi_g(K) [/mm]
==> es gibt ein k [mm] \in [/mm] K mit [mm] x=g*k*g^{-1}.
[/mm]
Nun interessiert man sich ja dafür, ob x im Kern von f ist. Also schaut man mal nach:
[mm] f(x)=f(g*k*g^{-1})= [/mm] ... und nun mußt Du verwenden, was Du über Homomorphismen weißt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 Mi 12.11.2008 | | Autor: | schnuri |
Hi Angela, vielen Dank! Habe mir gestern Abend noch den Kopf zerbrochen, doch heute kam die Erleuchtung :)
Hatte mich mit der Identitätsabbildung verheddert. f bildet den Kern auf das neutrale Element in H ab. Bedeutet natürlich nicht, dass $ [mm] \varphi_g(K) [/mm] $ auch auf das Neutrale in G abbildet!
Also bildet $ g * K * g^-1 $ alle Kerne K $ [mm] \subset [/mm] G $ von Homomorphismen wieder auf sich selbst (selbe Menge K) ab.
Zu zeigen ist
1. [mm]\varphi_g(K) \subseteq[/mm] K
2. [mm]K\subseteq \varphi_g(K).[/mm]
Voraussetzung: f: G -> H ist ein beliebiger Gruppen-Homomorphismus, K $ [mm] \subset [/mm] G $ ist der Kern von f.
Zu 1)
Sei [mm]x\in \varphi_g(K)[/mm] ==> es gibt ein k [mm]\in[/mm] K mit [mm]x=g*k*g^{-1}.[/mm]
==> $ [mm] x=g*k*g^{-1} [/mm] $ [mm] (g^{-1} [/mm] von links und g von rechts multiplizieren)
<=> $ [mm] g^{-1}*x*g=g^{-1}*g*k*g^{-1}*g [/mm] $
<=> $ [mm] g^{-1}*x*g=e*k*e [/mm] $ (Gruppen-Axiome)
<=> $ [mm] g^{-1}*x*g=k [/mm] $ (Gruppen-Axiome)
==> k ist eindeutig bestimmt in Abhängigkeit von x
Zu 2)
Jetzt zeigt man, dass x im Kern von f ist. Dabei sei x [mm] \in [/mm] G und k [mm] \in [/mm] K:
$ f(x)=e $
==> $ [mm] f(x)=f(g*k*g^{-1})=e [/mm] $
<=> $ [mm] e=f(g*k*g^{-1})=f(g)*f(k)*f(g^{-1}) [/mm] $ (da G-Homomorphismus)
<=> $ [mm] f(g^{-1})*e*f(g) [/mm] = [mm] f(g^{-1})*f(g)*f(k)*f(g^{-1})*f(g) [/mm] $ (f(g^-1) von links, f(g) von rechts)
<=> $ [mm] f(g^{-1})*f(g) [/mm] = [mm] f(g^{-1}*g)*f(k)*f(g^{-1}*g) [/mm] $ (Gruppen-Axiom auf d linken Seite, Hom auf d rechten)
<=> $ [mm] f(g^{-1}*g) [/mm] = f(e) = f(e)*f(k)*f(e) $ (Gruppen-Axiome, Homomorphismen)
<=> $ e = e*f(k)*e $ (Aus Vorlesung ist bekannt, dass für Gruppen-Homomorphismen [mm] f(e_g) [/mm] = [mm] e_h [/mm] gilt)
<=> $ e = f(k) $ (Gruppen-Axiome)
Damit ist gezeigt, dass alle k aus K auf das neutrale Element von H abbilden
Somit folgt aus 1 und 2: 1. $ [mm] \varphi_g(K) \subseteq [/mm] K \ [mm] \wedge [/mm] \ K [mm] \subseteq \varphi_g(K) \gdw \varphi_g(K) [/mm] = K $
Anmerkung: Dabei gilt innerhalb von f(...) die Verknüpfung von G und außerhalb f()*f() die Verknüpfung von H (würd ich dann auf dem Aufgabenblatt direkt in der Rechnung so benutzen * und *')
Erscheint mir plausibel, kann man es so stehen lassen?
Vielen Dank!!
Gruß,
schnuri
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