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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Di 30.03.2010 | | Autor: | MosDef |
| Aufgabe | Konstruktion von [mm] \IZ [/mm] aus [mm] \IN
[/mm]
Gegeben sei auf [mm] \IN \times \IN [/mm] die Relation
(a,b) [mm] \sim [/mm] (a',b') [mm] :\gdw [/mm] a+b' = a'+b
Zeigen Sie:
(a) [mm] \sim [/mm] ist Äquivalenzrelation
(b) Auf der Menge [mm] (\IN \times \IN)/\sim [/mm] der Äquivalenzklassen definiert die Vorschrift
[(a,b)] + [(a',b')] := [(a+a',b+b')]
eine Verknüpfung, die [mm] (\IN \times \IN)/ \sim [/mm] zu einer abelschen Gruppe macht.
(c) Die Abbildung
[mm] f:((\IN \times \IN)/\sim [/mm] , +) [mm] \to (\IZ [/mm] , +) , [(a,b)] [mm] \mapsto [/mm] a-b
ist ein Isomorphismus. |
Ich habe versucht, die Aufgabe selbständig zu lösen und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:
(a)
exemplarisch Transitivität:
Seien (a,b), (a',b'), (a'',b'') [mm] \in \IN \times \IN [/mm]
mit (a,b) [mm] \sim [/mm] (a',b') und (a',b') [mm] \sim [/mm] (a'',b'').
Dann gilt a+b' = a'+b und a'+b'' = a''+b' und somit ist
a+b'+a'+b'' = a'+b+a''+b' | -b'-a'
a +b'' = b +a''
= a''+b (Kommutativität auf [mm] \IN)
[/mm]
Also (a,b) [mm] \sim [/mm] (a'',b'')
(b)
Ass.:
([(a,b)]+[(a',b')])+[(a'',b'')]
= [(a+a',b+b')]+[(a'',b'')]
= [(a+a'+a'',b+b'+b'')]
= [(a,b)]+[(a'+a'',b'+b'')]
= [(a,b)]+([(a',b')]+[(a'',b'')])
neutr. El.:
[(0,0)], denn [(0,0)]+[(a,b)] = [(0+a,0+b)] = [(a,b)]
inv. El.:
-[(a,b)], denn -[(a,b)]+[(a,b)] = [(a-a,b-b)] = [(0,0)]
Komm.:
[(a,b)]+[(a',b')] = [(a+a',b+b')] = [(a'+a,b'+b)] =[(a',b')]+[(a,b)]
(c)
f ist Gruppenhomomorphismus:
f([(a,b)]+[(a',b')]) = f([(a+a',b+b')]) = (a+a')-(b+b') = (a-b)+(a'-b') = f([(a,b)])+f([(a',b')])
f ist bijektiv:
Sei f([(a,b)]) = f([(a',b')]), also a-b=a'-b'. Dann ist a+b'=a'+b und somit nach Vor. (a,b) [mm] \sim [/mm] (a',b'), also [(a,b)]=[(a',b')]. Damit ist f injektiv.
f ist auch surjektiv, da sich jedes k [mm] \in \IZ [/mm] durch a-b (a,b [mm] \in \IN) [/mm] darstellen lässt (Beweis?).
Könnte mir jemand mitteilen, ob ich die Aufgabe richtig (und vollständig) gelöst habe? Ich zweifle noch an Teil (b)-inv. El. und Teil (c)-Surjektivität.
Vielen Dank,
Mos
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Di 30.03.2010 | | Autor: | MosDef |
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> Könnte mir jemand mitteilen, ob ich die Aufgabe richtig
> (und vollständig) gelöst habe? Ich zweifle noch an Teil
> (b)-inv. El. und Teil (c)-Surjektivität.
>
Und wie ist das mit der Wohldefiniertheit, gibts da noch was zu zeigen?
> Vielen Dank,
> Mos
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> >
> >
> > Könnte mir jemand mitteilen, ob ich die Aufgabe richtig
> > (und vollständig) gelöst habe? Ich zweifle noch an Teil
> > (b)-inv. El. und Teil (c)-Surjektivität.
> >
> Und wie ist das mit der Wohldefiniertheit, gibts da noch
> was zu zeigen?
Hallo,
ja.
Man hat bei Abbildungen f auf Äquivalenzklassen ja ein grundsätzliches Problem: es kann [x]=[y] sein, obgleich [mm] x\not=y, [/mm] und man muß sicherstellen, daß für [x]=[y] wirklich f([x])=f([y]) gilt.
Du mußt also zeigen, daß für [(a,b)]=[(c,d)] gilt f([(a,b)])= f([(c,d)]).
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Di 30.03.2010 | | Autor: | MosDef |
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> >
> > Du mußt also zeigen, daß für [(a,b)]=[(c,d)] gilt
> > f([(a,b)])= f([(c,d)]).
> >
> > Gruß v. Angela
>
>
> Danke, dann versuch ich das mal...wo muss ich es dann
> einfügen?
Hallo,
bevor Du zeigst, daß es ein Homomorphismus ist.
>
> Der Rest der Aufgabe ist ok?
Nahezu.
Gruß v. Angela
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> Konstruktion von [mm]\IZ[/mm] aus [mm]\IN[/mm]
> Gegeben sei auf [mm]\IN \times \IN[/mm] die Relation
> (a,b) [mm]\sim[/mm] (a',b') [mm]:\gdw[/mm] a+b' = a'+b
>
> Zeigen Sie:
>
> (a) [mm]\sim[/mm] ist Äquivalenzrelation
>
> (b) Auf der Menge [mm](\IN \times \IN)/\sim[/mm] der
> Äquivalenzklassen definiert die Vorschrift
> [(a,b)] + [(a',b')] := [(a+a',b+b')]
> eine Verknüpfung, die [mm](\IN \times \IN)/ \sim[/mm] zu einer
> abelschen Gruppe macht.
>
> (c) Die Abbildung
> [mm]f:((\IN \times \IN)/\sim[/mm] , +) [mm]\to (\IZ[/mm] , +) , [(a,b)]
> [mm]\mapsto[/mm] a-b
> ist ein Isomorphismus.
> Ich habe versucht, die Aufgabe selbständig zu lösen und
> bin zu folgendem Ergebnis gekommen:
>
> (a)
>
> exemplarisch Transitivität:
> Seien (a,b), (a',b'), (a'',b'') [mm]\in \IN \times \IN[/mm]
> mit (a,b) [mm]\sim[/mm] (a',b') und (a',b') [mm]\sim[/mm] (a'',b'').
> Dann gilt a+b' = a'+b und a'+b'' = a''+b' und somit ist
> a+b'+a'+b'' = a'+b+a''+b' | -b'-a'
> a +b'' = b +a''
> = a''+b (Kommutativität auf [mm]\IN)[/mm]
> Also (a,b) [mm]\sim[/mm] (a'',b'')
Hallo,
richtig.
>
>
> (b)
>
> Ass.:
> ([(a,b)]+[(a',b')])+[(a'',b'')]
> = [(a+a',b+b')]+[(a'',b'')]
> = [(a+a'+a'',b+b'+b'')]
Hier müßtest Di eigentlich zunächst noch klammern: [((a+a')+a'',(b+b')+b'')], dann die Klammern mit dem Hinweis auf das Rechnen in [mm] \IN [/mm] versetzen.
> = [(a,b)]+[(a'+a'',b'+b'')]
> = [(a,b)]+([(a',b')]+[(a'',b'')])
>
> neutr. El.:
> [(0,0)], denn [(0,0)]+[(a,b)] = [(0+a,0+b)] = [(a,b)]
Du müßtest eigentlich noch zeigen: [(a,b)]+[(0,0)]=[(a,b)], allerdings sparst Du das, wenn Du zuvor die Kommutativität zeigst.
>
> inv. El.:
> -[(a,b)], denn -[(a,b)]+[(a,b)] = [(a-a,b-b)] = [(0,0)]
Nein, das geht nicht, denn kein Mensch weiß, was -[(a,b)] bedeuten soll.
Magst Du selbst noch überlegen? - Ich bin mir ziemlich sicher, daß es Dir einfällt, denn Diu machst die Sache hier ja ziemlich gut.
>
> Komm.:
> [(a,b)]+[(a',b')] = [(a+a',b+b')] = [(a'+a,b'+b)]
> =[(a',b')]+[(a,b)]
Ja.
>
>
> (c)
>
> f ist Gruppenhomomorphismus:
> f([(a,b)]+[(a',b')]) = f([(a+a',b+b')]) = (a+a')-(b+b') =
> (a-b)+(a'-b') = f([(a,b)])+f([(a',b')])
Ja. Für eine Abgabe wäre es vermutlich nötig, hier und oben jeden Schritt zu begründen, z.B. "Rechnen in [mm] \IN".
[/mm]
Zur Wohldefiniertheit: anderer Beitrag in diesem Thread.
>
> f ist bijektiv:
> Sei f([(a,b)]) = f([(a',b')]), also a-b=a'-b'. Dann ist
> a+b'=a'+b und somit nach Vor. (a,b) [mm]\sim[/mm] (a',b'), also
> [(a,b)]=[(a',b')]. Damit ist f injektiv.
Ja.
> f ist auch surjektiv, da sich jedes k [mm]\in \IZ[/mm] durch a-b
> (a,b [mm]\in \IN)[/mm] darstellen lässt (Beweis?).
Du kannst es so machen: Sei k [mm] \in \IZ.
[/mm]
1. [mm] k\in \IN: [/mm] k=k-0= f([k,0])
2. [mm] k\in \IZ [/mm] \ [mm] \IN: [/mm] k=0-(-k) ...
>
>
> Könnte mir jemand mitteilen, ob ich die Aufgabe richtig
> (und vollständig) gelöst habe?
Ziemlich gut, finde ich.
Gruß v. Angela
Ich zweifle noch an Teil
> (b)-inv. El. und Teil (c)-Surjektivität.
>
> Vielen Dank,
> Mos
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Di 30.03.2010 | | Autor: | MosDef |
Danke Angela! Sehr nett von Dir, dass Du Dich damit beschäftigt hast. Abgeben muss ich nix, bereite mich auf Diplomprüfungen vor (Mathe im Nebenfach). Habe noch einiges vor mir, u.a. die gesamte Lineare Algebra 2...
Deine Anmerkungen stimmen mich aber fürs Erste zuversichtlich :)
Grüße, Mos
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Mi 31.03.2010 | | Autor: | MosDef |
> >
> > inv. El.:
> > -[(a,b)], denn -[(a,b)]+[(a,b)] = [(a-a,b-b)] =
> [(0,0)]
>
> Nein, das geht nicht, denn kein Mensch weiß, was -[(a,b)]
> bedeuten soll.
>
Nochmal:
Inverses Element ist [(b,a)], da [(b,a)]+[(a,b)]=[(b+a,a+b)]=[(0,0)], weil (b+a)+0=0+(a+b) und damit [mm] [(b+a,a+b)]\sim[(0,0)]
[/mm]
Und zur Wohldefiniertheit in Teil (c):
Sei [mm] [(c,d)]\in \IN\times\IN/ \sim [/mm] mit [(a,b)]=[(c,d)]. Dann gilt wegen [mm] \sim
[/mm]
a+d=c+b, also a-b=c-d und damit f([(a,b)])=f([(c,d)])
Ist das korrekt so?
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> > >
> > > inv. El.:
> > > -[(a,b)], denn -[(a,b)]+[(a,b)] = [(a-a,b-b)] =
> > [(0,0)]
> >
> > Nein, das geht nicht, denn kein Mensch weiß, was -[(a,b)]
> > bedeuten soll.
> >
> Nochmal:
>
> Inverses Element ist [(b,a)], da
> [(b,a)]+[(a,b)]=[(b+a,a+b)]=[(0,0)], weil (b+a)+0=0+(a+b)
> und damit [mm][(b+a,a+b)]\red{\sim}[(0,0)][/mm]
Es muß stattdessen [mm] \red{=} [/mm] dastehen.
>
>
> Und zur Wohldefiniertheit in Teil (c):
>
> Sei [mm][(c,d)]\in \IN\times\IN/ \sim[/mm] mit [(a,b)]=[(c,d)]. Dann
> gilt wegen [mm]\sim[/mm]
> a+d=c+b, also a-b=c-d und damit f([(a,b)])=f([(c,d)])
>
Sonst ist alles richtig.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Mi 31.03.2010 | | Autor: | MosDef |
> >
> > Inverses Element ist [(b,a)], da
> > [(b,a)]+[(a,b)]=[(b+a,a+b)]=[(0,0)], weil (b+a)+0=0+(a+b)
> > und damit [mm][(b+a,a+b)]\red{\sim}[(0,0)][/mm]
>
> Es muß stattdessen [mm]\red{=}[/mm] dastehen.
> >
Na ja, ich wollte eigentlich die Gleichheit der Äq.klassen, die ich ja eine Zeile drüber schon angegeben habe, mit der Äquivalenz der Elemente begründen. Hätte also die eckigen Klammern weglassen müssen...
Also vielen Dank nochmal für die Hilfe, habs glaub ich komplett kapiert.
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