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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Kati |
| Aufgabe | Es Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie:
Wenn a, b [mm] \in [/mm] G vertauschbar mit ord(a) = m, ord(b) = n, dann gilt
ord(ab) =mn genau dann wenn ggT(m,n)=1
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Ich habe diese Frage noch in keinem Internetforum gestellt.
Hallo!
Also ich hab ord(a) ist ja folgendermaßen definiert:
Sei G Gruppe und f: [mm] \IZ [/mm] -> G , n -> [mm] g^{n} [/mm] ein Homomorphismus. Sei ker f = n [mm] \IZ [/mm] .
ord(a) = n falls n [mm] \not= [/mm] 0 und ord(a) = [mm] \infty [/mm] falls n=0
okay, ich hab hier mal ein bisschen rumprobiert:
sei ord(ab)=mn
also ker f = mn [mm] \IZ
[/mm]
also [mm] (ab)^{mn \IZ} [/mm] = e
also [mm] (ab)^{mn} [/mm] = e
da ord(a) = m ist [mm] a^{m}=e [/mm] und da ord(b) = n ist [mm] b^{n}=e
[/mm]
irgendwie muss ich ja zeigen: aus k|m und k|n folgt k=1
also kann ich ja auch m=kx und n=ky voraussetzen
jetzt hab ich mir gedacht ich setz das irgendwie mal ein:
[mm] e=a^{m}=b^{n}=(ab)^{mn}
[/mm]
also [mm] e=a^{kx}=b^{ky}=(ab)^{kykx}
[/mm]
nur irgendwie komm ich hier nicht weiter.
ich könnte mal Hilfe gebrauchen. Ich nehm an das was ich gemacht hab ist Quatsch, aber ich weiß sonst gar nichts anderes wie ich da dran gehen soll.
Danke schon mal für die Hilfe!
Kati
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> Es Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie:
> Wenn a, b [mm]\in[/mm] G vertauschbar mit ord(a) = m, ord(b) = n,
> dann gilt
> ord(ab) =mn genau dann wenn ggT(m,n)=1
>
Hallo,
also das mit Deiner Ordnung, f und dem Homomorphismus ist 'ne Nummer zu hoch für mich.
Für mich ist die Ordnung des Elementes a die Mächtigkeit der von a erzeugten Untergruppe.
Im Falle endlicher Ordnung: ord(a)=m <==> [mm] a^m=1 [/mm] und [mm] a^s\not=1 [/mm] für s<m.
"==>"
Sei also G eine Gruppe,
seien a, b [mm]\in[/mm] G vertauschbar mit ord(a) = m, ord(b) = n, und sei ord(ab) =mn.
Zu zeigen: dann gilt ggT(m,n)=1.
Bew.: sei k=ggT(m,n). Dann gibt es x,y mit
> m=kx und n=ky
Betrachte nun
[mm] (ab)^{kxy}. [/mm] Da ord(ab)=mn, ist für k>1
[mm] 1\not=(ab)^{kxy}
[/mm]
= [mm] a^{kxy}b^{kxy} [/mm] (wegen a,b vertauchbar)
=...
=1. Widerspruch. Also ist k nicht großer als 1.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:50 So 29.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Angela!
> also das mit Deiner Ordnung, f und dem Homomorphismus ist
> 'ne Nummer zu hoch für mich.
>
> Für mich ist die Ordnung des Elementes a die Mächtigkeit
> der von a erzeugten Untergruppe.
> Im Falle endlicher Ordnung: ord(a)=m <==> [mm]a^m=1[/mm] und
> [mm]a^s\not=1[/mm] für s<m.
Eure beiden Definitionen sind gleich:
Wenn du zu $a [mm] \in [/mm] G$ den Homomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : [mm] \IZ \to [/mm] G$, $n [mm] \mapsto a^n$ [/mm] betrachtest, so liegt ein $n [mm] \in \IZ$ [/mm] genau dann in [mm] $\ker \varphi$, [/mm] wenn [mm] $a^n [/mm] = [mm] 1_G$ [/mm] ist. Und der eindeutig bestimmte Erzeuger [mm] $\ge [/mm] 0$ von [mm] $\ker \varphi$ [/mm] ist 0, wenn $a$ unendliche Ordnung hat, und andernfalls genau die Ordnung, da es das kleinste $n [mm] \in \IN_{>0}$ [/mm] ist mit [mm] $a^n [/mm] = [mm] 1_G$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 So 29.10.2006 | | Autor: | Kati |
Hallo nochmal!
Ich hab mal eine Frage, wie kommst du von ord(ab)=mn, dann ist für k>1
1 [mm] \not= (ab)^{kxy} [/mm] ?
Kannste das mal erklären.
Und zur Rückrichtug:
sei ggt(m,n)=1 und ord(a)=m und ord(b)=n
dann gilt doch [mm] (ab)^{nm} [/mm] = [mm] a^{nm } b^{nm} [/mm] = 1
wofür brauche ich hier aber das mit dem ggT ?
Gruß von Kati
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 So 29.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Kati!
> Ich hab mal eine Frage, wie kommst du von ord(ab)=mn, dann
> ist für k>1
> 1 [mm]\not= (ab)^{kxy}[/mm] ?
> Kannste das mal erklären.
Wenn $k > 1$ ist und die Ordnung von $a b$ gleich $m n$ ist, dann ist $0 < k x y < m n$ und somit $(a [mm] b)^{k x y} \neq [/mm] 1$ (wegen der Definition von Ordnung).
> Und zur Rückrichtug:
> sei ggt(m,n)=1 und ord(a)=m und ord(b)=n
> dann gilt doch [mm](ab)^{nm}[/mm] = [mm]a^{nm } b^{nm}[/mm] = 1
> wofür brauche ich hier aber das mit dem ggT ?
Du musst noch zeigen, dass $(a [mm] b)^k \neq [/mm] 1$ ist fuer $0 < k < n m$. Dazu brauchst du, dass [mm] $a^i b^j [/mm] = 1$ ist genau dann, wenn [mm] $a^i [/mm] = 1$ und [mm] $b^j [/mm] = 1$ ist (weisst du, wie du damit die eigentliche Aussage beweist?). Und das bekommst du mit Hilfe des ggTs hin. Wenn der ggT von $m$ und $n$ gleich $1$ ist, dann gibt es ja ganze Zahlen $x, y$ mit $1 = x m + y n$. Kannst du damit was anfangen?
LG Felix
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