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| Aufgabe | Es seien [mm] $\langle [/mm] G, [mm] \cdot, [/mm] e [mm] \rangle$ [/mm] und [mm] $\langle [/mm] G', [mm] \cdot, [/mm] e' [mm] \rangle$ [/mm] zwei Gruppen, weiterhin sei $h:G [mm] \to [/mm] G'$ ein Homomorphismus. Beweisen Sie:
Es sei $H,K [mm] \subseteq [/mm] G$ zwei Untergruppen von G, dann ist $H [mm] \cap [/mm] K$ eine Gruppe. |
Hallo,
ich benötige bei dieser Aufgabe etwas Hilfe.
Musterlösung:
Um zu zeigen, dass $H [mm] \cap [/mm] K$ eine Untergruppe von G ist, müssen wir drei Dinge zeigen:
i) Es gibt ein neutrales Element in $H [mm] \cap [/mm] K$: Aus der Vorlesung wissen wir, dass das neutrale Element einer Untergruppe identisch zum neutralen Element der Gruppe ist. Somit gilt $e [mm] \in [/mm] H$ und $e [mm] \in [/mm] K$ und damit $e [mm] \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] K$.
ii) Es gibt inverse Elemente in $H [mm] \cap [/mm] K$: Es sei $x [mm] \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] K$. Damit gilt auch $x [mm] \in [/mm] H$ und $x [mm] \in [/mm] K$. Da H und K nach Voraussetzung Gruppen sind, müssen diese auch jeweils ein inverses Element für x beinhalten. Diese beiden inversen Elemente müssen identisch sein, da H und K Untergruppen von G sind und inverse Elemente in der Untergruppe auch inverse in der Gruppe, und inverse Elemente eindeutig sind. Somit gibt es also ein [mm] $x^{-1} \in [/mm] G$ mit [mm] $x^{-1} \in [/mm] H$ und [mm] $x^{-1} \in [/mm] K$. Daraus folgt [mm] $x^{-1} \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] K$.
iii) Jetzt zeigen wir noch die Abgeschlossenheit von $H [mm] \cap [/mm] K$ bezüglich der Verknüpfung der Gruppe: Es sei $x,y [mm] \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] K$. Damit gilt aufgrund der Abgeschlossenheit von Untergruppen auch $xy [mm] \in [/mm] H$, sowie $xy [mm] \in [/mm] K$, woraus $xy [mm] \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] K$ wie benötigt folgt.
Wieso spricht die Musterlösung davon, dass man zeigen will "$H [mm] \cap [/mm] K$ ist eine Untergruppe von G", obwohl es in der Aufgabenstellung heißt "$H [mm] \cap [/mm] K$ ist eine Gruppe"?
Warum wird hier nicht das Axiom für Assoziativität gezeigt?
Vielen Dank für die Mühe!
Gruß
el_grecco
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Hallo,
mal eine knappe Antwort (ich stelle mal auf teilweise beantwortet).
> Es seien [mm]\langle G, \cdot, e \rangle[/mm] und [mm]\langle G', \cdot, e' \rangle[/mm]
> zwei Gruppen, weiterhin sei [mm]h:G \to G'[/mm] ein Homomorphismus.
> Beweisen Sie:
>
> Es sei [mm]H,K \subseteq G[/mm] zwei Untergruppen von G, dann ist [mm]H \cap K[/mm]
> eine Gruppe.
> Hallo,
>
> ich benötige bei dieser Aufgabe etwas Hilfe.
>
>
> Musterlösung:
> Um zu zeigen, dass [mm]H \cap K[/mm] eine Untergruppe von G ist,
> müssen wir drei Dinge zeigen:
>
> i) Es gibt ein neutrales Element in [mm]H \cap K[/mm]: Aus der
> Vorlesung wissen wir, dass das neutrale Element einer
> Untergruppe identisch zum neutralen Element der Gruppe ist.
> Somit gilt [mm]e \in H[/mm] und [mm]e \in K[/mm] und damit [mm]e \in H \cap K[/mm].
>
> ii) Es gibt inverse Elemente in [mm]H \cap K[/mm]: Es sei [mm]x \in H \cap K[/mm].
> Damit gilt auch [mm]x \in H[/mm] und [mm]x \in K[/mm]. Da H und K nach
> Voraussetzung Gruppen sind, müssen diese auch jeweils ein
> inverses Element für x beinhalten. Diese beiden inversen
> Elemente müssen identisch sein, da H und K Untergruppen
> von G sind und inverse Elemente in der Untergruppe auch
> inverse in der Gruppe, und inverse Elemente eindeutig sind.
> Somit gibt es also ein [mm]x^{-1} \in G[/mm] mit [mm]x^{-1} \in H[/mm] und
> [mm]x^{-1} \in K[/mm]. Daraus folgt [mm]x^{-1} \in H \cap K[/mm].
>
> iii) Jetzt zeigen wir noch die Abgeschlossenheit von [mm]H \cap K[/mm]
> bezüglich der Verknüpfung der Gruppe: Es sei [mm]x,y \in H \cap K[/mm].
> Damit gilt aufgrund der Abgeschlossenheit von Untergruppen
> auch [mm]xy \in H[/mm], sowie [mm]xy \in K[/mm], woraus [mm]xy \in H \cap K[/mm] wie
> benötigt folgt.
>
>
>
> Wieso spricht die Musterlösung davon, dass man zeigen will
> "[mm]H \cap K[/mm] ist eine Untergruppe von G", obwohl es in der
> Aufgabenstellung heißt "[mm]H \cap K[/mm] ist eine Gruppe"?
Das ist das gleiche. [mm]H\cap{K}[/mm] ist ja Teilmenge von G und somit genau dann Gruppe, wenn es Untergruppe von G ist.
> Warum wird hier nicht das Axiom für Assoziativität
> gezeigt?
Das die Verknüpfung mit den Elementen von [mm] H\cap{K} [/mm] möglich ist, ist offensichtlich. Somit wird die Assoziativität von der Unterguppe automatisch 'geerbt'.
Man muss also tatsächlich nur die Unterguppenaxiome nachweisen, wobei da im Prinzip einfach verwendet wird, dass H und K selbst Untergruppen sind.
Hilft dir das schon, die Musterlösung nachvollziehen zu können?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Fr 13.07.2012 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Diophant,
Danke jetzt habe ich es verstanden.
Bitte stelle den Status auf "Beantwortet". 
Gruß
el_grecco
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