Gruppen beweis mit Assoziatät < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Narokath |
| Aufgabe | Sei G eine Menge mit assoziativer Verknüpfung * : G x G [mm] \to [/mm] G und der Eigenschaft
[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] G : (( [mm] \exists [/mm] !x [mm] \in [/mm] G : a * x = b) [mm] \wedge [/mm] ( [mm] \exists [/mm] !y [mm] \in [/mm] G : y * a = b)).
Zeigen Sie, dass dann (G, * ) eine Gruppe ist. |
Hallo,
Also grundlegend hab ich den Sachverhalt verstanden denke ich, was eine Gruppe ist weiss ich auch.
Die assoziativität ist ja bereits gegeben aus der Aufgabe, also gilt es das Neutrale und analog das Inverse Element zu finden, nur weiss ich überhaupt nicht wie ich das Anstellen kann. Ich hab bereits versucht in die Assoziativitätsformel die Eigenschaft einzusetzen also
(a * b) * c = a * (b * c)
--> (a * a * x ) * c = a * (y * a * c)
daraus könnte man schliessen das a = y und x = a ist
und dann wäre a * a * a * c = a * a * a * c
was mir aber eigentlich über haupt nichts bringt
schon gar nicht zum neutralen Element.
wäre echt nett wenn mir jemanden einen tipp dafür geben könnte, lösen würde ich es ja auch gerne selbst 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei G eine Menge mit assoziativer Verknüpfung * : G x G [mm]\to[/mm]
> G und der Eigenschaft
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> [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] G : (( [mm]\exists[/mm] !x [mm]\in[/mm] G : a * x = b) [mm]\wedge[/mm]
> ( [mm]\exists[/mm] !y [mm]\in[/mm] G : y * a = b)).
>
> Zeigen Sie, dass dann (G, * ) eine Gruppe ist.
Hallo,
zum Problem mit dem neutralen Element:
Sei a ein beliebiges Element aus G, also [mm] a\in [/mm] G.
Nun schau Dir an, wie G charkterisiert ist: für alle a,b [mm] \in [/mm] G gilt: man findet ein [mm] x\in [/mm] G mit a*x=b und man findet ein [mm] y\in [/mm] G mit y*b=a.
Wenn das für alle a,b [mm] \in [/mm] G gilt, gilt das auch für a,a [mm] \in [/mm] G. Was bedeutet das?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:33 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Narokath |
ah natürlich vielen dank!
Das heisst das das neutrales Element: [mm] \exists [/mm] e [mm] \forall [/mm] a in [mm] \M [/mm] ; a * e = a = e * a
also zur aufgabe [mm] \forall [/mm] a,a [mm] \in [/mm] G : (( [mm] \exists [/mm] ! x [mm] \in [/mm] G : a * x = a) [mm] \wedge (\exists [/mm] ! y [mm] \in [/mm] G : y * a =a))
also gilt a * x = y * a = a
x und y sind das neutrale Element
und zum inversen:
zur Def: [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G [mm] \exists [/mm] i [mm] \in [/mm] M : a * i = e = i * a
also zur aufgabe:
[mm] \forall [/mm] a,e [mm] \in [/mm] G : (( [mm] \exists [/mm] ! x [mm] \in [/mm] G : a * x = e) [mm] \wedge (\exists [/mm] ! y [mm] \in [/mm] G : y * a =e))
nur bin ich mir nicht ganz sicher da das ganze ja nicht kommutativ ist ob ich schreiben kann da e ja x und y ist:
a * x1 = x
y1*a = y
wenn das gilt wäre die aufgabe ja eigentlich gelöst
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