Gruppeneigenschaft Matrix-mult < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei $m, n [mm] \in\IN$ [/mm] und $K$ Körper.
b) Prüfen Sie für $n [mm] \ge [/mm] 2$ ob $S := [mm] \{A \in GL_n(K) |$ A symmetrisch$\}$ [/mm] eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation ist.
c) Prüfen Sie für $n [mm] \ge [/mm] 2$ ob $G := [mm] \{A \in GL_n(K) | A^T = A^{-1}\}$ [/mm] eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation ist. |
(in Aufgabe a) stand $A [mm] \in K^{m\times n}$, [/mm] sonst ist die Bedeutung von m,n wohl nicht verständlich)
Gruppeneigenschaft:
Assoziativität -> wird von normaler Matrixmultiplikation übernommen (Beweis dürfte nicht nötig sein)
(links-)neutrales Element -> Einheitsmatrix (Beweis dürfte nicht nötig sein)
(links-)inverses Element -> $A [mm] \in GL_n(K)$ [/mm] (lineare Gruppe) also per Vorgabe invertierbar
Jetzt stelle ich mir die Frage: Was soll ich eigentlich prüfen?
(Ein Inverses berechnet haben wir noch nie für Matrizen)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:04 Fr 18.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]m, n \in\IN[/mm] und [mm]K[/mm] Körper.
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> b) Prüfen Sie für [mm]n \ge 2[/mm] ob [mm]S := \{A \in GL_n(K) |[/mm] A
> symmetrisch[mm]\}[/mm] eine Gruppe bezüglich der
> Matrixmultiplikation ist.
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> c) Prüfen Sie für [mm]n \ge 2[/mm] ob [mm]G := \{A \in GL_n(K) | A^T = A^{-1}\}[/mm]
> eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation ist.
> (in Aufgabe a) stand [mm]A \in K^{m\times n}[/mm], sonst ist die
> Bedeutung von m,n wohl nicht verständlich)
>
> Gruppeneigenschaft:
> Assoziativität -> wird von normaler Matrixmultiplikation
> übernommen (Beweis dürfte nicht nötig sein)
> (links-)neutrales Element -> Einheitsmatrix (Beweis
> dürfte nicht nötig sein)
> (links-)inverses Element -> [mm]A \in GL_n(K)[/mm] (lineare Gruppe)
> also per Vorgabe invertierbar
>
> Jetzt stelle ich mir die Frage: Was soll ich eigentlich
> prüfen?
Tja, ...., gute Frage! Ich würde mir diese Frage vorlegen:
sind [mm] A,B\in [/mm] S, hab ich dann auch AB [mm] \in [/mm] S ?
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> (Ein Inverses berechnet haben wir noch nie für Matrizen)
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