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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Gruppeneigenschaft Matrix-mult
Gruppeneigenschaft Matrix-mult < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Gruppeneigenschaft Matrix-mult: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:10 Fr 18.05.2018
Autor: TrickyDinkle

Aufgabe
Es sei $m, n [mm] \in\IN$ [/mm] und $K$ Körper.

b) Prüfen Sie für $n [mm] \ge [/mm] 2$ ob $S := [mm] \{A \in GL_n(K) |$ A symmetrisch$\}$ [/mm] eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation ist.

c) Prüfen Sie für $n [mm] \ge [/mm] 2$ ob $G := [mm] \{A \in GL_n(K) | A^T = A^{-1}\}$ [/mm] eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation ist.

(in Aufgabe a) stand $A [mm] \in K^{m\times n}$, [/mm] sonst ist die Bedeutung von m,n wohl nicht verständlich)

Gruppeneigenschaft:
Assoziativität -> wird von normaler Matrixmultiplikation übernommen (Beweis dürfte nicht nötig sein)
(links-)neutrales Element -> Einheitsmatrix (Beweis dürfte nicht nötig sein)
(links-)inverses Element -> $A [mm] \in GL_n(K)$ [/mm] (lineare Gruppe) also per Vorgabe invertierbar

Jetzt stelle ich mir die Frage: Was soll ich eigentlich prüfen?

(Ein Inverses berechnet haben wir noch nie für Matrizen)

        
Bezug
Gruppeneigenschaft Matrix-mult: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:04 Fr 18.05.2018
Autor: fred97


> Es sei [mm]m, n \in\IN[/mm] und [mm]K[/mm] Körper.
>  
> b) Prüfen Sie für [mm]n \ge 2[/mm] ob [mm]S := \{A \in GL_n(K) |[/mm] A
> symmetrisch[mm]\}[/mm] eine Gruppe bezüglich der
> Matrixmultiplikation ist.
>  
> c) Prüfen Sie für [mm]n \ge 2[/mm] ob [mm]G := \{A \in GL_n(K) | A^T = A^{-1}\}[/mm]
> eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation ist.
>  (in Aufgabe a) stand [mm]A \in K^{m\times n}[/mm], sonst ist die
> Bedeutung von m,n wohl nicht verständlich)
>  
> Gruppeneigenschaft:
>  Assoziativität -> wird von normaler Matrixmultiplikation

> übernommen (Beweis dürfte nicht nötig sein)
>  (links-)neutrales Element -> Einheitsmatrix (Beweis

> dürfte nicht nötig sein)
>  (links-)inverses Element -> [mm]A \in GL_n(K)[/mm] (lineare Gruppe)

> also per Vorgabe invertierbar
>  
> Jetzt stelle ich mir die Frage: Was soll ich eigentlich
> prüfen?


Tja, ...., gute  Frage!  Ich würde  mir diese Frage  vorlegen:

      sind [mm] A,B\in [/mm] S, hab ich  dann auch AB [mm] \in [/mm] S ?



>  
> (Ein Inverses berechnet haben wir noch nie für Matrizen)


Bezug
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