Gruppenhomomorphismen; BLF < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo Freunde der Mathematik,
Habe folgende Probleme/Überlegungen zu Teilen der obigen Ja/Nein Fragen.
Hoffe jemand von euch kann mir da weiterhelfen!
zu 1)
Ich denke ist weder injektiv noch surjektiv, denn da alle konstanten Polynome, sprich p(x)=a mit [mm] a\in \IR [/mm] werden durch [mm] \phi [/mm] auf die null abgebildet, danach kann ja der kern nicht nur aus der null bestehen, und somit die ist [mm] \phi [/mm] nicht injetiv.
Auch surjektivität ist nicht gegeben, denn da durch die Abbildungsvorschrift ja nur die Polynome vom Grad n-1 getroffen werden, wenn mal angenommen dim [mm] \IR[X]=n [/mm] wäre!
Daher werder injektiv, noch surjektiv!
Stimmt das so??
zu 2)
Hierbei interessiert mich nur Aufgabenteil d. Habe bereits gezeigt, dass (a) und (c) keine Gruppen sind, (b) jedoch schon.
Meine Überlegung zu (d):
Denke dass dies auch keine Gruppe ist, denn:
Wissen zwar dass f,g lineare Abbildungen sind, jedoch heißt das ja noch lange nicht das dieswe bijektiv sind, also invertierbar sind, und somit scheitert es hier bei dem Versuch der Bildung einer Inversen zu jedem f [mm] \in [/mm] L(V). richtig?
zu 3)
hier weiß ich leider nicht, was hier abgebildet wird??
Matrizen, Abbildungen ???und über welchem Körper?
[mm] O_n [/mm] orthogonale Gruppe
[mm] U_n [/mm] unitäre Gruppe
Aber was da jetzt genau gemeint ist, weiß ich nicht!
Hier brauch ich dringend Hilfe!
zu 4)
habe bereits gezeigt, dass (a) & (b) richtig sind.
Nur bei der (c) schwanke ich noch, da ich der Meinung bin, dass b(0,w) überhaupt keine Bilinearform ist, da doch Linearität im ersten Argument mit einem Skalar garnicht funktioniert... oder lieg ich da komplett daneben??
Ja das wars schon, wäre prima, wenn ihr mir dazu mal euer fachkompetenteres  Feedback geben könntet.
viele liebe Grüße, mathedepp_No.1
P.S.: Grüße an meine Kölner Leidgenossen
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo mathedepp_No.1!
Hier schon mal ein Wort zu Deiner ersten Lösung
> zu 1)
> Ich denke ist weder injektiv noch surjektiv, denn da alle
> konstanten Polynome, sprich p(x)=a mit [mm]a\in \IR[/mm] werden
> durch [mm]\phi[/mm] auf die null abgebildet, danach kann ja der kern
> nicht nur aus der null bestehen, und somit die ist [mm]\phi[/mm]
> nicht injetiv.
> Auch surjektivität ist nicht gegeben, denn da durch die
> Abbildungsvorschrift ja nur die Polynome vom Grad n-1
> getroffen werden, wenn mal angenommen dim [mm]\IR[X]=n[/mm] wäre!
> Daher werder injektiv, noch surjektiv!
> Stimmt das so??
Injektiv ist die Abbildung sicher nicht, da hast Du recht. Aber [mm] \IR[X] [/mm] enthält alle Polynome über [mm] \IR [/mm] mit sämtlichen Graden. Zu einem gegebenen Polynom p kannst Du sicher immer mindestens ein Polynom in [mm] \IR[X] [/mm] finden, daß eine Stammfunktion zu p darstellt und das somit ein Urbild von p unter [mm] \phi [/mm] ist. Es sind wegen der Integrationskonstante sogar unendlich viele. Die Abbildung ist also schon surjektiv.
Grüße
Karsten
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Alles klar!
Vielen Dank!
Habe jetzt eigentlich alle beantworten können inzwischen, nur bei der letzten, sprich 4., bin ich noch unschluüssig!!
Kann mich da vielleicht jemand aufklären, bzw. meine im ersten Post aufgeführten Zweifel, widerlegen, oder bestätigen??
Wäre prima!
viele grüße, der mathedepp_no.1
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Do 17.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> zu 2)
> Hierbei interessiert mich nur Aufgabenteil d. Habe bereits
> gezeigt, dass (a) und (c) keine Gruppen sind, (b) jedoch
> schon.
> Meine Überlegung zu (d):
> Denke dass dies auch keine Gruppe ist, denn:
> Wissen zwar dass f,g lineare Abbildungen sind, jedoch
> heißt das ja noch lange nicht das dieswe bijektiv sind,
> also invertierbar sind, und somit scheitert es hier bei dem
> Versuch der Bildung einer Inversen zu jedem f [mm]\in[/mm] L(V).
> richtig?
Genau. Die Nullabbildung reicht ja schon.
Allerdings: Ist [mm] $\dim [/mm] V = 0$, also besteht $V$ nur aus dem Nullvektor, so stimmt die Aussage schon, dann ist es eine Gruppe (die aus genau einem Element besteht). Aber sobald $V$ mehr als ein Element enthaelt ists falsch 
> zu 3)
> hier weiß ich leider nicht, was hier abgebildet wird??
> Matrizen, Abbildungen ???und über welchem Körper?
> [mm]O_n[/mm] orthogonale Gruppe
Die ist immer ueber [mm] $\IR$.
[/mm]
> [mm]U_n[/mm] unitäre Gruppe
Und die immer ueber [mm] $\IC$.
[/mm]
> Aber was da jetzt genau gemeint ist, weiß ich nicht!
> Hier brauch ich dringend Hilfe!
Jede orthogonale Matrix $A [mm] \in O_n$ [/mm] ist natuerlich auch eine unitaere Matrix (wenn du das nicht siehst, schau dir die Definitionen von den beiden an und beachte [mm] $\overline{x} [/mm] = x$ fuer alle reellen Zahlen $x [mm] \in \IR$), [/mm] und in beiden Gruppen ist die Operation die normale Matrizenmultiplikation. Damit ist es auch ein Homomorphismus.
> zu 4)
> habe bereits gezeigt, dass (a) & (b) richtig sind.
> Nur bei der (c) schwanke ich noch, da ich der Meinung bin,
> dass b(0,w) überhaupt keine Bilinearform ist, da doch
> Linearität im ersten Argument mit einem Skalar garnicht
> funktioniert... oder lieg ich da komplett daneben??
Das sollen ja auch keine Bilinearformen sein, sondern einfach nur Linearformen, also lineare Abbildungen $V [mm] \to \IR$.
[/mm]
Und (c) ist eigentlich auch nur ein Spezialfall von (a), wenn man naemlich $v = 0$ waehlt.
(Und ja, es sind alles drei Linearformen.)
LG Felix
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