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Forum "Lineare Abbildungen" - Gruppenhomomorphismus
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Gruppenhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:34 Sa 07.11.2015
Autor: Joseph95

Aufgabe
Sei n [mm] \ge [/mm] 2. Wir erinnern an die Gruppe [mm] (\IZ_{n}, \oplus) [/mm] definiert mit
a, b [mm] \in \IZ_{n} [/mm] als a [mm] \oplus [/mm] b = (a + b) mod n.
Betrachte die Abbildung phi: [mm] \IZ \to \IZ_{n}, [/mm] welche durch
phi(a) := a mod n
definiert ist.

(a) Zeige, dass phi ein Gruppenhomomorphismus ist.
(b) Bestimme ker(phi) und zeige:
[mm] \all [/mm] a, b [mm] \in \IZ: [/mm] phi(ab) = phi(a) * phi(a * phi(b))

Hey Leute,

ich brauche eure Hilfe und zwar komm ich mit den Aufgaben soweit nicht mehr klar.
Bei a würde ich zunächste zeigen, dass phi eine Gruppe ist und dann denn Homomorphismus zeigen, sprich:
1) ( phi(a) [mm] \oplus [/mm] phi(b) ) [mm] \oplus [/mm] phi(c) = phi (a) [mm] \oplus [/mm] ( phi(b) [mm] \oplus [/mm] phi(c) )
=> Assoziativität
2) ich würde das neutrale element e mit e = 0 behaupten, da gilt
phi(0) [mm] \oplus [/mm] phi(a) = phi(a [mm] \oplus [/mm] 0) = (a + 0) mod n = a mod n = phi(a)
3) inverses Element komm ich nicht mehr klar :S -  Über Hilfe würde ich mich freuen :)
=> Nach dem ich nun gezeigt habe, dass wir eine Gruppe, haben würde ich zeigen dass wir hier einen Gruppenhomomorphismus haben.
Wäre das so in Ordnung?


Vg,
Joseph95

        
Bezug
Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:05 So 08.11.2015
Autor: fred97


> Sei n [mm]\ge[/mm] 2. Wir erinnern an die Gruppe [mm](\IZ_{n}, \oplus)[/mm]
> definiert mit
>  a, b [mm]\in \IZ_{n}[/mm] als a [mm]\oplus[/mm] b = (a + b) mod n.
>  Betrachte die Abbildung phi: [mm]\IZ \to \IZ_{n},[/mm] welche
> durch
>   phi(a) := a mod n
> definiert ist.
>  
> (a) Zeige, dass phi ein Gruppenhomomorphismus ist.
>  (b) Bestimme ker(phi) und zeige:
>  [mm]\all[/mm] a, b [mm]\in \IZ:[/mm] phi(ab) = phi(a) * phi(a * phi(b))
>  Hey Leute,
>  
> ich brauche eure Hilfe und zwar komm ich mit den Aufgaben
> soweit nicht mehr klar.
>  Bei a würde ich zunächste zeigen, dass phi eine Gruppe
> ist


Hoppla ......?   phi ist doch eine Abbildung ! ....



>  und dann denn Homomorphismus zeigen, sprich:
>  1) ( phi(a) [mm]\oplus[/mm] phi(b) ) [mm]\oplus[/mm] phi(c) = phi (a) [mm]\oplus[/mm]
> ( phi(b) [mm]\oplus[/mm] phi(c) )
>  => Assoziativität

>  2) ich würde das neutrale element e mit e = 0 behaupten,
> da gilt
>  phi(0) [mm]\oplus[/mm] phi(a) = phi(a [mm]\oplus[/mm] 0) = (a + 0) mod n = a
> mod n = phi(a)
>  3) inverses Element komm ich nicht mehr klar :S -  Über
> Hilfe würde ich mich freuen :)
>  => Nach dem ich nun gezeigt habe, dass wir eine Gruppe,

> haben würde ich zeigen dass wir hier einen
> Gruppenhomomorphismus haben.
>  Wäre das so in Ordnung?


Nein, überhaupt nicht.

Du solltest Dich so umgehend wie geschwind darüber informieren,  was ein Gruppenhomomorphismus ist !,

Fred


>  
>
> Vg,
>  Joseph95


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