Gruppenhomomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:29 Mo 31.12.2012 | | Autor: | Sqrt3 |
| Aufgabe | Für welche ganze Zahlen k definiert die Formel
Φ([x]) := [kx]
einen Gruppenhomomorphismus von [mm] \IZ [/mm] Modulo [mm] 24\IZ [/mm] nach [mm] \IZ [/mm] Modulo [mm] 100\IZ? [/mm] (Begründen Sie.) |
Guten Morgen zusammen. Bei dieser Aufgabe habe ich das Problem, dass ich nicht weiß, wo ich da ansetzten muss. Ich kenne die Eigenschaften eines Homomorphismus (f(a*b)=f(a)*f(b)) und ich sehe, dass es da um Restklassen geht, aber wie ich dieses Problem lösen kann sehe ich leider nicht. Würde mich freuen, wenn sich jemand fände, der mir helfen kann.
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> Für welche ganze Zahlen k definiert die Formel
> Φ([x]) := [kx]
> einen Gruppenhomomorphismus von [mm]\IZ[/mm] Modulo [mm]24\IZ[/mm] nach [mm]\IZ[/mm]
> Modulo [mm]100\IZ?[/mm] (Begründen Sie.)
> Guten Morgen zusammen. Bei dieser Aufgabe habe ich das
> Problem, dass ich nicht weiß, wo ich da ansetzten muss.
> Ich kenne die Eigenschaften eines Homomorphismus
> (f(a*b)=f(a)*f(b)) und ich sehe, dass es da um Restklassen
> geht, aber wie ich dieses Problem lösen kann sehe ich
> leider nicht. Würde mich freuen, wenn sich jemand fände,
> der mir helfen kann.
>
moin,
Hast du dir ein paar Beispiele angeschaut?
[mm] $\Phi([x+y])=[0(x+y)]$ [/mm] k=0
[mm] $\Phi([x+y])=[1x+1y]$ [/mm] k=1
...
[mm] $\Phi([x+y])=[24x+24y]$ [/mm] k=24
...
Anscheinend muss es ein k geben, für das die Eigenschaft:
[mm] $\Phi([x]+[y])=\Phi([x])+\Phi([y])$
[/mm]
kaputt geht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Mo 31.12.2012 | | Autor: | Sqrt3 |
Aber wie soll ich ein k finden, wodurch die Formel einen Homomorphismus von [mm] \IZ [/mm] Modulo [mm] 24\IZ [/mm] nach [mm] \IZ [/mm] Modulo [mm] 100\IZ
[/mm]
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Was ist mit [mm]\Phi:\IZ/24\IZ\to \IZ/100\IZ,\quad \Phi([x])=[2x][/mm]?
Dann ist doch für [mm][23],[7]\in \IZ/24\IZ[/mm]:
[mm]\Phi([23+7])=[2*(23+7)]=[2*30]=[60]\in \IZ/100\IZ[/mm]
[mm]\Phi([23+7])=\Phi([30])=\Phi([6])=[2*6]=[12]\in \IZ/100\IZ[/mm]
Aber [mm]60\not\equiv 12 \mod 100[/mm]!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Mo 31.12.2012 | | Autor: | Sqrt3 |
Ach so musste man das machen, da wäre ich nie drauf gekommen hast mir wirklich geholfen danke. Aber ich muss noch gucken, ob das für mehr k gilt nicht wahr?
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Ich glaube kaum, dass du viele k's finden wirst. Für $k>1$ hast du ein Problem mit der Wohldefiniertheit. Für k=1 kann es kein GruppenHM sein. Bleibt nur noch k=0 übrig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Aguero |
> > Für welche ganze Zahlen k definiert die Formel
> > Φ([x]) := [kx]
> > einen Gruppenhomomorphismus von [mm]\IZ[/mm] Modulo [mm]24\IZ[/mm] nach
> [mm]\IZ[/mm]
> > Modulo [mm]100\IZ?[/mm] (Begründen Sie.)
> > Guten Morgen zusammen. Bei dieser Aufgabe habe ich das
> > Problem, dass ich nicht weiß, wo ich da ansetzten muss.
> > Ich kenne die Eigenschaften eines Homomorphismus
> > (f(a*b)=f(a)*f(b)) und ich sehe, dass es da um Restklassen
> > geht, aber wie ich dieses Problem lösen kann sehe ich
> > leider nicht. Würde mich freuen, wenn sich jemand fände,
> > der mir helfen kann.
> >
>
> moin,
>
> Hast du dir ein paar Beispiele angeschaut?
>
> [mm]\Phi([x+y])=[0(x+y)][/mm] k=0
> [mm]\Phi([x+y])=[1x+1y][/mm] k=1
> ...
> [mm]\Phi([x+y])=[24x+24y][/mm] k=24
> ...
>
> Anscheinend muss es ein k geben, für das die
> Eigenschaft:
> [mm]\Phi([x]+[y])=\Phi([x])+\Phi([y])[/mm]
> kaputt geht.
>
>
wie genau geht man bei soeiner Aufgabe vor?
warum machst du aus dem x jetzt x+y ?
wegen der gruppenhom. eigenschaft?
und wie ist das mit dem modulo zu verstehen?
kann es jemand etwas erklären? im internet finde ich sooo viele definitionen und erklärungen, dass es einen noch mehr verwirrt... :(
danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:44 Do 10.01.2013 | | Autor: | Stueckchen |
Die Aufgabe hat ein wenig etwas von schwarzer Magie...^^
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Moin,
Laut Aufgabe ist die Definition
[mm] \Phi:\IZ/24\IZ\to \IZ/100\IZ,\quad \Phi([z]_{24})=[k\cdot z]_{100}[/mm]
Setzt man [mm]z=x+y[/mm] dann erhält man
[mm]\Phi([x+y]_{24})=\Phi([z]_{24})=[k\cdot z]_{100}=[k\cdot (x+y)]_{100}=[k\cdot x+k\cdot y] _{100}[/mm]
Das Element [mm][x]_{24}[/mm] liegt in [mm]\IZ/24\IZ[/mm], d.h. [mm][x]_{24}[/mm] lässt sich schreiben als [mm]x+m\cdot 24[/mm] mit [mm]m\in \IZ[/mm].
Addition in [mm] $(\IZ/24\IZ,+)$ [/mm] ist die gewöhnliche Addition modulo 24 (Division durch 24 und Rest nehmen)
Das Problem bei der Aufgabe, bzw. der Definition ist doch folgendes
die beiden Elemente [mm] $[2]_{24}$ [/mm] und [mm] $[2+24]_{24}=[26]_{24}$ [/mm] haben den gleichen Repräsentanten. Es gilt $2=26$ in [mm] $\IZ/24\IZ$.
[/mm]
Eine Abbildung ist wohldefiniert falls [mm] $x=x'\implies [/mm] f(x)=f(x')$. Wenn man zweimal das gleiche Element hineinsteckt, so sollte auch das Ergebnis übereinstimmen.
Hier aber ist doch
[mm] $[2]_{24}=[26]_{24} [/mm] $
und $ [mm] \Phi([2]_{24})=[k*2]_{100}$
[/mm]
bzw $ [mm] \Phi([26]_{24})=[k*26]_{100}$
[/mm]
doch für etliche k's ist [mm] $\Phi([26]_{24})\neq \Phi([2]_{24})$ [/mm] .
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Do 10.01.2013 | | Autor: | Aguero |
@wieschoo:
du bist der "Künstler der schwarzen Magie"
richtig gut erklärt !!!
also ist die kösung NUR k=0 oder?
wenn ich im unrecht liege, beherrsche ich keine Magie...
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Ich glaube dass das aber die falsche Richtung ist, die Aufgabe zielt in eine andere...
Leider bin ich mir noch nicht ganz sicher und muss es nochmal überdenken, aber das k ist auf jeden Fall (Vermutung!) eher sehr groß!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:58 Do 10.01.2013 | | Autor: | Aguero |
ahhh ich hätte eine andere Lösung!
k=0
&
k= [mm] 10^{n} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 2
gut? :)
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Aber was müssen wir denn an einem gefundenen (vielleicht auch richtigen) Wert prüfen?
Wohldefiniertheit oder die Eigenschaft der Homomorphie, oder beides?
Da bin ich mir noch nicht sicher und weiß nicht weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Do 10.01.2013 | | Autor: | Aguero |
es soll doch nur begründet werden oder nicht?
reicht das nicht über die beispiele?
und vlt noch ne kleine erklärung oder so
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Ja, begründet warum das alles gilt, warum wir diese k und keine anderen nehmen dürfen, weil sonst die Forderung ja nicht mehr erfüllt wird. Unsere Forderung ist ja zum einen der Gruppenhomomorphismus, aber auch wegen den Äquivalenzklassen müssen wir wohl Wohldefiniertheit ebenfalls begründen.
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Könnte jemand den gesuchten Gruppenhomomorphismus mal formulieren? Das wäre super, bin mir nicht sicher wie er genau aussehen muss.
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edit: Hatte nich alles gelesen.
Setz mal $k=0$. Die Aufgabe zählt für mich zu den eigenartigsten, die ich nun kenne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Sa 12.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 12.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 12.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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