Gruppenhomomorphismus Q -> Z < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige, dass kein injektiver Gruppenhomomorphismus [mm] \IQ \to \IZ [/mm] existiert. |
Hallo Leute,
es ist mir schon fast peinlich, diese Frage hier zu stellen, da ich eigentlich schon lange aus dem Alter sein müsste, in welchen mir solche Aufgabentypen Schwierigkeiten bereiten.
Ich brauche die Aussage um einen etwas längeren Beweis einer anderen Aussage fertig zu führen.
Im Normalfall löst man solche Aufgabentypen, indem man annimmt, dass ein solcher injektiver Gruppenhomomorphismus existiert und dann geschickt mithilfe der Homomorphieeigenschaft einen Widerspruch zur Injektivität bastelt. Leider will ich hier überhaupt nicht einsehen, welchen Trick ich benötige.
Würde mich sehr über Hilfestellungen freuen, da ich mich gerade grün und blau ärgere, dass ich hier nicht selber darauf komme.
Viele Grüße,
Anfänger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Di 05.11.2013 | | Autor: | hippias |
Sei [mm] $\phi:\IQ\rightarrow \IZ$ [/mm] Homo. und [mm] $1^{\phi}= [/mm] k$. Schlussfolgere aus $1= [mm] n\frac{1}{n}$ [/mm] fuer alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] und der Homomorphismuseigenschaft, dass [mm] $n\vert [/mm] k$ fuer alle [mm] $n\in \IN$. [/mm]
Viel Spass beim Aergern 
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Hi hippias,
vielen Dank, ich hätts echt nicht mehr selbst geschafft :D
Viele Grüße,
Anfänger
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