Gruppenhomomorphismus zeigen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei (G, [mm] \* [/mm] ) eine Gruppe. Für g [mm] \in [/mm] G de finieren wir
[mm] i_{g}: [/mm] G [mm] \to [/mm] G; [mm] x\mapsto g^{-1}\*x\*g.
[/mm]
Zeigen Sie:
a) Für jedes g [mm] \in [/mm] G ist [mm] i_{g} [/mm] ein Gruppenisomorphismus.
b) Die Menge Aut(G) := { [mm] \alpha \in [/mm] S(G) | [mm] \alpha [/mm] ist ein Automorphismus} ist eine Untergruppe von S(G). (Anmerkung: S(G) ist die symmetrische Gruppe)
c) Die Menge Inn(G) := { [mm] i_{g} [/mm] | g [mm] \in [/mm] G} ist eine Untergruppe von Aut(G).
d) Die Abbildung [mm] \beta [/mm] : G [mm] \to [/mm] Aut(G); g [mm] \mapsto i_{g} [/mm] ist ein Gruppenhomomorphismus mit ker( [mm] \beta [/mm] ) = Z(G) := {h [mm] \in [/mm] G | h [mm] \* [/mm] x = x [mm] \* [/mm] h für alle x [mm] \in [/mm] G } .
Bemerkung: Z(G) bezeichnet man als das Zentrum der Gruppe G. |
Hallo,
ich habe Schwierigkeiten bei Aufgabenteil d), nämlich dort wo man zeigen soll, dass [mm] \beta [/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist.
Ich bekomme immer folgendes raus:
[mm] (\beta(g\*h))(x) [/mm] = [mm] i_{g\*h}(x) [/mm] = [mm] (g\*h)^{-1}x(gh) [/mm] = [mm] (h^{-1}g^{-1})x(gh) [/mm] = [mm] h^{-1}(g^{-1}xg)h [/mm] = [mm] i_{h}(g^{-1}xg) [/mm] = [mm] i_{h}(i_{g}(x)) [/mm] = [mm] (i_{h} \circ i_{g})(x) [/mm] = [mm] (\beta(h) \circ \beta(g))(x).
[/mm]
Aber ich soll ja zeigen, dass [mm] (\beta(g\*h))(x) [/mm] = [mm] (\beta(g) \circ \beta(h))(x) [/mm] ist. Was mache ich falsch?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Di 20.03.2012 | | Autor: | korbinian |
Hallo,
ich finde leider keinen Fehler. Kann es sein, dass Du die Aufgabe nicht genau angegeben hast. "Üblicherweise" definiert man
[mm]i_{g}:[/mm] G [mm]\to[/mm] G; [mm]x\mapsto g\*x\*g^{-1}.[/mm]
Ein möglicher "Druckfehler" wäre
d) Die Abbildung [mm]\beta[/mm] : G [mm]\to[/mm] Aut(G); g [mm]\mapsto i_{g^{-1}}[/mm] ist
ein Gruppenhomomorphismus
Gruß korbinian
|
|
|
| |
|
Ich habe jetzt mal einen Screenshot von der Aufgabe gemacht und kann keinen Tippfehler finden:
http://img36.imageshack.us/img36/3372/matheo.jpg
Mit [mm] i_{g} [/mm] ist ja die Konjugation gemeint und in der Vorlesung haben wir die so definiert, wie es auf dem Aufgabenzettel steht. Laut Wikipedia wird die Konjugation mit g jedoch so definiert, wie du es sagst. Was stimmt denn jetzt?
|
|
|
| |
|
Hey Blackburn,
In der Mathematik darf man alles so definieren, wie man möchte.
Es stellt sich allerdings immer die Frage, welche Definition sinnvoll ist und welche nicht.^^
Als Außenstehender ist es schwer zu sagen, ob die Definition deines Professors für ihn vielleicht irgend einen Vorteil hat.
Von daher würde ich dir empfehlen, deinen Professor zu fragen.
Einfach nach der Vorlesung kurz ansprechen, normalerweise haben die da nichts gegen.
Ansonsten kannst du natürlich auch einen Tutor oder ähnliches fragen, falls der Prof so aussieht als würde er beißen.^^
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
Ja, das ist schon klar. Aber die Begrifflichkeiten sollten ja schon einheitlich geregelt sein, also auch die Konjugation. Bringt ja nichts, wenn jeder sein eigenes Süppchen kocht. Ich meine unter einem Gruppenhomomorphismus versteht ja auch jeder f(x+y) = f(x) + f(y). Aber ich werde den Professor mal fragen. Danke für eure Antworten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 21.03.2012 | | Autor: | korbinian |
Hallo,
bisher scheint ja niemand einen Fehler in deinem Lösungsversuch gefunden zu haben, so dass ich immer noch der Meinung bin, dass bei der Aufgabenstellung ein Fehler unterlaufen ist.
Es wäre schön, wenn Du uns die Antwort Deines Prof mitteilen würdest; vor allem dann, wenn die Aufgabe doch lösbar sein sollte.
Gruß korbinian
|
|
|
|
