Gruppenisomorphismus < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Di 08.06.2010 | | Autor: | Sandra18 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
Bin neu hier und komm' mit folgender Aufgabe gar nicht zu Rande. Ich hoffe ihr könnt mir einen kleinen Denkanstoß geben.
Sei V ein endlich dim. euklidischer Vektorraum mit dim V = n
Man definiere [mm] O(V,<.,.>):=\{f \in GL(V) | = < v,w> \forall v,w\inV \}
[/mm]
Nun soll man einen Gruppenisomorphismus
[mm] \partial: [/mm] O(V,<.,.>) [mm] \to [/mm] O(n) angeben wobei O(n) die orthogonale Gruppe bezeichnet. Ein Tipp meines Tutors war nun erst einmal eine Orthonormalbasis von V zu wählen. Doch wie mach ich das und vorallem
wie bringt mich das weiter?
Viele Grüße
Sandra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Mi 09.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo zusammen,
> Bin neu hier und komm' mit folgender Aufgabe gar nicht zu
> Rande. Ich hoffe ihr könnt mir einen kleinen Denkanstoß
> geben.
> Sei V ein endlich dim. euklidischer Vektorraum mit dim V =
> n
> Man definiere [mm]O(V,<.,.>):=\{f \in GL(V) | = < v,w> \forall v,w\inV \}[/mm]
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> Nun soll man einen Gruppenisomorphismus
> [mm]\partial:[/mm] O(V,<.,.>) [mm]\to[/mm] O(n) angeben wobei O(n) die
> orthogonale Gruppe bezeichnet. Ein Tipp meines Tutors war
> nun erst einmal eine Orthonormalbasis von V zu wählen.
> Doch wie mach ich das und vorallem
> wie bringt mich das weiter?
Da V ein euklidischer vektorraum der Dimension n ist, hat V eine Orthonormalbasis B (welche Du wählst ist nicht von Belang)
Ist nun $f [mm] \in [/mm] O(V,<.,.>) $ so hat f bezüglich B eine eindeutig bestimmte Abbildungsmatrix [mm] $A_f \in [/mm] O(n)$
Definiere nun [mm] $\partial:O(V,<.,.>) \to [/mm] O(n) $ durch [mm] $\partial(f):= A_f$
[/mm]
FRED
> Viele Grüße
> Sandra
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