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Gruppenoperation : Gruppe,Bahnen,tren Invariante
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:31 Mi 24.11.2004
Autor: sarah2005

[mm] S^1 [/mm] ={W  [mm] \in \IC [/mm]  Betrag von W ist gleich 1}
zu zeigen ist :
1)  [mm] S^1 [/mm] mit der Multiplikition von Komplexen Zahlen ist eine Gruppe.
2) [mm] S^1 [/mm]  x  [mm] \IC \to \IC [/mm]  :  (w,z) [mm] \mapsto [/mm] wz ist eine Gruppenoperation
3) bestimme die Bahnen diese Operation und zeige der Absolutbetrag von ( . ) :  [mm] \IC \to \IR^+ [/mm]   ist  eine trennende Invariante dieser Operation .

wer kann mir helfen diese Aufgabe zu lösen , ich weiss nicht , wie ich anfangen kann .


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Gruppenoperation : Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:08 Mi 24.11.2004
Autor: Stefan

Liebe Sarah!

Wo liegen denn hier deine Probleme? Die Aufgabe ist echt einfach und es scheint mir nur darum zu gehen die Definitionen richtig anzuwenden.

Natürlich ist die [mm] $S^1$, [/mm] denn sie ist eine nichtleere Menge der Gruppe [mm] $(\IC\setminus\{0\},\cdot)$ [/mm] und es gilt mit $x,y [mm] \in S^1$ [/mm] wegen

[mm] $\vert [/mm] x [mm] \cdot y^{-1}\vert [/mm] = [mm] \vert [/mm] x [mm] \vert \cdot \vert \frac{1}{y} \vert [/mm] = [mm] \underbrace{\vert x \vert}_{=\, 1} \cdot \frac{1}{\underbrace{\vert y \vert}_{=\, 1}} [/mm] = 1$

auch

$x [mm] \cdot y^{-1} \in S^1$. [/mm]

Und natürlich ist

[mm] $\begin{array}{ccc} S^1 \times \IC & \to & \IC \\[5pt] (w,z) & \mapsto & w \cdot z \end{array}$ [/mm]

eine Operation von [mm] $S^1$ [/mm] auf [mm] $\IC$, [/mm] oder wer würde bestreiten, dass

$(w [mm] \cdot [/mm] w') [mm] \cdot [/mm] z = w [mm] \cdot [/mm] (w' [mm] \cdot [/mm] z)$

für $w,w' [mm] \in S^1$ [/mm] und $z [mm] \in \IC$ [/mm]

(nichts weiter als das Assoziativgesetz in [mm] $(\IC, \cdot)$) [/mm]

und

$1 [mm] \cdot [/mm] z = z$

gilt?

Und warum ist der Betrag eine trennende Invariante der Operation?

Nun, ganz einfach:

Für $w [mm] \in S_1$ [/mm] und $z [mm] \in \IC$ [/mm] gilt:

$|w [mm] \cdot z|=\underbrace{|w|} \cdot [/mm] |z| = |z| $,

und Elemente aus [mm] $\IC$ [/mm] aus der gleichen Bahn unter dieser Operation (die Bahnen sind gerade die konzentrischen Kreise um den Nullpunkt) haben natürlich alle den gleichen Betrag.

Versuche das Letztere mal mathematisch exakt aufzuschreiben... :-)

Liebe Grüße
Stefan

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